随机变量及其分布--正态分布
高中数学选修2-3精品课件2：2.4正态分布
P(1 <x<2)= P(-1.5 <x<-1)= P(-0.5 <x<1.5)=
正态分布0)
(
X0-
)
例题选讲 求正态总体N（1，4）在区间（2，3）内取值的概率？
P(2 <x<3)=( 1)- (0.5)=0.1498
（ - 2 ， + 2）
95.4%
（ - 3 ， +3 ）
99.7%
小概率事件
正态总体在( - 2 ， + 2)以外取值的概率是 4.6% 正态总体在( - 3 ， + 3)以外取值的概率是 0.3%
O
4
x
6
小概率事件在一次实验中几乎不可能发生
控制上界 + 3
中心线
控制下界 -3
练习
1.设零件尺寸服从正态总体N（4，0.25）质检人员从工厂
生产的1000件产品中随机抽查一件，测得其尺寸为5.7,试问
这批产品是否合格？
控制上界
+ 3=4+3×0.5=5.5
控制下界
- 3=4－3×0.5=2.5
5.7(2.5，5.5)
该产品不合格
2.设零件尺寸服从正态总体N( 25，0. 09)为使生产的产品有 95%以上的合格率，求零件尺寸允许值的范围？
1234
x
=-2
=0
=3
N (0 ,4)
N (0, 1) y
-4 -3 -2 -1 O
1
N (0, 1/9)
=1/3
=1
=2
234
x
正态曲线的性质
正态分布及其应用
正态分布及其应用安徽财经大学统计与应用数学学院 吴礼斌一. 随机变量及其分布（Random variable and Distribution ）定义1.1 设E 是随机试验，它的样本空间为Ω=｛ω｜ω为基本事件｝，对每一个样本点即基本事件ω∈Ω，都对应一个实数X(ω)，对于任意实数x ，集合{ω| X (ω) ≤x }有确定的概率．则称X(ω)为随机变量，简记为X 。
随机变量按其取值情况可以分为两类：离散型与非离散型，常见非离散的连续型。
定义1.2 设X 为离散型随机变量，它的所有可能取值为x 1,x 2,…，x k ，…，(有限个或可列无限个)，X 取值为x k 的概率记为).,3,2,1(,}{L ===k p x X P k k (2.1)称(2.1)式为随机变量X 的概率分布或分布律（Law of distribution)，简称(2.1)式为X 的分布。
定义1.3 设X 是随机变量，任意给定实数x ，记事件}{x X ≤的概率为}{)(x X P x F ≤= （2.4.1）则F(x)为实值函数，称F(x)为X 的分布函数（distribution function ）。
随机变量X 的分布函数)(x F 具有如下性质：（1）单调非降性；（2）规范性；（3）右连续性。
定义1.4设随机变量X 的其分布函数为F(x)，若存在非负可积函数f(x)，使得对于任意实数x, 有∫∞−=≤=xdt t f x X P x F )(}{)( (3.1)则称X 为连续型随机变量，称f(x)为X 的概率密度函数（Density function and nature ），简称概率函数或密度函数，记为X ～f(x)，读作X 服从以f(x)为概率密度函数的随机变量。
X 的概率密度函数f(x)具有两条基本性质：(1)非负性；(2)完备性。
二、正态分布(Normal distribution)1．一般正态分布定义2.1 如果连续型随机变量X 的密度函数为),(,21)(22)(21+∞<<−∞=−−x ex f x µσσπ (2.1)其中)0(,>σσµ为常数，则称X 服从参数为µ和2σ的（一般）正态分布或高斯分布(Normal distribution or Gauss distribution )，记作),(~2σµN X 。
随机变量及其分布正态分布
在自然科学中，许多测量误差都被认为服从正态 分布。这种假设允许使用统计方法进行误差分析 和建模。
正态分布在社会科学中的应用
能力和智力测试
正态分布在能力和智力测试中经常被用作模型，因为许多测试得分都呈现出正 态分布的形态。这使得教育工作者和心理学家能够对学生的能力或受试者的智 力进行评估和比较。
02 示例
人的身高、体重等都是连续型随机变量的例子。
03 性质
连续型随机变量的概率密度函数（PDF）描述了 变量在某个区间内取值的概率。
随机变量的数学期望与方差
数学期望（均值）
描述了随机变量取值的“平均”水平。对于离散型随机变量 ，数学期望是各个可能取值与对应概率的加权和；对于连续 型随机变量，数学期望是概率密度函数与自变量乘积的积分 。
02
随机变量的分类与性质
离散型随机变量
01 定义
离散型随机变量是指其取值集合是可数集的随机 变量。
02 示例
抛硬币的正面次数、掷骰子的点数等都是离散型 随机变量的例子。
03 性质
离散型随机变量的概率质量函数（PMF）描述了 每个可能取值的概率。
连续型随机变量
01 定义
连续型随机变量是指其取值集合是连续统（不可 数集）的随机变量。
它由均值和标准差两个参数完全决定，呈现出钟 02 形的曲线。
正态分布在自然界和社会现象中广泛存在，如测 03 量误差、人口身高、考试成绩等。
正态分布的概率密度函数
01 概率密度函数：f(x) = (1 / (σ√(2π))) * e^(-((x μ)² / (2σ²)))，其中μ为均值，σ为标准差。
总结与展望
正态分布在统计学中的重要性总结
基础地位
高中数学《第二章随机变量及其分布2.4正态分布信息技术应用μ,σ对正...》207PPT课件
能说 说正态 曲线的特点 吗?
