云纹法

称 l， m 为栅线序数
m
两栅线迭合并以 I 0 照明，其透射光强为：
I I 0 I1 I 2 I 0（ 1 cos 2f1 x） （1 cos 2f 2 x）
1 1 I 0 [1 cos 2f1x cos 2f 2 x cos2 (l m) cos2 (l m) 2 2
1． 作图法求应变 一点的应变状态（四个偏导数）可以通过两个方向的云纹图用作图法来求得，如图 5 所 示。次云纹图为 u 位移场，主方向沿 x 方向。
图 7-5
作图法求位移偏导数分量
①利用 u=MP 作 AB， CD 截面的位移分布曲线。 ②曲线各点的斜率给出该点的
u u 和 。例如 AB、CD 的交点 E，由 u— x 曲线中 E 点 x y
第七章 云纹法
•
• • 纹 §1 概述 云纹图——两个周期性变化的格栅（栅线）迭合所形成的亮暗条 云纹对小变形的放大作用： 格栅几何形状的微小改变（由物体的微小变形产生）将引起云纹 条纹的宏观移动。所以云纹条纹对小变形有放大作用。这是云纹法在 实验力学中进行应变分析的物理基础。 • 云纹法的发展：两块纱窗或其他规则图案迭合所产生条纹图样， 生活中早已发现。从1844年法国科学家丹托（Danto.M）将云纹条纹 与应变理论结合后，云纹在应变分析中的理论和技术，得到迅速发展， 并进入广泛应用阶段；八十年代，美国科学家D.Post提出和发展了干 涉云纹技术，提高了云纹的灵敏度，使得云纹法进入了亚微观领域， 从而云纹法获得了更为广阔的应用，成为科学研究和工程检测的重要 手段。 • 云纹法特点：设备简单、图像清晰、实物测量、实时自动检测、 应用广泛。
（2）
2．物理意义：由（2）式可见， 第一项为平均光强，二、三项表示原栅线的周期性结构，第四项为和频项，条纹甚密， 第五项为差频项，产生云纹条纹。 令：N=l-m 表示等差条纹的级数方程， N 为级数。 所以，云纹条纹是等差条纹，为两栅的栅线序数之差相等的等差条纹。从形位上观察为 菱形短对角线的连线。
二 .数学表达式 1．公式推导： 坐标选取如图 1b 所示 栅线的透射光强： I＝
n
rect (
n0
x np ，周期为 P， ） a
可以用傅立叶级数展开为：
a0 I( x ) [a n cos 2nfx b n sin 2nfx] 2 n 1

（1）
a0 a 1 cos 2fx a（ 2 cos2 2 fx) a 3 cos 3 2 fx 2
二．与应变关系： 1． 正应变 （7）式对应于均匀变形条件，当物体作非均匀变形时， 则在准平移区（局部小区域）中仍可应用它。变形前
p1 p 2 p ，变形后时间 p 2 变为 p ' ( x ) 。
由应变定义
p ' ( x) p x p
解得
p ' ( x) p (1 x ), 代入（7）式，经整理得
§4影像云纹法（阴影云纹）
本节介绍测量曲面物体形貌和离面位移的影像云纹法。 影像云纹——栅线（基准栅）和它的投影（影子栅）相迭合所生成的云纹。具有两种类 型： 一．点光源照明和点接受系统 1. 光路布置：如图 6 所示
图 6 影像云纹法的光路 要求： （1）光源和相机放在距试件有限远处，光源和相机的透镜可近似为点。 （2）点源和相机到基准栅距离相等。 （3）试件表面有一点与基准栅相接触，接触可以是实的，也可以是虚的。
u y
。
E点
的斜率得
u x
；由 u— y 曲线中 E 点的斜率得
E点
对于 v 场云纹图，同理可得 状态。
v x
和
E点
v y
。由这四个偏导数则给出了 E 点的应变
E点
为了提高精度，可以采用最小二乘位移曲线拟合法，直接给出位移函数的近似表达 式，再获得偏导数；对于二维位移场，可采用曲面拟合的方法。
