2016版步步高考前三个月复习数学理科(鲁、京、津专用) 专题1 第2练

第2练用好逻辑用语，突破充要条件

[题型分析·高考展望]逻辑用语是高考常考内容，充分、必要条件是重点考查内容，题型基本都是选择题、填空题，题目难度以低、中档为主.在二轮复习中，本部分应该重点掌握四种命题的真假判断、否命题与命题的否定的区别、含有量词的命题的否定的求法、充分必要条件的判定与应用.这些知识被考查的概率都较高，特别是充分、必要条件几乎每年都有考查.

常考题型精析

题型一命题及其真假判断

常用结论：

(1)原命题与逆否命题等价，同一个命题的逆命题、否命题等价；(2)四个命题中，真命题的个数为偶数；(3)只有p、q都假，p∨q假，否则为真，只有p、q都真，p∧q真，否则为假；

(4)全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题，一个命题与其否定不会同真假. 例1(1)(2015·安徽)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()

A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行

B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行

C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线

D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面

(2)(2014·湖南)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；

③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是()

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④

点评利用等价命题判断命题的真假，是判断命题真假快捷有效的方法.在解答时要有意识地去练习.

变式训练1(2014·重庆)已知命题：

p：对任意x∈R，总有2x>0；

q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件.

则下列命题为真命题的是()

A.p ∧q

B.(綈p )∧(綈q )

C.(綈p )∧q

D.p ∧(綈q )

题型二 充分条件与必要条件 例2 (1)(2015·北京)设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.则“m ∥β”是“α∥β” 的( )

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

(2)给出下列命题：

①若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；

②a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；

③在△ABC 中，sin A >sin B 的充要条件为A >B ；

④在△ABC 中，设命题p ：△ABC 是等边三角形，命题q ：a ∶b ∶c ＝sin B ∶sin C ∶sin A ，那么命题p 是命题q 的充分不必要条件.

其中正确的命题为________.(把你认为正确的命题序号都填上)

点评 判断充分、必要条件时应注意的问题

(1)先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .

(2)举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明.

(3)准确转化：若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件；若綈p 是綈q 的充要条件，那么p 是q 的充要条件.

变式训练2 (2015·湖北)设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；

q ：(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)·(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2，则( )

A.p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件

B.p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件

C.p 是q 的充分必要条件

D.p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件

题型三 与命题有关的综合问题

例3 (2015·重庆南开中学月考)下列叙述正确的是( )

A.命题：∃x ∈R ，使x 3＋sin x ＋2<0的否定为：∀x ∈R ，均有x 3＋sin x ＋2<0

B.命题：“若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1”的逆否命题为：若x ≠1或x ≠－1，则x 2≠1

C.已知n ∈N ，则幂函数y ＝x 3n

－7为偶函数，且在x ∈(0，＋∞)上单调递减的充分必要条件为

n ＝1

D.函数y ＝log 2x ＋m 3－x

的图象关于点(1,0)中心对称的充分必要条件为m ＝±1 点评 解决此类问题需要对每一个命题逐一作出判断，需要有扎实的基础知识，这是破解此类问题的前提条件.若需证明某命题为真，需要根据有关知识作出逻辑证明，但若需要证明某命题为假，只要举出一个反例即可，因此，“找反例”是破解此类问题的重要方法之一. 变式训练3 (2014·江西)下列叙述中正确的是( )

A.若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”

B.若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2≥cb 2”的充要条件是“a >c ”

C.命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”

D.l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β

高考题型精练

1.(2015·课标全国Ⅰ)设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则綈p 为( )

A.∀n ∈N ，n 2>2n

B.∃n ∈N ，n 2≤2n

C.∀n ∈N ，n 2≤2n

D.∃n ∈N ，n 2＝2n 2.(2014·课标全国Ⅱ)函数f (x )在x ＝x 0处导数存在.若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )

A.p 是q 是充分必要条件

B.p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件

C.p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件

D.p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件

3.(2015·济南模拟)下列命题中，真命题是( )

A.∀x ∈R ，x 2>0

B.∀x ∈R ，－1

C.∃x 0∈R,2x 0<0

D.∃x 0∈R ，tan x 0＝2