2曲 线 是单 峰 的,它 关 于直 线x μ
对 称;
3曲线在x μ处达到峰值;
4曲 线 与x轴 之 间 的 面 积 为1.
正态曲线下的面积规律
• X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 • 对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
例1： 在一次测试中，测量结果X服从正态分布 N(2，σ2)(σ＞0)，若X在(0,2)内取值的概率为
观察正态分布曲线的变化
用几何画板研究正态曲线随着 和变化的特点
信息技术 的应用
2. 正态曲线的特点
的意义
正态曲线 f x
1
x 2
e 2 2 , x ,
2
由图象可以知道
(1)曲线是单峰的，它关于直线 x 对称.
(2)曲线在 x 处达到峰值 1
.
2
参数反映随机变量取值的平均水平
我们从上图看到，正态总体在(μ－2σ,μ＋2σ)以外取值的概率只有 4.5％，在
3 , 3 以外取值的概率只有 0.27％。
小概率事件:
.由图可知，正态分布几乎总取值于区间 3 , 3 之内,而在此区间以外
取值的概率只有 0.0027, 由于这些概率值很小（一般不超过 5％），通常称这些
标准正态曲线
正态曲线的函数表示式
f x
1
x 2
e 2 2 , x ,
2
标准正态曲线
y
当时
f x
1
e
x2 2
,
x
,
2
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
称为标准正态分布的函数,其图象称为标准正态曲线.
从正态曲线分析，随机变量X在区间(a，b]内取值的 概率有什么几何意义？在理论上如何计算？
高中数学教师备课必备系列随机变量及其分布：专题七 二项分布与正态分布 含解析
知 识 梳 理1．条件概率及其性质设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝P ABP A 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． 若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )；事件A 与B ，A 与B ，A 与B 都相互独立．3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，若用A i (i ＝1,2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n )． (2)二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率． 4．正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝⎠⎛a b φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布，记为X ～N (μ，σ2)．函数φμ，σ(x )＝，x ∈R 的图象(正态曲线)关于直线x ＝μ对称，在x ＝μ处达到峰值1σ2π. (2)正态总体三个基本概率值①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682_6.②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954_4.③P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997_4.辨 析 感 悟1．条件概率与相互独立事件的概率(1)若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )．(√)(2)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率，一定有P (AB )＝P (A )·P (B )．(×)(3)(教材习题改编)袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是0.5.(√) 2．二项分布与正态分布 (4)在正态分布函数φμ，σ(x )＝中，μ是正态分布的期望值，σ是正态分布的标准差．(√)(5)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生次数的概率分布．(√)(6)(扬州调研改编)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P ＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133－1＝49.(×) 1．古典概型中，A 发生的条件下B 发生的条件概率公式为P (B |A )＝P ABP A＝n AB n A ，其中，在实际应用中P (B |A )＝n ABn A 是一种重要的求条件概率的方法．2．P (A ·B )＝P (A )·P (B )只有在事件A 、B 相互独立时，公式才成立，此时P (B )＝P (B |A )，如(1)，(2)．3．判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：一是是否为n 次独立重复试验．在每次试验中事件A 发生的概率是否均为p .二是随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数．且P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k表示在独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率.考点一条件概率【例1】 (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于( )．A.18B.14C.25D.12(2)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)＝________.规律方法 (1)利用定义，求P(A)和P(AB)，则P(B|A)＝P ABP A.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝n ABn A.【训练1】已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )．A.1127B.1124C.827D.924解析设从1号箱取到红球为事件A，从2号箱取到红球为事件B.由题意，P(A)＝42＋4＝23，P(B|A)＝3＋18＋1＝49，∴P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝23×49＝827，所以两次都取到红球的概率为827. 答案C考点二相互独立事件同时发生的概率【例2】 (陕西卷改编)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X≥2”的事件概率．审题路线(1)甲选择3号和乙没选择3号是相互独立事件，利用相互独立事件概率乘法可求；(2)“X≥2”表示事件“X＝2”与“X＝3”的和事件，根据互斥事件、相互独立事件的概率公式计算．解(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P(A)＝C12C23＝23，P(B)＝C24C35＝35.∵事件A与B相互独立，A与B相互独立．则A·B表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”．