2．计算公式 由（16）得： w 注意：上式中 α ——入射平行光与栅平面法线间夹角 β ——接受平行光与栅平面法线间夹角 为决定于光路布置的常数 相邻条纹高度差：
Np tg tg
（19）
w
p tg tg
•
图7-3a 平行云纹
• • • •
2)转角云纹 当两栅节距相等时(P=P=P)两栅间夹角不为零而有一小角度时，生成与栅线 相垂直的云纹条纹，称为转角云纹。其条纹间距由（ 6）式求得为： P P y （8） 2sin 2 试件刚性转动时生成的云纹属于这种情况。转角云纹生成示意图如图3(b)
d
Ax 0 By 0 C A B
2 2
（5）
所以：得原点 N=0 级（ x0=0， y0=0）至 N=1 级的条纹的距离 δ：

C A2 B2 P1 P2
（6

(P1 - P2 cos ) ( P1sin )
2
2
• 2．平行云纹和转角云纹： • 1)平行云纹： • 当θ=0，P2≠P1时，由（6）式可得： • （7） • 即当两栅线间加角为零，而栅距不相等时形成平行云纹，云纹条纹与 栅线平行，条纹间距由（7）式求出。均匀拉伸时生成的云纹属于此 情况。平行云纹生成的示意图如图3(a)所示。
或者由 同理可得：
y
v P y y y v P x x x
三．条纹级数的确定和应变分析 1． 条纹级数的确定 云纹条纹级数的确定是云纹应变定量分析的基础。
（ 13）
简单情况下，根据具体问题的位移，载荷和边界条件即可确定； 复杂情况时，结合零偏导数线和奇异点的特性，确定条纹级数的分布规律； 更复杂情况下，需要借助转动参考栅等实时云纹技术。 具体方法可参考有关书籍。
Np w tg tg
（16）
式中：w——试件表面考察点至基准栅平面之距离 α ——光源与栅平面法线的夹角 β ——相机与栅平面法线的夹角 曲面上每一点对应于不同的α 、β 值
公式意义和推论： （1）公式（16）表示，曲表面各点至基准栅高度相等（同一级数对应 于相同高度）的点的轨迹。所以影像云纹条纹反映了曲面物体的等高线。 （2）由简单的几何关系，公式（16）可表示为：
y' mP2
由（3）式得： （3）
x ytg
mP2 cos
结合 x lP1 ，代入 l m N 得：
x xcos y sin N P1 P2
（4）
由（4）式得：
(P2 P1cos ) x P1 sin y NP1P2 0
此式与 Ax+By+C=0 比较可得，点（ x0， y0）到直线 Ax+By+C=0 的距离 d：
w
Npz d zw w Np d Np
由此可得
如果按 d>>Np 的要求布置光路，则得
w
Npz d pz d
（17）
相邻两条纹的高度差为：
w
(18)
式中 z——光源和相机至基准栅平面的距离 d——光源和相机的距离
• • •
平行光照射与平行光接受系统 1．光路布置
•
图7-7 平行光照明、平行光接受系统示意图
云纹栅线
§2 面内云纹
• 当使用栅线密度比较小时（50线/mm以下），而形成 的云纹方法称几何云纹；使用栅线密度较大时（通常 600/mm以上）所形成的云纹方法称干涉云纹，分别用 几何光学和波动光学理论解释。 本节先从几何云纹中的面内云纹讲解。
•
图7-1 栅线 云纹条纹的形成 栅线——平行等间距的明暗线，如图1a所示 节距——相邻两条暗线或明线间的距离 主方向——垂直于栅线的方向 云纹条纹——当两组栅线相迭合时，所生成 的黑白相间的亮暗带
N N 0 u P ( ) x x x u p N y y N N 0 v P ( ) y y y v P N x x
其ห้องสมุดไป่ตู้ p 为参考栅距，N0 为加载前的错配条纹。
（ 14）
（ 15）
*
3．混合偏导数的分离： 采用正交试件栅和正交参考栅，可以通过一次实验同时获得 u 和 v 的两个位移场，以 保证混合偏导数的测量准确性。此时为了获得独立的 u 场和 v 场，必须采用光学滤波技术 将其分离。
