第2讲 解直角三角形

A的邻边 b
A的对边 a
这三个关系式中，每个关系式都包含三个元素，知其中两个元素就可以求出第三个元 素。(1)已知两边求第一边；(2)已知一锐角求另一角；(3)已知两边求锐角，已知一边一角求 另一边。
这些关系式是解直角三角形的依据，已知其中两个元素(至少有一个是边)就可 以求出其余的三个未知元素。
【例 5】 如图所示，在△ABC 中,∠B=45°，AC=5，BC=3。求：sinA 和 AB。 A
D
B
C
【例 6】某校数学兴趣小组在测量一座池塘边上 A，B 两点间的距离时用了以下三种测量方 法，如下图所示．图中 a，b，c 表示长度，β表示角度．请你求出 AB 的长度（用含有 a， b，c，β字母的式子表示）．
形。
【例 4】在△ABC 中，∠C＝90°，b＝35，c＝45，(cos39°＝0.7778)，解直角三角形。 由以上所述，归纳总结出解直角三角形题目分为四种类型：
已知条件（两个）
解
法
（ 1） ∠ B 90o ∠ A
一条直角边和一个锐角 （ a， ∠ A）
（ 2） sin A a c a
）
A. 3
B. 4
4
3
C. 3 5
D. 5 3
2. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（
）
A. 1 2
B. 3 3
C. 1
D.
3.
）
2
A. 锐角三角形
B. 直角三角形 C. 钝角三角形
D. 等腰三角形
【例 7】已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，连接 BE、CE，∠BEC=90°． （1）求证：BE 平分∠ABC；
（2）若 EC=4，且 BE 3 ，求四边形 ABCE 的面积。 AB
四、热身练习
一、 选择题：
1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则 cotE=（
。
2
10. 若
，则锐角α=_________。
11. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，sin A 3 ，a b c 36 ，则 a=____，b=_____，c=______， 5
cotA=_ 。
12. 若一个等腰三角形的两边长分别为 2cm 和 6cm，则底边上的高为__ _cm，底角的余
c
sin A
（ 3） b c2 a 2
或 tan B b b a tan B a
（ 1） ∠ B 90o ∠ A
斜边和一个锐角 （ c， ∠ A）
（ 2） sin A a a c· sin A c
（ 3） cosA b b c· cosA c
或 b c2 a2
两条直角边 （ a， b）
三、精解名题
【例 1】 △ABC 中，∠C 为直角，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，且 b＝3,∠A ＝30°，解这个直角三角形。
【例 2】在△ABC 中，∠B＝35°，b＝20，解这个直角三角形。(精确到 0.1，tan35°=0.70)
【例 3】在△ABC 中，∠C＝90°，AC=6，∠BAC 的角平分线 AD= 4 3 ，解这个直角三角
4. 如图 18，在△EFG 中，∠EFG=90°，FH⊥EG，下面等式中，错误的是（ ）
A. sin G EF EG
C. sin G GH FG
B. sin G EH EF
D. sin G FH FG
5. sin65°与 cos26°之间的关系为（
）
A. sin65°<cos26°
B. sin65°>cos26°
（ 1） c a 2 b2 （ 2） tan A a ∠ A
b （ 3） ∠ B 90o ∠ A
斜边和一条直角边 （ c， a）
（ 1） b c2 a 2 （ 2） sin A a ∠ A
c （ 3） ∠ B 90o ∠ A
选用关系式归纳为： 已知斜边求直边，正弦余弦很方便；已知直边求直边，正切余切理当然； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要选好； 已知锐角求锐角，互余关系要记好；已知直边求斜边，用除还需正余弦， 计算方法要选择，能用乘法不用除.
C. sin65°=cos26°
D. sin65°+cos26°=1
6. 在△ABC 中，∠C=90°， sin A 2 ，则 sinB 的值是（
）
5
A.
B.
C.
D.
7. 若平行四边形相邻两边的长分别为 10 和 15，它们的夹角为 60°，则平行四边形的面积是
（ ）米 2
A. 150
B.
C. 9
弦值为__ __。
五、巩固练习
一、 选择题
1、已知а+β=90º，且 sinа+cosβ- 3 =0，则锐角а等于（ ）
（A）30º （B）45º （C） 60º （D） 无法求
2、已知一直角三角形的两直角边的比为 3：7，则最小角的正弦值是（ ）
（A） 3 7
（B） 3 58 （C） 7 58 （D） 4
D. 7
8. 如图 20，两条宽度都为 1 的纸条，交叉重叠放在一起，
且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（ ）
1 A. sin
1 B. cos
C. sin
D. 1
二、填空题：
9. 已知 0°<α<90°，当α=__________时， sin 1 ，当α=__________时，
第 2 讲 解直角三角形
一、知识点导航
三种关系
解
直
角
三
四种类型
角
形
课题学习
三边的关系 两锐角的关系 边角的关系 已知斜边和一锐角 已知直角边和一锐角 已知两直角边 已知斜边和一直角边
解直角三角 形的应用
二、知识精要
1.定义：由直角三角形中已知的边和角，计算出未知的边和角的过程，叫做解直角三角 形。
2.解直角三角形依据. 图 1，直角三角形 ABC 的六个元素(三条边，三个角)，a、b、c 分别为∠A，∠B，∠C
所对的边，除直角 C 外，其余五个元素之间的关系如下：
B
(1)三边之间的关系： a2＋b2＝c2(勾股定理)
(2)锐角之间的关系： ∠A＋∠B＝90°（互余）
(3)边角之间的关系：
sinA＝ A的对边 a ；cosA＝ A的邻边 b ；
斜边 c
斜边 c
c
a
A
b
C
tanA＝ A的对边 a ； cotA＝ A的邻边 b ；