∴P(A B)＝P(A)·P(B)＝P(A)·1－P(B)]＝23×25＝415，(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)＝C24C35＝35，规律方法 (1)解答本题关键是把所求事件包含的各种情况找出来，从而把所求事件表示为几个事件的和事件．(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．【训练2】甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为1 2与p，且乙投球2次均未命中的概率为1 16 .(1)求乙投球的命中率p；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率．解(1) 34. (2)34.考点三正态分布下的概率【例3】已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.8，则P(0<X<2)＝( )．A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2【训练3】若在本例中，条件改为“已知随机变量X～N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，”求P(X>4)的值．考点四独立重复试验与二项分布【例4】某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；(2)求中奖人数X的分布列．审题路线(1)甲、乙、丙各购买一瓶饮料是否中奖，相互独立，由相互独立事件同时发生的概率乘法公式，第(1)问可求；(2)依题意随机变量X服从二项分布，不难求出分布列．则P(X＝0)＝C03·5363＝125216，P(X＝1)＝C13·5263＝2572，P(X＝2)＝C23·563＝572，P(X＝3)＝C3363＝1216，所以中奖人数X的分布列为规律方法 (1)一种试验，在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后求概率．【训练4】某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X ，求X 的概率分布列及数学期望E (X )．P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎪⎫1－1103＝7291 000. 所以，随机变量X 的概率分布列为E (X )＝0×11 000＋1×271 000＋2×2431 000＋3×7291 000＝2710. 1．相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P (AB )＝P (A )P (B )．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．2．在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次可看做是C k n 个互斥事件的和，其中每一个事件都可看做是k 个A 事件与(n －k )个A 事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是p k (1－p )n －k .因此n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k次的概率为C k n p k (1－p )n －k. 3．若X 服从正态分布，即X ～N (μ，σ2)，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1.易错辨析11——对二项分布理解不准致误【典例】 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列； (2)设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的分布列．而{Y ＝6}表示一路没有遇上红灯． 故其概率为P (Y ＝6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫236，因此Y 的分布列为：易错警示布解决，二项分布模型的建立是易错点；另外，对“首次停车前经过的路口数Y ”理解不当，将“没有遇上红灯的概率也当成13”．防范措施] 独立重复试验中的概率公式P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k表示的是n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率，p 与(1－p )的位置不能互换，否则该式子表示的意义就发生了改变，变为事件A 有k 次不发生的概率了．【自主体验】(辽宁卷)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．解(1)设事件A＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．因为P(A)＝C36C310＝16，所以P(A)＝1－P(A)＝56.(2)X所有的可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝C02·⎝⎛⎭⎪⎫350·⎝⎛⎭⎪⎫252·15＝4125；。
常见随机变量的分布函数
常见随机变量的分布函数在概率论和统计学中，随机变量是一个可以取得不同值的变量，其值是按照一定的概率分布规律出现的。
随机变量的分布函数描述了随机变量在不同取值上的概率。
下面是一些常见的随机变量及其分布函数：1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：伯努利分布是最简单的离散随机变量分布之一、它只有两个可能的取值，例如0和1，成功和失败，正面和反面等。
伯努利分布的分布函数可以表示为：F(x)=1-p,x<0F(x) = 1-p+px, 0<= x < 1F(x)=1,x>=12. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布用于描述一系列独立重复实验中成功的次数。
成功和失败的概率分别为p和q=1-p。
二项分布的分布函数可以表示为：F(x)=Σ(从0到x)[C(n,i)*p^i*q^(n-i)],x为非负整数F(x)=Σ(从0到x)[(e^(-λ)*λ^i)/i!],x为非负整数4. 正态分布（Normal Distribution）：正态分布是连续型随机变量的常用分布，也被称为高斯分布。
它具有对称的钟形曲线，其分布函数不具有一个简单的数学表达式。
正态分布的参数是均值μ和标准差σ。
5. 均匀分布（Uniform Distribution）：均匀分布是最简单的连续型随机变量分布之一，它在一个给定的区间上的取值概率是均等的。
F(x)=(x-a)/(b-a),a<=x<=b6. 指数分布（Exponential Distribution）：指数分布用于描述连续时间的等待事件，例如到达一些交叉口的时间间隔。
指数分布的分布函数可以表示为：F(x)=1-e^(-λx),x>=07. 对数正态分布（Log-Normal Distribution）：对数正态分布是正态分布的指数函数，它使用对数尺度来处理正态分布不适用的情况，例如财富分布和人口增长。
人教新课标A版高二数学《选修2-3》2.4 正态分布
O
x
(5)当一定时,曲线随着的变化而沿x轴平移 (6)当一定时,曲线的形状由的确定.
