函数值与极限的关系
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ｎ
出奇 ” 的无 穷大 。 ＝ 中分 母ｎ 即： Ｏ 已经 变成 了
ｎ 以 ｎ了 。 乘
４ 函数值 与极限的关系
例 ｌ 求极 限ｌｍｘ． ： ｉ 一 ＊
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（ 珏 ＿ ＝ ２ ｍ． 三 １ ） ．
当ｎ 于无穷大时 ： 趋
ｌ 哺 （ ４ ｎ； ｌ ｍｔ １ － ） ｅ 从 这 两 个 极 限 的 求 解 可 知 ， 穷 小 和 无 零是两 个完全不同的概念。
２ ６
中国科教创 新导刊 Ｃ ｉ ｄ ｃ ｔ ｎ Ｉｎ ｖ ｔ ｎ Ｈ ｒ ｌ ｈｎ Ｅ ｕ ａ ｉ ｎ ｏ ａ ｉ ｅ ａｄ ａ ｏ ｏ
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教 学 案 例
函数 值 与 极 限 的 关 系
李 增 华 （ 水土职业 中学 重庆
４０ １ ０ ７ ４） 摘 要： 本文研 究 了两个 特殊 极限 ； 无穷大的值Ｍ； 穷小 的值Ｎ＃ 无 函数值 与极限 的关 系｝ 以及两个重要极限 。 关 键 词 ： 数 值 极 限 相 等 函 中 图分 类号 ： ４． Ｇ６ ６ ３ 文 献标 识码 ： Ａ 文章编号 ： ７ －９ ９ （ ０ ０ Ｉ （） １ ６ ｌ １ ３ ７ ５ ２ １ ） １ｃ一０ －０ ６ ２ 个 极 限 是 变量 趋 进 于 “ 得惊 人 ” 弱 的 无 穷 大 计 算 出 来 的 ； 个 极 限 是 变 量 趋 进 一 于 “ 得 出奇 ” 无 穷 大 计 算 出 来 的 ， 两 大 的 这 个 极 限都 是 错 误 的 ， 因就 在 于 无 穷 大 ， 原 无 穷 小 没有 一 个 确 定 的 值 。 给 定 了无 穷大 ， 在 无 穷 小 一 个确 定 的 值 后 ， 函数 在 某 一 点 处 的 极 限 就 等 于 函数 在 该 点处 的 函 数值 。
２无穷大的值Ｍ
解 ｌ 的 极 为 等 １ ： 州 ｉ ｍ 右 限 韭 ＝
＝ ０ｉ ｍ一 ＊ ：ｏ ｌ ｉ ，ｍ一 ＊ ， ｉ
３ 无穷小的值Ｎ
ｌｍ ｘ ｉ ＿Ｎ
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比 零 大 ， 其 它正 数 都 要 小 的 数 为 无 比 Ｈ ＿： ． 根 据 目前 的 理 论 ， 穷 小 Ｎ。 穷 小 只 能 与 大 于 等 于 一 的正 整 卫 蕾 ＝０ ， 无 （） ２求右极限ｌ ｉ ｍ （ ＋ｎ； １ ） 无 ｌ 兰 ０ ｉ ｍ ＝ 可以这样解释： 分子是“ 弱得惊 数 作 乘 法 运 算 。 穷 小 的 运 算 规 则 与 留 人 留人 守 屋 最 少 留一 个 人 ， 解：ｍ （ ＋ｎｉ ｌ ｌ １ ）的右极限为： 人 ” 无 穷 大 ， 母 是 “ 得 出奇 ” 无 穷 守 屋有 相 同 之 处 ， 的 分 大 的 ｉ 可 以多 留。 就是 说 对 于 无 穷 小来 说 ， 也 留人 大。 ｉ叠。 ＝ 中的 来 这一个 就已 守 屋一 就 是 无 穷 小 。 穷 小 不 能 乘 以 １． ， 从ｌ － 三 ０ ｎ 看， ｌ ｎ ｎ （ ４ｎ＋Ｎ 丽 １－ ） ｅ 无 ５ 经 长 到 ３ 无 穷大 了 。 就 是 说 ， 着 分 子 倍 也 随 函 数 ｙ １＋ 在点 ｎ＝０处是无解的 ， （ 上 留 １５ ． 个人 守 屋 就不 对 了 。 同样 的 道理 ， ／ ｌ２ 的 变大 ， 母ｎ 越 变越 大 ， 直变 到 “ 得 分 就 一 大 个 无穷小就错了。 式可写为 ： 解： Nhomakorabea因为 Ｍ…
ｌ ｉ ｍｘ
１
－
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＝
