§4.6 乘积测度与Fubini定理

A × B = σ (C ) ⊂ F .
即对任意 E ∈ A × B ,
ν ( E x ) 是 A 可测的 . 若 ν (Y ) = +∞. 由于 (Y , B ,ν ) 是 σ − 有限的 ,
因此存在 Y 的一列互不相交的可测集 {Yn } 使得 ν (Yn ) < +∞ 并且 Y =
∪
∞
n=1 n
∞ ∞ ∞
λ ( ∪ E n ) = ∫ν (( ∪ E n ) x ) dµ = ∫ν ( ∪ ( E n ) x ) dµ
n =1 n =1 n =1
= ∫ ∑ν (( E n ) x )dµ = ∑ λ ( E n ).
n =1 n =1
∞
∞
即 λ 是可数可加的. 故 λ 是 A × B 上的测度. 若 E = A × B 是一个可测矩形, 则
F 是一个 λ 类. 显然 X × Y ∈ F . 设 E , F ∈ F 并且 E ⊃ F . 注意到ν ( Fx ) ≤ ν (Y ) < +∞,
我们有
ν (( E − F ) x ) = ν ( E x − Fx ) = ν ( E x ) − ν ( Fx ).
故ν (( E − F ) x ) 是 A 可测的. 因此 E − F ∈ F , 即 F 对包含差运算封闭.再设 {E n } ⊂ 并且 E n ↑ . 则 ( E n ) x ↑ . 于是有
(i). 对任意 x ∈ X , 必有 E x ∈ B . (ii). ν ( E x ) 和是 ( X , A , µ ) 上的可测函数. 并且成立等式
( µ ×ν )( E ) = ∫ν ( E x )dµ .
118
(3)
证明 (i). 设C 是可测矩形的全体. 令
F = {E ∈ A × B : 对任意x ∈ X , E x ∈ B }.
C 是可测矩形的全体所成的集类. 利用上面所列的矩形的性质, 容易验证 C 是一个半环.
由C 生成的 σ − 代数 σ (C ) 称为 A 与 B 的乘积 σ -代数, 记为 A × B .
116
在C 上定义一个非负值集函数如下. 对任意 A × B ∈ C , 令
( µ × ν )( A × B) = µ ( A) ⋅ν ( B).
引 理 4 设 ( X , A , µ ) 和 (Y , B ,ν ) 是 两 个 完 备 的 测 度 空 间 , 若 E ∈
M µ ×ν 并 且
( µ × ν )( E ) = 0. 则对几乎所有 x ∈ X , E x ∈ B 并且ν ( E x ) = 0 a.e.,
证明 由§2.2 定理 11, 存在 F ∈ σ (R ) =
10, 测 度 空间 ( X × Y , M µ ×ν , µ × ν ) 是 完 备 的 . 容 易 证 明若 µ 和 ν 都 是 σ − 有 限 的 , 则
µ ×ν 也是 σ − 有限的(其证明留作习题).
由第一章习题第 26 题的结果知道 σ (C ) = σ (R ). 由 A × B 的定义和§2.2 定理 5,
乘积测度空间 ( X × Y , A × B , µ × ν ) 一般说来不是完备的. 本节所用的定义乘积测度的方 式 的 优 点 是 直 接 得 到 了 完 备 的 乘 积 测 度 空 间 ( X × Y , M µ ×ν , µ × ν ) , 这 样 就 避 免 了 对
( X × Y , A × B , µ × ν ) 再进行完备化的讨论.
n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
由此可见ν ( E x ) 是 A 可测的. 在 A × B 上定义集函数 λ 如下:
λ ( E ) = ∫ν ( E x )dµ , E ∈ A × B .
119
则 λ 是非负值集函数并且 m(∅) = 0. 设 {E n } 是 A × B 中的一列互不相交的集. 则由单调 收敛定理得到
λ ( E ) = ∫ν ( E x )dµ = ∫ν ( B ) I A ( x)dµ . = µ ( A) ⋅ν ( B) = ( µ ×ν )( E ).