越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中; 越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.
若X~N(,2),则对于任何实数a>0,概率
P a X a
dx , a x a
大约应有57人的分数在下列哪个区间内？（ C ）
A.(90,110] B.(95,125] C.(100,120] D.(105,115]
2.已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率等于（ D ） A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228
3.设离散型随机变量X~N(0,1),则 P( X
a
P X 0.6826
P 2 X 2 0.9544 P 3 X 3 0.9974
3原则 通常认为服从于正态分布N(,2)的随机变量X只取 (-3,+3)之间的值.
课堂小结
b a
如果对于任何实数a<b,随机变量X满足 b Pa X b , x dx a
则称X的分布为正态分布 记N , 2 X服从正态分布,则记 X ~ N , 2
是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去
估计；
是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去
第二章 随机变量及其分布
2.4 正态分布
知识回顾
随机变量的方差
性质
意义
D(aX+b)=a2D(X)
若X服从两点分布,则DX=p(1-p)
若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p)
第八讲：正态分布及随机变量函数的分布.
一、分布函数(P27)定义(P27):设X是随机变量，对任意实数兀，事件{X <x}的概率P{X <x}称为随机变量X的分布函数.记为F(x)，即F(x) =P{X <x}P(X < a) =F(a)P(X VQ)= lim F(x)x—>a分布函数的性质(P28)(1) 单调不减性：若Xl<x2,则F(X1)<F(X2);(2) 规范寸生：对任意实数x, 0<F(x)<1,且F(—oo) = lim F(x) = 0,F(4-OO) = lim F(x) = 1;X—>—CO X—►-Foo(3) 右连续性；R卩对于任意实数心有；F(x0 +0) = lim F(x) = F(x0).KT威若某函数满足上述3条性质，则它一定是某随机变最的分布函数一般地，对离散型随机变量，若P{X= x k}=p k, 其分布函数为F(x) = P{X <x}= 工以则X的分布函数为：F(x) = P{X <x} =+ "2二、离散型随机变量的分布函数一般结论：X X】x2・・设随机变量X的分布列为：_____________________________ k=l,2,X K7p i X V JC X 兀］V X V 兀？•XT? V X V 兀$连续型随机变(P30)定义(P31):对任意实数x,如果随机变量X的分布函数F (x)可以写成F(x)=P(X < 其时(x) > 0则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.常记为X ~ (-oo<X<+oo)密度函数的性质(P31-32)(1) 非负性f(X)x), (-O0<x<o0)；「+oo(2) 归一性j f(x)dx=l.⑶在f(x)的一切连续点处有F/(x)=/(x)(4)对任意实数6,连续型随机变量取该值的概率为零，即(-00<b<00),则P{X=b}=Oo连续型随机变量落入某区间的概 率等于 其密度函数在该区间上的积分或其分布函数在该区间“右端点” 处的值减去“左端点”处的值若随机变具们概率密度函数则称x 服从区间［a, b ］上的均匀分布。
高二数学《正态分布》课件
课时作业与单元测试
第二章 随机变量及其分布
解析：正态分布密度曲线的对称轴为 x＝μ，由图象可知 μ1
＜μ2＝μ3；正态分布密度曲线的峰值 2π1 σ与 σ 成反比，峰值 越大，σ 越小，由图象可知，σ1＝σ2＜σ3.
