电路动态分析的几个结论及应用

电路动态分析的几个结论及应用
门宁利
（陕西省长安区第三中学 陕西 西安710100）
摘要：电路动态分析有几个很实用的二级结论，很多老师在教学实践中经常使用，这里，利用数学知识予以证明，兼论及其应用。

关键词：电路动态分析 二级结论 证明 应用
在直流电路问题中，对电路作动态分析是一类典型的问题。

在这里，有几个二级结论，书上虽没有，但却很有用。

本文就这几个结论的导出及应用做一讨论。

一、在闭合电路中，只要部分电阻增大，则总电阻必增大；反之，则减小。

即R 部分↑−→−R 总↑
；R 部分↓−→−R 总↓。

设有两电阻R 1、R 2，其中R 1保持不变，R 2逐渐增大。

（1）当它们串联时：R 2↑−−−−−−→−+=21串R R R R 串↑
（2）当它们并联时：R 2↑−−−
−−−−→−+=)1/(R R 211R R 并 R 并↑ 而不管怎样复杂的电路，总可等效成串联或并联电路，所以结论普遍成立。

例1、如图（1）所示，求R AB 的取值范围。

分析：据“R
部分↑−→−R 总↑
知，
当R 3=30Ω时，R AB 有最大值，当
R 3=0时，R AB 有最小值。

解：当R 3=0时，有R ABmin =R 1=10Ω时
当R 3=30Ω时，有R ABmin =R 1+323
2R R R R +=22Ω
∴10Ω≤R AB ≤22Ω
二、“并同串反”规律——所谓“并同”，即某一电阻增大（或减小）时，与它关联或间接并联的电阻中的电流、两端电压、电功率都将增大（或减小）；所谓“串反”，即某一电阻增大（或减小）时，与它串联或间接串联的电阻中的电流、两端电压、电功率都将减小（或增大）。

使用条件：
1、适用于只有一个支路的电阻发生变化的情况。

若几条支路的电阻同时发生变化（如本文的例6、例7），则不适用。

2、当整个电路可等效为一个并联电路时，若电源内阻不计（如例2中的R L1=0，r=0时），则不适用。

下面用例2将该结论导出。

例2、如图（2）所示，当滑动变阻器
的滑片P 向左移动时，L 1、L 2的亮度变化
情况是L 1 ，L 2 。

分析：
P 左移−→−P ↑−→−P 总↑−−−−−→−=R
I /ε干 I 干（变亮） 图（1） 图（2）
小结规律：
并同：L 2中的：L 2↑
=U 并↑/R 2，U 2↑=U 并，P 2↑=U 并/R 2
串反：L 1中的：I 1↓
= I 干↓，U 1↓=I 干R 1，P 1↓=I 2干R 1 例3、如图（3）所示，当开关S 断
开时，灯乙、丙均正常发光时，当S 闭
合时，乙灯亮度 ，丙灯亮
度 。

分析：开关S 闭合，即在a 、b 两点
并联了一个支路，将引起R ab ↓，由“并
同串反”规律知：P 丙↓变暗），P 乙↑变亮）。

三、在闭合电路中，某部分电阻由并联在某一支路变为串联在干路上时，总电阻变大；反之，总电阻变小。

简述为：“并变串，电阻增；串变并，电阻减。

”
设有一段电路如图（4）所示，
R 1是定值电阻，R 0是滑动变阻器，
当滑片P 由B →A 移动时，PB 部
分由并在下面的支路变为串在干
路上，令P PB =x ，则
R 总=x R R x R R ++-010)
(1+x =x R R x
R R R -+-01101+x
求导数：
R ′总=（x x
R R x R R R +-+-01101）′ 图（3）
图（4）
=1)
()1)(())((201101011+-+----+-x R R x R R R x R R R =1－20121)(x R R R -+=20121201)()(x R R R x R R -+--+ =2010
10)
()2)((x R R x R R x R -+-+- ∵在区间（0，R 0）内，R 总′＞0。