故在C 上 λ =
µ ×ν . 测度的有限可加性蕴涵在由C 生成的环 R 上 λ = µ ×ν . 由于 µ 和ν
都是 σ − 有限的, 容易知道 λ 和 µ × ν 也是 σ − 有限的(参见习题). 由§2.2 定理 6 知道在
E
x
Ey
图 6—2 容易验证关于截口成立
X
(i). ( ∪ E n ) x = ∪ ( E n ) x ,
n =1 n =1
∞
∞
(ii). ( E − F ) x = E x − Fx .
同样, 关于 y 的截口也成立类似的性质. 定理 3 设 ( X , A , µ ) 和 (Y , B ,ν ) 是两个 σ − 有限的测度空间, E ∈ A × B . 则
∑ µ ( A ) ⋅ν ( B
n =1 n ∞
∞
n
). 这就是
( µ × ν )( A × B) = ∑ ( µ × ν )( An × Bn ).
n =1
即 µ × ν 在C 上是可数可加的. 因此 µ × ν 是C 上的测度. ■ 设 R 是由C 生成的环, 即
R = { A = ∪ Ei : E1 , , E k 是互不相交的可测矩形, k ≥ 1}.
A × B , 使得 F ⊃ E 并且
( µ ×ν )( F ) = ( µ ×ν )( E ) = 0.
定 理 3 (ii) 蕴 涵 ν ( Fx ) = 0 a.e. 由于
I A ( x) I B ( y ) = ∑ I An ( x) I Bn ( y ).
n −1
∞
对任意固定的 y ∈ Y , 将上式两边对 x 积分并利用单调收敛定理得到
µ ( A) I B ( y ) = ∑ µ ( An ) I B ( y ).
n =1
n
∞
再对 y 积分得到 µ ( A) ⋅ν ( B ) =
i =1
k
注意由于 X × Y ∈ R , 故 R 实际上是一个代数 . 按下面的方式将 µ ×ν 延拓到 R 上 . 若
E ∈ R , E 的一个分解式为 E = ∪ i =1 Ai × Bi ,
k
k
则令
( µ × ν )( E ) = ∑ µ ( Ai ) ⋅ν ( Bi ).
i =1
(2)
由§2.2.引理 7, ( µ × ν )( A × B ) 的值不依赖于 A × B 的分解式的选取. 由定理 1 和§2.2 定理 8 立即得到如下定理. 定理 2 由(2)式定义的集函数 µ ×ν 是 R 上的测度. 设 ( µ × ν ) 是由 µ × ν 导出的外测度,
若 E = A× B ∈
C,
则 当 x∈ A 时 ,
E x = B. 当 x ∉ A 时 , E x = ∅.
故对任意
x ∈ X , E x ∈ B . 因此 C ⊂ F . 利用截口的性质容易证明 F 是一个 σ - 代数 . 因此得到
A × B = σ (C ) ⊂ F . 即对任意 x ∈ X 必有 E x ∈ B .
A × B 上 λ = µ ×ν . 这表明对任意 E ∈ A × B , (3)式成立.■
注 1 由定理 3, 我们也可以用 (3) 式来定义 A × B 上的乘积测度 µ × ν , 这样定义的
µ ×ν 与我们前面定义的 M µ ×ν 上的乘积测度 µ ×ν 在 A × B 上是一致的. 但是这样得到的
§4.6 乘积测度与 Fubini 定理
教学目的 本节讨论测度空间的乘积空间 , 并且证明一个重要的定理 —Fubini 定理. 本节要点 乘积测度的构造利用了§2.2 测度的延拓定理. Fubini 定理是 积分理论的基本定理之一,它是关于二元函数的二重积分, 累次积分交换积 分顺序的定理.Fubini 定理在理论推导和计算积分方面有广泛的应用.