答案：μ1＜μ2＝μ3 σ1＝σ2＜σ3
课时作业与单元测试
第二章 随机变量及其分布
三个不同值 σ1，σ2，σ3 时的三种正态曲线，那么 σ1，σ2，σ3 的 大小关系是( )
A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3 C．σ1>σ2>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3
课时作业与单元测试
第二章 随机变量及其分布
解析：由正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义可知：
课时作业与单元测试 数学 选修2-3 RJ·A
第二章 随机变量及其分布
课时作业与单元测试
第二章 随机变量及其分布
2.4 正态分布
课时作业与单元测试
第二章 随机变量及其分布
基础知识梳理
知题识点 知点 识判巩断固
提能达标过关
课时作业与单元测试
第二章 随机变量及其分布
基础知识梳理
课时作业与单元测试
(其中 ε>0)
曲线在 x＝μ 处
达到峰值
1
2πσ
1
0<P(X)≤_σ____2_π___
曲线与 x 轴围成 的面积为 1
P(－∞<X<＋∞)＝ 1
课时作业与单元测试
第二章 随机变量及其分布
题点知识巩固
课时作业与单元测试
第二章 随机变量及其分布
正态分布及随机变量函数的分布
在概率论中，大数定律可以帮助我们预测某一事件发生的概率，例如在赌博游戏中，大数定律可以帮助我们预测 长期赌博的胜率。
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证明过程
需要用到概率论和数理统计中的一些高级概念，如大数定律 、特征函数等。
中心极限定理的应用
01
在统计学中，中心极限定理是 用来推导各种统计量的分布的 重要依据，如样本均值、样本 中位数、样本方差等。
02
在金融领域，中心极限定理用 于分析股票价格波动、收益率 分布等问题。
03
在生物学和医学研究中，中心 极限定理用于研究遗传学、流 行病学等领域的数据分析。
在科学研究领域，实验数 据的统计分析也常常用到 正态分布。
Part
02
随机变量
随机变量的定义
STEP 01
随机变量
STEP 02
离散随机变量
在随机试验中，每一个样 本点用一个实数来表示， 这个实数称为随机变量。
STEP 03
连续随机变量
如果随机试验的结果不能 一一列出，则称这种随机 变量为连续随机变量。
数学表述
设随机变量 X1,X2,...,Xn 是来自总体 X 的简单随机样本，当 n 充分大时，样本均值 X_bar 的分布近似服 从均值为 μX ，标准差为 σX / sqrt(n) 的正态分布。
中心极限定理的证明
证明方法
数学证明通常采用级数收敛的方法，通过将样本均值表示为 无穷级数，并证明这个级数在概率上收敛于正态分布。
正态分布的性质
集中性
正态分布曲线是关于均值 μ对称的，大多数数据值 集中在均值μ附近。
均匀性
随着数据值远离均值μ， 数据值出现的概率逐渐减 小，且速度逐渐减慢。
人教版高中数学第二章2.4正态分布
归纳升华
解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行
转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程 中依然会用到化归思想及数形结合思想．
[变式训练] 某年级的一次信息技术测验成绩近似 服从正态分布 N(70，102)，如果规定低于 60 分为不及格， 求：
归纳升华 1.充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积 为 1. 2．熟记 P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)， P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．
3．注意概率值的求解转化：
(1)P(X<a)＝1－P(X≥a)；
(2)P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)；
1－P（μ－b<X<μ＋b）
得 σ＝4.
故该正态分布的概率密度函数是 φμ，σ(x)＝4 12πe－ 3x22 ，
x∈(－∞，＋∞)． 答案：φμ，σ(x)＝4 12πe－x322，x∈(－∞，＋∞)
类型 2 利用正态曲线的对称性求概率
[典例 2] 在一次测试中，测量结果 X 服从正态分布 N(2，σ 2)(σ＞0)，若 X 在(0，2)内取值的概率为 0.2，求：
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
第二章2.4正态分布最终版
类型二 正态分布的概率计算
【例2】 设X～N(1,22)，求： (1)P(－1<X≤3)； (2)P(3<X≤5)； (3)P(X≥5)． 【分析】 要求随机变量X在某一范围内的概率，只须借 助于正态密度曲线的图象性质及三个特殊区间内取值的概率．
【解】 ∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2. (1)P(－1<X≤3)＝P(1－2<X≤1＋2)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827. (2)∵P(3<X≤5)＝P(－3<X≤－1)，
可取任意数，μ 反映随机变量取值的平均水平的特征数，即若 X～N(μ，
σ2)，则 E(X)＝μ. σ>0 且参数 σ 是衡量随机变量总体波动大小的特征
数，可以用样本的标准差去估计．
2．注意正态函数中两个参数的位置，其中 σ 这个参数在解析式中两次出现，
注意参数的一致性。设随机变量
X
的正态分布密度函数
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
观察上面的正态曲线，分析有什么特征？
探究 2：
知识点二 正态分布的性质
1．正态分布的性质 (1)曲线在 x 轴上方，与 x 轴不相交． (2)曲线是单峰的，关于直线 x＝μ 对称．
1
(3)曲线在 x＝μ 处达到峰值σ 2π .
