北师版八上数学第一章勾股定理的应用课件
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第一章 勾股定理
1.3 勾股定理的应用
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
情境引入
1.学会运用勾股定理求立体图形中两点之间的最 短距离．（重点） 2.能够运用勾股定理解决实际生活中的问题. (重点,难点)
讲授新课
一 立体图形中两点之间的最短距离 问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了 一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一 信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁 怎么走最近？
间线段最短确定最短路线.
典例精析
例1 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正
好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米?(已
知油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，π取3）
B
B
B'
A
A
A'
解：油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离.
∵AA'=2×3×2=12, A'B'=5,
∴AB'=13. 即梯子最短需13米.
A
B
AC2=AB2+BC2=12+22=5
1m
AC 5 2.24 .
因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.
例4 如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙 AO上，这时AO为2.4m. 如果梯子的顶端A沿墙下滑 0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理得
OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，∴OB=1. A 在Rt△COD中，根据勾股定理得 OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15, C
OD 3.15 1.77,
BD OD OB 1.77 1 0.77 .
O
BD
∴梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也
油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒有多长？ 解:设伸入油桶中的长度为x m,则最长时:
x2 1.52 22
解得：x=2.5 所以最长是2.5+0.5=3(m). 最短时, x=1.5 所以最短是1.5+0.5=2(m).
答:这根铁棒的长应在2～3 m之间.
3.一个25m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO 的距离为24m,如果梯子的顶端A沿墙下滑4m,那么梯子底 端B也外移4m吗?
B
A 10
B2 8 6
二 勾股定理的实际应用 问题：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边 是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺. （1）你能替他想办法完成任务吗？
解:连接对角线AC，只要分别量 出AB、BC、AC的长度即可.
AB2+BC2=AC2
△ABC为直角三角形
（2）量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD 长是50 cm. AD边垂直于AB边吗？
解 :AD得2+∠ABD2A=B30=29+04°02，=5A02D=边BD垂2，
直于AB边.
（3）若随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，能有 办法检验AD边是否垂直于AB边吗？
解:在AD上取点M,使AM=9,在AB 上取点N使AN=12,测量MN是否是 15，是，就是垂直；不是，就是 不垂直.
数学思想： 立体图形
转化 展开
平面图形
变式1：当小蚂蚁爬到距离上底3cm的点E时，小明同学 拿饮料瓶的手一抖，那滴甜甜的饮料就顺着瓶子外壁滑 到了距离下底3cm的点F处，小蚂蚁到达点F处的最短路 程是多少？（π取3）
E
E
F
F
E
E
F
F
解：如图，可知△ECF为直角三角形， 由勾股定理,得 EF2=EC2+CF2=82+(12-3-3)2=100， ∴EF=10(cm).
变式2：看到小蚂蚁终于喝到饮料的兴奋劲儿， 小明又灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放 在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠粒， 你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？
B
牛奶盒
A 10cm
8cm 6cm
B3
AB12 =102 +（6+8）2 =296
AB22= 82 +（10+6）2 =320
B1 AB32= 62 +（10+8）2 =360
外移0.5m，而是外移约0.77m.
归纳总结
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题.
实际问题 决解
勾股定理
转化 数学问题 建构
利用 直角三角形
方法总结
此类问题解题的关键是将实际问题转化 为数学问题；在数学模型(直角三角形)中， 应用勾股定理或勾股定理的逆定理解题．
例2 如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置， 则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m， 试求滑道AC的长.
解：设滑道AC的长度为x m，则AB的 长也为x m，AE的长度为（x-1）m. 在Rt△ACE中，∠AEC=90° ，由勾股定理得AE2+CE2=AC2， 即（x-1）2+32=x2， 解得x=5. 故滑道AC的长度为5 m.
B
A
蚂蚁A→B的路线
A'
d
B A'
B
O
B
B
A
A
A
A
想一想： 蚂蚁走哪一条路线最近？
若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，
π取3，则:
AB 2 12 2 (3 3)2
AB 15
A' 3 O B
A' 3π
B
侧面展开图
12
12
A
A
【方法归纳】立体图形中求两点间的最短距离，一般
把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之
解：在Rt△AOB中，
OB 2 AB2 AO2 252 242,
OB 7.
在Rt△COD中，
OD 2 CD2 CO2 252 202 ,
OD 15.
BD OD OB 8.
梯子的顶端沿墙下滑4 m,梯子底端外移8 m.
课堂小结
立体图形中两点之间 的最短距离
勾股定理 的应用
勾股定理的实际应用
数学思想： 实际问题
转化 建模
数学问题
典例精析
例3 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的 长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?
分析：可以看出木板横着，竖着都
不能通过，只能斜着.门框AC的长 D
C
度是斜着能通过的最大长度Hale Waihona Puke Baidu只要
AC的长大于木板的宽就能通过.