F
ν ( ( ∪ E n ) x ) = ν ( ∪ ( E n ) x ) = limν (( E n ) x ).
n =1 n =1 n→∞
∞
∞
由上式看出ν ((
∪ En ) x ) 是 A 可测的. 因此 ∪ En ∈ F , 即 F 对单调增加的集列的并运算
=1 n =1
∞
∞
封闭. 所以 F 是包含C 的一个 λ 类. 注意到C 是一个 π 类. 由§1.3.推论 12, 我们有
1 1 2
下性质(图 6—1): (1). ( A1 × B1 ) ∩ ( A2 × B2 ) = ( A1 ∩ A2 ) × ( B1 ∩ B2 ). (2). ( A1 × B1 ) − ( A2 × B2 ) = [( A1 − A2 ) × B1 ] ∪ [( A1 ∩ A2 ) × ( B1 − B2 )].
A × B = σ (C ) = σ (R ) ⊂ M µ ×ν .
因此 µ ×ν 也是 A × B 上的测度. 有时也称测度空间 ( X × Y , A × B , µ × ν ) 为 ( X , A , µ ) 与
(Y , B ,ν ) 乘积空间.
下面我们将证明 Fubini 定理 . 为此需要作一些准备 . 设 E ⊂ X × Y , x ∈ X . 称集
Y B2 B1
E1
E2
A2 A1
X
E1 = ( A1 − A 2 ) × B1
E 2 = ( A1 ∩ A 2 ) × ( B1 − B 2 )
图 6-1
设 ( X , A , µ ) 和 (Y , B ,ν ) 是两个测度空间. 若 A ∈ A , B ∈ B , 则称 A × B 为可测矩形. 设
设 X 和 Y 是 两 个 非 空 集 , A ⊂ X , B ⊂ Y.
称 A× B 为 X ×Y 中 的 矩 形 ( 定 义
A × ∅ = ∅, ∅ × B = ∅ ).
例如,平面可以看成是直线与直线的乘积, 即 R × R = R . 当 A 和 B 是直线上的有
1 1
2
界区间时, A × B 就是平面上的通常意义下的矩形. 本节在抽象空间的情形下讨论乘积空间, 但可以将 R × R = R 这一特殊情形作为直观模型. 通过直接验证, 不难证明矩形具有如
∗ ∗
M µ ×ν 是 ( µ ×ν ) ∗ 可测集的全体所成的 σ − 代数.
由§2.2 定理 5, ( µ × ν ) 在 M µ ×ν 上是一个测度, 称这个测度为 µ 和ν 的乘积测度, 仍记为
117
µ ×ν . 称测度空间 ( X × Y , M µ ×ν , µ ×ν ) 为 ( X , A , µ ) 与 (Y , B ,ν ) 乘积空间. 由§2.2.定理
Y . 对每个
n ≥ 1, 在 B 上定义测度
ν n ( B) = ν ( B ∩ Yn ), B ∈ B .
则ν n (Y ) = ν (Yn ) < +∞. 设 E ∈ A × B . 则由上面所证, 每个 n ≥ 1, 我们有
ν n ( E x ) 是 A 可测的.
ν ( E x ) = ν ( ∪ ( E x ∩ Yn ) ) = ∑ν ( E x ∩ Yn ) = ∑ν n ( E x ).
E x = { y ∈ Y : ( x, y ) ∈ E} 为 E 在 x 的 截 口 . 类 似 地 , 对 y ∈ Y ,
称 集
E y = {x ∈ X : ( x, y ) ∈ E} 为 E 在 y 的截口. 注意 E x 和 E y 分别是 Y 和 X 的子集(图 6—2).
Y
y Ex
定理 1 由(1)式定义的集函数 µ ×ν 是C 上的测度.
(1)
证明 显然 ( µ × ν )(∅) = 0 . 往证 µ ×ν 在C 上是可数可加的. 设 A × B 是一个可测矩 形 , { An × Bn } 是一列互不相交的可测矩形使得 A× B = 互不相交的, 故成立
∪
∞ n=1
An × Bn . 由于 { An × Bn } 是
(ii) 先设 ν (Y ) < +∞. 由本定理的结论 (i), 对任意 x ∈ X , 必有 E x ∈ B . 故函数
ν ( E x ) 有意义. 令
F = {E ∈ A × B : ν ( E x )是 A 可测的}.
若 E = A × B 是一个可测矩形, 则 ν ( E x ) = ν ( B ) I A ( x) 是 A 可测的. 这表明 C ⊂ F . 往证