第二章
随机变量及其分布
2．4 正态分布
[目标] 1.会分析正态分布的意义. 2.能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义. 3.会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率． [重点] 正态曲线的特点及其所表示的意义；
利用正态分布解决实际问题． [难点] 求随机变量在某一区间内的概率．
一、复习引入
随机变量及其分布知识点总结
随机变量及其分布知识点总结随机变量是概率论中的基础概念之一，是描述随机事件的数学模型。
随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量，它们分别对应两种不同的概率分布函数。
随机变量及其分布是概率论和统计学中的重要概念，掌握它们的知识对理解概率和统计学的应用至关重要。
一、随机变量的定义在概率论中，将随机试验中的所有可能结果对应的实数量称为随机变量。
可以通过随机变量的取值和概率分布函数来描述随机试验的结果。
二、随机变量的分类1. 离散随机变量如果随机变量只能取离散的值，则称其为离散随机变量。
离散随机变量的概率分布函数(discrete probability function )可以用概率质量函数(probability mass function，PMF)表示。
离散随机变量的概率分布函数具有以下性质：1) P(X = x) ≥ 0，即每个值的概率非负。
2) ΣP(X = x) = 1，即所有可能取值的概率和为1。
3) PMF可以用折线图表示。
例如：伯努利试验中，试验的结果只有两种可能性，即成功和失败。
设X为成功的次数，则X是离散随机变量。
成功的概率为p，失败的概率为1-p。
则X的概率分布函数为：P(X = k) = p^k(1-p)^(1-k), k = 0,12. 连续随机变量如果随机变量可以取任意实数值，则称其为连续随机变量。
由于随机变量可以取无限多的值，因此相对于离散随机变量，它的概率分布函数有一些特殊的性质。
连续随机变量的概率密度函数(Probability Density Function，PDF)可以用函数表示。
由于随机变量连续，因此PDF不是一条折线，而是一条连续曲线。
连续随机变量的概率分布函数具有以下性质：1) P(X = x) = 0，即连续随机变量的每个单独取值的概率为0。
2) ∫f(x)dx = 1，即PDF下的所有面积和为13) 可以用PDF曲线下的面积计算概率。
例如：假设X表示一个信号在某个时间段内的功率，则X是一个连续随机变量。
正态分布
当x<0时 Φ(−x) = 1− Φ( x) 时
若 X～N(0,1), ～
P(a < X < b) = Φ(b) − Φ(a) X −µ 2 若 X ~ N(µ,σ ), Y = ~N(0,1) σ a−µ b−µ ≤Y ≤ ) P(a < X < b)= P( σ σ b−µ a−µ = Φ( ) − Φ( ) σ σ
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标准正态分布 的正态分布称为标准正态分布. µ = 0,σ = 1的正态分布称为标准正态分布. 表示： 其密度函数和分布函数常用ϕ(x)和 Φ(x)表示：
1 ϕ(x) = e 2π −∞ < x < ∞
ϕ ( x)
x2 − 2
,
1 Φ( x) = 2π
∫e
t2 x − 2 −∞
查表可知 z0.025 =1.96 z0.005 =2. 575
ϕ (x )
注：
z1-α = −zα ,
α
z0.95 = -1.645
z0.995 = -2. 575
z1−α
目 录
0
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zα x
退 出
第二章 随机变量及其分布
§4连续型随机变量的概率密度
小结： 小结： 1 连续型随机变量的密度函数的定义和性质。 连续型随机变量的密度函数的定义和性质。 定义和性质 特别是
Φ( x )
dt
标准正态分布N(0,1) 标准正态分布 标准正态分布的重要性在于， 标准正态分布的重要性在于，任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布. 标准正态分布.
定理1 定理 设
Y X ~ N(µ,σ ) , 则Y =
人教A版高中数学选修2-3课件正态分布
练习：
1．设离散型随机变量X~N(μ,σ2),则 P( X )=, 0.5 2．已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概 率等于（ D ） A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228
3．设随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，若P(X>c)＝a， 则P(X>4－c)等于( B ) A．a B．1－a C ． 2a D． 1 － 2 a 4．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X>c＋1) 2 ＝P(X<c－1)，则c＝ _____.
y
1 e 2
( x - )2 2 2
, x ( , )
点击进入几何画板 -3
-2
-1
0
1
2
3
x
课外思考 请尝试从正态分布解析式的角度 来分析正态曲线的对称性与最值的情 2
( x - )2 2 2
, x ( , )
2.正态分布:
0
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
a b
P (a X b)
则称随机变量X服从正态分布. 正态分布记作N（ μ，σ2）随机 变量X服从正态分布，则记作X~ N（ μ，σ2）
b a
, ( x ) dx
1.正态曲线的性质
, ( x )
思考：观察正态曲线，结合 , x 的解析式及概 率的性质, 你能说 说正态曲线 的特点吗 ?