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Ｎ
此 极 限就是 ｘ＝Ｍ时的 函数 值 。
例： 限ｍ．兰 ２ 极 ｌｘ 求 ｉ．
解： ｍｘ ： ２ ２ ｌ ｘ ＝Ｍ－ ｉ －
此极 限也 是 ｘ Ｍ时 的 函数 值 。 ＝
大 量 事 例 证 明 了一 点 ： 函数 的 自变 量 趋 进
ｌ１ ＝ 。 一 警 ＝， ｉ． ｍ￣ ＊ ｌｍ ｌ ｌ ｌ
ｌ 一 譬 ＝ …“ 一 一 ， ｌ ｍ ｌ 强 １根 据目 的理 ｌ ： １ 这样 前 论，ｍ ｉ ＝可以 解释：
分 子 中 前 一 个 ｎ和 分 母 ｎ是 “ 得 出奇 ” 大 的 无 穷 大 ， 子 中后 一 个 ｎ “ 得 惊 人 ” 分 是 弱 的 无穷大。 从这 两个极限错误 的根源 来看 ， 有必要给 无穷 大 无穷 小一 个确 定 的值 。
一
１两个特殊极限
（） １ ： ０ １ｉ ． ＝ ｌ ． ｍ
当ｎ 于无穷大时 ： 趋
ｌｍ ｉ
… …
于某一 点时 函数的 极限等 于 函数的 自变量在 除 自身 外 ， 其 它 正 数 都 要 大 的 数 为 该点 处 函数 的 函 数值 。 比 无 穷 大 Ｍ 。 穷 大 与 正 数 之 间 只 能 减 法 运 无 算 ， 能 与 大 于 １ 数 作 除 法 运 算 。 无 穷 ５ 两个重要极限 只 的 把 大 Ｍ 比 作一 杯 满 满 的 水 ， 就是 说 这 １ 水 也 杯 （） １求右 极 限 ｌｍｘ Ｎ塑 ｉ ． 只能 倒 出 ， 也不 能 装 进 了 ， 是无 穷大 与 再 这 正 数 之 间 不 能 作 加 法 运 算 的 道 理 。 于 除 至 法 运 算 ， 就 是 只 有 １ 满 满 的水 ， 也 杯 不能 把 ■ ｎｘ ｉ 它变 成 两 杯 或３ 满 满 的水 ， 可以 把 它 变 杯 但 函数Ｙ 一 －在点ｘ ０ ＝＝ ： 处是无解的， 上 成两个半杯或者３ １ ３ 水 。 个 ／杯 式可写为 ：
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ｎ 以 ｎ了 。 乘
４ 函数值 与极限的关系
例 ｌ 求极 限ｌｍｘ． ： ｉ 一 ＊
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当ｎ 于无穷大时 ： 趋
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中国科教创 新导刊 Ｃ ｉ ｄ ｃ ｔ ｎ Ｉｎ ｖ ｔ ｎ Ｈ ｒ ｌ ｈｎ Ｅ ｕ ａ ｉ ｎ ｏ ａ ｉ ｅ ａｄ ａ ｏ ｏ
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教 学 案 例
函数 值 与 极 限 的 关 系
李 增 华 （ 水土职业 中学 重庆
４０ １ ０ ７ ４） 摘 要： 本文研 究 了两个 特殊 极限 ； 无穷大的值Ｍ； 穷小 的值Ｎ＃ 无 函数值 与极限 的关 系｝ 以及两个重要极限 。 关 键 词 ： 数 值 极 限 相 等 函 中 图分 类号 ： ４． Ｇ６ ６ ３ 文 献标 识码 ： Ａ 文章编号 ： ７ －９ ９ （ ０ ０ Ｉ （） １ ６ ｌ １ ３ ７ ５ ２ １ ） １ｃ一０ －０ ６ ２ 个 极 限 是 变量 趋 进 于 “ 得惊 人 ” 弱 的 无 穷 大 计 算 出 来 的 ； 个 极 限 是 变 量 趋 进 一 于 “ 得 出奇 ” 无 穷 大 计 算 出 来 的 ， 两 大 的 这 个 极 限都 是 错 误 的 ， 因就 在 于 无 穷 大 ， 原 无 穷 小 没有 一 个 确 定 的 值 。 给 定 了无 穷大 ， 在 无 穷 小 一 个确 定 的 值 后 ， 函数 在 某 一 点 处 的 极 限 就 等 于 函数 在 该 点处 的 函 数值 。