2m
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，
当堂练习
1．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6
cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，
折痕为DE，则BE的长为（ B ）
A.4 cm B.5 cm
C.6 cm D.10 cm
C D
A
B
E
2．有一个高为1.5 m，半径是1 m的圆柱形油桶，在靠 近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在
1.3 勾股定理的应用
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
情境引入
1.学会运用勾股定理求立体图形中两点之间的最 短距离．（重点） 2.能够运用勾股定理解决实际生活中的问题. (重点,难点)
讲授新课
一 立体图形中两点之间的最短距离 问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了 一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一 信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁 怎么走最近？
间线段最短确定最短路线.
典例精析
例1 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正
好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米?(已
知油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，π取3）
B
B
B'
A
A
A'
解：油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离.
∵AA'=2×3×2=12, A'B'=5,
∴AB'=13. 即梯子最短需13米.
A
B
AC2=AB2+BC2=12+22=5
1m
AC 5 2.24 .
因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.
例4 如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙 AO上，这时AO为2.4m. 如果梯子的顶端A沿墙下滑 0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理得
OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，∴OB=1. A 在Rt△COD中，根据勾股定理得 OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15, C
OD 3.15 1.77,
BD OD OB 1.77 1 0.77 .
O
BD
∴梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也
油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒有多长？ 解:设伸入油桶中的长度为x m,则最长时:
x2 1.52 22
解得：x=2.5 所以最长是2.5+0.5=3(m). 最短时, x=1.5 所以最短是1.5+0.5=2(m).
答:这根铁棒的长应在2～3 m之间.
3.一个25m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO 的距离为24m,如果梯子的顶端A沿墙下滑4m,那么梯子底 端B也外移4m吗?
B
A 10
B2 8 6
二 勾股定理的实际应用 问题：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边 是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺. （1）你能替他想办法完成任务吗？
解:连接对角线AC，只要分别量 出AB、BC、AC的长度即可.
AB2+BC2=AC2
△ABC为直角三角形
（2）量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD 长是50 cm. AD边垂直于AB边吗？
解 :AD得2+∠ABD2A=B30=29+04°02，=5A02D=边BD垂2，
直于AB边.
（3）若随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，能有 办法检验AD边是否垂直于AB边吗？
解:在AD上取点M,使AM=9,在AB 上取点N使AN=12,测量MN是否是 15，是，就是垂直；不是，就是 不垂直.
数学思想： 立体图形
转化 展开
平面图形
变式1：当小蚂蚁爬到距离上底3cm的点E时，小明同学 拿饮料瓶的手一抖，那滴甜甜的饮料就顺着瓶子外壁滑 到了距离下底3cm的点F处，小蚂蚁到达点F处的最短路 程是多少？（π取3）
E
E
F
F
E
E
F
F
解：如图，可知△ECF为直角三角形， 由勾股定理,得 EF2=EC2+CF2=82+(12-3-3)2=100， ∴EF=10(cm).
变式2：看到小蚂蚁终于喝到饮料的兴奋劲儿， 小明又灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放 在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠粒， 你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？
B
牛奶盒
A 10cm
8cm 6cm
B3
AB12 =102 +（6+8）2 =296
AB22= 82 +（10+6）2 =320
B1 AB32= 62 +（10+8）2 =360
外移0.5m，而是外移约0.77m.
归纳总结
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题.
实际问题 决解
勾股定理
转化 数学问题 建构
利用 直角三角形
方法总结
此类问题解题的关键是将实际问题转化 为数学问题；在数学模型(直角三角形)中， 应用勾股定理或勾股定理的逆定理解题．
例2 如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置， 则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m， 试求滑道AC的长.
解：设滑道AC的长度为x m，则AB的 长也为x m，AE的长度为（x-1）m. 在Rt△ACE中，∠AEC=90° ，由勾股定理得AE2+CE2=AC2， 即（x-1）2+32=x2， 解得x=5. 故滑道AC的长度为5 m.
B
A
蚂蚁A→B的路线
A'
d
B A'
B
O
B
B
A
A
A
A
想一想： 蚂蚁走哪一条路线最近？
若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，
π取3，则:
AB 2 12 2 (3 3)2
AB 15
A' 3 O B
A' 3π
B
侧面展开图
12
12
A
A
【方法归纳】立体图形中求两点间的最短距离，一般
把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之
解：在Rt△AOB中，
OB 2 AB2 AO2 252 242,
OB 7.
在Rt△COD中，
OD 2 CD2 CO2 252 202 ,
OD 15.
BD OD OB 8.
梯子的顶端沿墙下滑4 m,梯子底端外移8 m.
课堂小结
立体图形中两点之间 的最短距离
勾股定理 的应用
勾股定理的实际应用
数学思想： 实际问题
转化 建模
数学问题
典例精析
例3 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的 长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?
分析：可以看出木板横着，竖着都
不能通过，只能斜着.门框AC的长 D
C
度是斜着能通过的最大长度Hale Waihona Puke Baidu只要
AC的长大于木板的宽就能通过.
2m
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，
当堂练习
1．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6
cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，
折痕为DE，则BE的长为（ B ）
A.4 cm B.5 cm
C.6 cm D.10 cm
C D
A
B
E
2．有一个高为1.5 m，半径是1 m的圆柱形油桶，在靠 近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在