特别有（熟记） Ρ( μ - σ < X ≤ μ + σ ) = 0.6826 Ρ( μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ ) = 0.9544 Ρ( μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ ) = 0.9974
高中数学—— 正态分布
指数部分是一个负数． A 错在正确的函数的系数分母部分的二次根式不包含 σ，而且指数部分的符号应当是负的． B 是正态分布 N(0,1)的概率分布密度函数．
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
(x－μ)2 1 1 C 对照 f(x)＝ e－ 2σ2 (x∈R)，从系数 看 σ＝ 2πσ 2πσ
(选修2-3)
1．当样本容量无限增大时，它的频率分布直方图
无限接近于 一条总体密度曲线，在总体所在系统相对稳 定的情况下，总体密度曲线就是或近似地是以下函数的图 象：
人 教 A 版 数 学
其中μ和σ(σ>0)为参数．我们称φμ，σ(x)的图象为 正态分布密度曲线 ，简称 正态曲线 ．
第二章 随机变量及其分布
人 教 A 版 数 学
据三个特殊区间上的概率值及正态曲线的特点 (如对称性，
与x轴围成的面积是1等)进行求解．
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[例5]
某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态
人 教 A 版 数 学
分布N(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求： (1)成绩不及格的人数占多少？
人 教 A 版 数 学
越“ 矮胖
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
4．若X～N(μ，σ2)，则对任何实数a>0，概率P(μ－
a<X≤μ＋a)＝ ； 0.6862 ；
人 教 A 版 数 学
特别地有：P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝ P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝ P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝ ； 0.9544 0.9974 .
第二章 随机变量及其分布
ห้องสมุดไป่ตู้(选修2-3)
随机变量及其分布-正态分布
正态分布知识点一、正态曲线函数f(x)＝12πσ22()2exμσ--，x∈R的图象如图所示x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的性质①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，总体的分布越集中，如图乙所示：二、正态分布一般地，如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝⎠⎛ab φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N (μ，σ2)，如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2)． 三、 3σ原则1．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 (1)P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝ 6； (2)P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝ 4； (3)P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝ 4.2．通常服从正态分布N (μ，σ2)的随机变量X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．题型一 正态曲线的图象的应用【例1】如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差．【过关练习】1.某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是( )A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都居中D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同2.若一个正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π，求该正态分布的概率密度函数的解析式．题型二利用正态分布求概率【例1】设X～N(1,22)，试求：(1)P(－1<X≤3)；(2)P(3<X≤5)；(3)P(X>5)．【过关练习】1.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝，则P(0<ξ<2)等于( )A． B． C． D．2.(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝，则P(0<ξ<2)＝( )A．B．C．D．(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率.3.设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)．(1)求c的值；(2)求P(－4<x<8)．题型三正态分布的应用【例1】有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4)．若这批零件共有5 000个，试求：(1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比；(2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个【过关练习】在某次考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学成绩在80～85分的有17人，该班同学成绩在90分以上的有多少人课后练习【补救练习】1.设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图242所示，则有( )图242A．μ1<μ2，σ1<σ2B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ22．若随机变量X的密度函数为f(x)＝，X在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p1，p2，则p1，p2的关系为( )A．p1>p2B．p1<p2C．p1＝p2D．不确定3．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.4．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，若X在(0,1]内取值的概率为，则X在(0,2]内取值的概率为________．5.如图243所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．图243【巩固练习】1．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝，则P (0＜ξ＜2)＝( )【导学号：】A ．B ．C ．D ．2．设X ～N ⎝⎛⎭⎪⎫－2，14，则X 落在(－，－]内的概率是( )A ．%B ．%C ．%D ．%3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝%.)A．% B．%C．% D．%4．工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N(μ，σ2)，在一次正常的试验中，取1 000个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件可能有__________________________________________________________个．5．在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即X～N(90,100)．(1)试求考试成绩X位于区间(70,110)上的概率是多少(2)若这次考试共有2 000名学生，试估计考试成绩在(70,110)间的考生大约有多少人【拔高练习】1.在如图244所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )图244A．2 387 B．2 718C．3 414 D．4 777附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝ 7，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝ 5.2．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,25)．据此估计，大约应有57人的分数在区间( )A．(90,110]内B．(95,125]内C．(100,120]内D．(105,115]内3．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X＜1)＝12，P(X＞2)＝p，则P(0＜X＜1)＝________.4．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．5．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：图245(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求P <Z <；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间,的产品件数，利用①的结果，求E (X )．附：150≈.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝ 7，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝ 5.。