２无穷大的值Ｍ
解 ｌ 的 极 为 等 １ ： 州 ｉ ｍ 右 限 韭 ＝
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３ 无穷小的值Ｎ
ｌｍ ｘ ｉ ＿Ｎ
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比 零 大 ， 其 它正 数 都 要 小 的 数 为 无 比 Ｈ ＿： ． 根 据 目前 的 理 论 ， 穷 小 Ｎ。 穷 小 只 能 与 大 于 等 于 一 的正 整 卫 蕾 ＝０ ， 无 （） ２求右极限ｌ ｉ ｍ （ ＋ｎ； １ ） 无 ｌ 兰 ０ ｉ ｍ ＝ 可以这样解释： 分子是“ 弱得惊 数 作 乘 法 运 算 。 穷 小 的 运 算 规 则 与 留 人 留人 守 屋 最 少 留一 个 人 ， 解：ｍ （ ＋ｎｉ ｌ ｌ １ ）的右极限为： 人 ” 无 穷 大 ， 母 是 “ 得 出奇 ” 无 穷 守 屋有 相 同 之 处 ， 的 分 大 的 ｉ 可 以多 留。 就是 说 对 于 无 穷 小来 说 ， 也 留人 大。 ｉ叠。 ＝ 中的 来 这一个 就已 守 屋一 就 是 无 穷 小 。 穷 小 不 能 乘 以 １． ， 从ｌ － 三 ０ ｎ 看， ｌ ｎ ｎ （ ４ｎ＋Ｎ 丽 １－ ） ｅ 无 ５ 经 长 到 ３ 无 穷大 了 。 就 是 说 ， 着 分 子 倍 也 随 函 数 ｙ １＋ 在点 ｎ＝０处是无解的 ， （ 上 留 １５ ． 个人 守 屋 就不 对 了 。 同样 的 道理 ， ／ ｌ２ 的 变大 ， 母ｎ 越 变越 大 ， 直变 到 “ 得 分 就 一 大 个 无穷小就错了。 式可写为 ： 解： Nhomakorabea因为 Ｍ…
ｌ ｉ ｍｘ
１
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， 得 可
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此 极 限就是 ｘ＝Ｍ时的 函数 值 。
例： 限ｍ．兰 ２ 极 ｌｘ 求 ｉ．
解： ｍｘ ： ２ ２ ｌ ｘ ＝Ｍ－ ｉ －
此极 限也 是 ｘ Ｍ时 的 函数 值 。 ＝
大 量 事 例 证 明 了一 点 ： 函数 的 自变 量 趋 进
ｌ１ ＝ 。 一 警 ＝， ｉ． ｍ￣ ＊ ｌｍ ｌ ｌ ｌ
ｌ 一 譬 ＝ …“ 一 一 ， ｌ ｍ ｌ 强 １根 据目 的理 ｌ ： １ 这样 前 论，ｍ ｉ ＝可以 解释：
分 子 中 前 一 个 ｎ和 分 母 ｎ是 “ 得 出奇 ” 大 的 无 穷 大 ， 子 中后 一 个 ｎ “ 得 惊 人 ” 分 是 弱 的 无穷大。 从这 两个极限错误 的根源 来看 ， 有必要给 无穷 大 无穷 小一 个确 定 的值 。
一
１两个特殊极限
（） １ ： ０ １ｉ ． ＝ ｌ ． ｍ
当ｎ 于无穷大时 ： 趋
ｌｍ ｉ
… …
于某一 点时 函数的 极限等 于 函数的 自变量在 除 自身 外 ， 其 它 正 数 都 要 大 的 数 为 该点 处 函数 的 函 数值 。 比 无 穷 大 Ｍ 。 穷 大 与 正 数 之 间 只 能 减 法 运 无 算 ， 能 与 大 于 １ 数 作 除 法 运 算 。 无 穷 ５ 两个重要极限 只 的 把 大 Ｍ 比 作一 杯 满 满 的 水 ， 就是 说 这 １ 水 也 杯 （） １求右 极 限 ｌｍｘ Ｎ塑 ｉ ． 只能 倒 出 ， 也不 能 装 进 了 ， 是无 穷大 与 再 这 正 数 之 间 不 能 作 加 法 运 算 的 道 理 。 于 除 至 法 运 算 ， 就 是 只 有 １ 满 满 的水 ， 也 杯 不能 把 ■ ｎｘ ｉ 它变 成 两 杯 或３ 满 满 的水 ， 可以 把 它 变 杯 但 函数Ｙ 一 －在点ｘ ０ ＝＝ ： 处是无解的， 上 成两个半杯或者３ １ ３ 水 。 个 ／杯 式可写为 ：