∴在区间[0，R 0]内单调增加。

即x ↑（并变串），R 总↑（阻值增）。

反之，x ↓（串变并），R 总↓（阻值减）。

例4：如图（5）所示，负载电阻R=200
Ω，ε=8.0V ，内阻不计，试分析：若用最大
阻值R 0=100Ω，额定电流I 0=100mA 滑动变
阻器作分压器，是否可以安全使用？
分析：滑片P 右移时，PB 部分由“串在
干路”变成“并在支路”，总电阻逐渐变小，
当R PB =0时，总电阻最小，此时I 干最大，与
I 0比较即可。

解：当R PB =0时，有R 总min =
00R R RR +=100200100200+⨯=3200Ω ∴I 干max =ε/R 总min =8.0/3200=0.12A=10mA ＞I 0
即P 接近B 端时，PB 部分将被烧断。

∴不安全。

例5：如图（6）所示，单刀双掷开关
S
图（5）
扳向a 时，干路电流为I a ；S 扳向b 时，干路电流为I b 。

两电流的大小关系是I a I b （填＞或=或＜）
解：在S 由扳向a 变成扳向b 的过程中，R 2由“串在干路”变为“并在支路”，由“串变并，阻值减”知，R 总↓
，而ε不变。

∴I a ＜I b
这些题若用解析法去做，会有如此简练吗？
四、定和求积原理：若两正数之和为常数K ，当两数相等且等于2K 时，其积最大；当两数差异最大时，其积最小。

设有两正数x 1，x 2，且x 1+x 2=K ，则其积y =x 1（K -x 1）=K x 1－x 12=－（x 12－K x 1+42
K ）+ 42
K
=－（x 1－
2K ）2+ 42K （由此可知，当x 1=x 2=2K 时，有y max =42
K ）
=－4)(221x x -+42K （由此可知：当21x x -最大时，y 有最小值）
若并联电路中，两支路电阻之和为定值，可依据此原理求R 并的最大值及最小值。

例6：如图（7）所示，滑片P 可上
下自由移动，则○
A 示数最大和最小应为 A 和 A 。

（滑动变阻器最大值
图（6）
R=50Ω）
分析：两支路电阻之和R 上+R 下=（R 1+x ）+（R 2+R-x ）=R 1+R 2+R=100Ω不变
∴R 并的最大值（或最小值）可用定和求积原理求出。

解：两支路：R 上+R 下=100Ω不变
由定和求积原理：当R 上=R 下=2
100=50Ω时 电路有最大总电阻：R max =2上
R =2
50=25Ω ∴I 干min =ε/R max =225/25=9A
当R 上、R 下差别最大，即R 上=R 2+R=90Ω，R 下=R 1=10Ω时，电路有最小总电阻：R min =下上下
上R R R R +=10
901090+⨯　=9Ω。

∴I 干min =ε/R max =225/9=25A
不妨用二次函数法或配方法做做此题，与上法作一比较，繁简便知。

例7：如图（8）所示：R 1=10Ω，
R 2=20Ω，变阻器最大值R=50Ω，当滑
片P 由变阻器R 的中点滑向b 端的过程
中，灯L 的发光情况是 。

分析：并联部分两支路阻值之和：
（R 1+x ）+（R 2+R-x ）=R 1+R 2+R=80Ω ∴可用定和求积原理得：两支路阻值相等且为40Ω时，R 并最大→R 总最大→I 干最小→P L 最小（即灯最暗）
，此位置图（8）
应在R中点的右侧，于是问题可解。

解：当并联部分两支路阻值相等时,即各为40Ω时，R并最大，I干最小，P L最小，此位置在R中点右侧，滑片由此位置无论左移到R中点还是右移到b端，两支路的阻值差异都将逐渐变大，R并都将变小。

而R并↓−→
−P L↑
−R总↓−→
−I干↑−→
∴当滑片P由R中点右移时，P L先减到最小，再逐渐增大。

即灯L先变暗，再变亮。

作者简介：门宁利（1964——）女，西安市长安区第三中学，中学物理一级教师。