四．灵敏度的提高 当位移量很小而又需要比较精确地测量位移导数时，可用条纹倍增或错配方法，来提 高条纹灵敏度和测量精度。 1． 条纹倍增： 在适合产生云纹的两个栅中，若参考栅的密度为试件栅的几倍时，则在相同载荷下，其 形成的云纹条纹数将是原低密度栅形成的条纹数的 n 倍。此时计算公式（9）式和（10）式 中的 p 为密栅的栅距。 2． 错配： 在实验中，加载前使试件栅栅距略大于（或略小于）参考栅栅距，将产生初始条纹，亦 称错配云纹。 加载后， 选择合适的参考栅栅距， 使云纹图的条纹数目增多， 从而提高灵敏度。 分析错配的云纹图，必须对位移导数的表达式作如下修正：
取前两项，为方便起见，令
a0 1, a 1 1, 则（1）式变为： 2
I ( x) 1 cos 2
迭合生成云纹：
x p
f
1 p
I 1 ( x ) 1 cos 2
x P1 x P2
第一栅线
I 2 ( x) 1 cos 2
第二栅线
l
令：
x f1 x P1 x f2x P2
• 由图4，结合等差条纹级数方程 N＝l－m，可知： • 1.当l＝m，则N＝0，即零级条纹——变形栅相对参考栅，在栅线主方 向上位移为零。 • 2.当l－m＝N，则为N级条纹， • N级条纹表明变形栅相对参考栅在栅线主方向上位移N节距。由此可 得： • 栅线主方向上位移V＝Np （9） • 所以，N级条纹表示沿栅线主方向位移v＝Np相等的点的轨迹，或者 说，表示沿栅线主方向位移分量v＝Np相等的等值条纹。 • 同理，当栅线主方向旋转90o，即栅线主方向转至x方向，可得栅线主 方向上位移分量U相等的等值条纹，即栅线主方向上位移 • U＝Mp （10） • 若试件栅使用正交栅线，可在同一状态下，分别获得位移分量U和V。
•
图7-3 b 转角云纹
• 3)曲线状条纹： • 当栅距P1≠P2，两栅间夹角不为零，组合迭加形成曲线状云纹条纹。
它对应于试件作非均匀变形时所产生的云纹条纹。
§3 云纹条纹与位移和应变的关系
一、与位移关系如图（7-4）所示
图7-4 云纹条纹是等位移点的轨迹
• 试件栅——粘于试件表面的栅线。 • 参考栅——与试件相迭合的另一组栅线，试验中它是不变 化的 • 将试件栅、参考栅按顺时针方向编号，变形前两者完全重 合。试件发生非均匀变形时，产生云纹条纹。
x
p p x p x
（ 11）
x 应理解为条纹间距δ 内的平均应变。
公式（11）也可以用下面方法推出：
x
u u M P P x x x x
1． 剪应变： 由转角公式（ 8）可得
y
P
y
u P M P y y y
（12）
2．光路分析和公式推导： 分析：点源 s 发出的光线照射基准栅线，将平行相间的栅线投影到曲表面上，形成变形 栅，这个变形栅与基准栅（参考栅）相迭合遮挡形成影像云纹条纹。 公式推导： 假设试件表面上 E 点的条纹（N）级是通过参考栅 D 点观察得到的（或相机接受） ，则 AE 中影子栅（由 OB 基准栅投影产生，其栅线序数为 m）与 OD 基准栅（其栅线序数为 l）相 迭合产生云纹条纹。 所以有条纹级数方程 N＝l－m 两边同乘以 p，测得：Np＝lp－mp 即：Np＝OD－OB Np＝BD 由图中几何关系：BD＝BC＋CD＝wtgα ＋wtgβ 所以，可得： Np＝BD＝w（tgα ＋tgβ ） 解得：
三、云纹条纹的性质 • 1．条纹间距： • 如图所示：
•
图7-2 等和条纹和等差条纹
第一组栅线平行于 y 轴， x lP1 第二组栅线平行于 x’轴， y mP2
‘
yox' 为两组栅线间夹角
由坐标系变换公式， （ x， y）旧系， （x’， y’）为新系，所以有：
y' x cos y sin