随机变量及其分布正态分布
03
社会科学
在社会科学领域，有些数据的分布也 呈现出正态分布的特点，例如人类的 考试分数、人口数量等。
04
正态分布的数学表达与计 算
正态分布的概率密度函数
正态分布的概率密度函数表达式为：f(x) = 1 / (σ√(2π)) * exp(- (x - μ) ^ 2 / (2σ^2))，其中μ是均值，σ是标准差。
随机变量及其分布正态分布
2023-11-03
contents
目录
• 随机变量及其分布 • 正态分布 • 正态分布的应用场景 • 正态分布的数学表达与计算 • 正态分布的统计特性与参数估计 • 正态分布的假设检验与模型评估
01
随机变量及其分布
离散随机变量及其分布
伯努利分布
离散型概率分布，成功概率为p，失败概率为1-p。
指数分布
连续型概率分布，表示某个事件在单位时间内发生的概率，其中平均发生率为 λ。
均匀分布与指数分布
均匀分布：连续型概率分布，表示在某个区间内随机变量以相同的概率取值。 指数分布与泊松分布在一定条件下可以相互转换。
02
正态分布
正态分布的定义
定义
如果一个随机变量的概率密度函数是具有均值μ和标准差σ的高斯函数，则称 该随机变量服从正态分布，记作N(μ, σ²)。其中，μ是均值，σ²是方差。
05
正态分布的统计特性与参 数估计
均值与方差
均值
正态分布的平均值，描述了分布的中心位置。
方差
衡量分布的离散程度，描述了分布的宽度。
偏度与峰度
偏度
描述分布的不对称性，正态分布一般为对 称分布。
VS
峰度
描述分布的尖锐程度，正态分布的峰度为 3。
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正态分布
知识点
一、正态曲线
函数f(x)＝1
2πσ
2
2
()
2
e
xμ
σ
-
-
，x∈R的图象如图所示
x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的性质
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值1
σ2π
；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，总体的分布越集中，如图乙所示：
二、正态分布
bφμ，σ(x)d x，则称随机变量X服从正一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝
⎠⎛
a
态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．
三、3σ原则
1．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6；
(2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4；
(3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4.
2．通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．
题型一正态曲线的图象的应用
【例1】如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差．
【过关练习】
1.某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是()
A．甲科总体的标准差最小
B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的标准差及平均数都居中
D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同
2.若一个正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为
1
42π
，求该正态分布的概率密度函数的解
析式．
题型二利用正态分布求概率
【例1】设X～N(1,22)，试求：
(1)P(－1<X≤3)；(2)P(3<X≤5)；(3)P(X>5)．
【过关练习】
1.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于()
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
2.(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝()
A．0.6B．0.4
C．0.3 D．0.2
(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率.
3.设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)．
(1)求c的值；(2)求P(－4<x<8)．
题型三正态分布的应用
【例1】有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4)．若这批零件共有5 000个，试求：
(1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比；
(2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？
【过关练习】
在某次考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学成绩在80～85分的有17人，该班同学成绩在90分以上的有多少人？
课后练习
【补救练习】
1.设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图242所示，则有()
图242
A．μ1<μ2，σ1<σ2
B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2
D．μ1>μ2，σ1>σ2
2．若随机变量X的密度函数为f(x)＝，X在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p1，p2，则p1，p2的关系为()
A．p1>p2B．p1<p2
C．p1＝p2D．不确定
3．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.
4．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，若X在(0,1]内取值的概率为0.4，
则X 在(0,2]内取值的概率为________．
5.如图243所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．
图243
【巩固练习】
1．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝0.8，则P (0＜ξ＜2)＝( )
【导学号：95032208】
A ．0.6
B ．0.4
C ．0.3
D ．0.2
2．设X ～N ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－2，14，则X 落在(－3.5，－0.5]内的概率是( )
A ．95.44%
B ．99.73%
C ．4.56%
D ．0.26%
3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.27%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.45%.)
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
4．工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N(μ，σ2)，在一次正常的试验中，取1 000个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件可能有__________________________________________________________个．
5．在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即X～N(90,100)．
(1)试求考试成绩X位于区间(70,110)上的概率是多少？
(2)若这次考试共有2 000名学生，试估计考试成绩在(70,110)间的考生大约有多少人？
【拔高练习】
1.在如图244所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()
图244
A．2 387B．2 718
C．3 414 D．4 777
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 7，
P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 5.
2．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,25)．据此估计，大约应有57人的分数在区间()
A．(90,110]内B．(95,125]内
C．(100,120]内D．(105,115]内
3．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X＜1)＝1
2，P(X＞2)＝p，则P(0＜X＜1)＝________.
4．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．
5．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
图245
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2.
①利用该正态分布，求P (187.8<Z <212.2)；
②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E (X )．
附：150≈12.2.
若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 5.。