湖南省长郡中学2020届高三数学第三次适应性考试试题文

S
①Gini 越小，则国民分配越公平；
②设劳伦茨曲线对应的函数为 y＝f(x)，则对 x∈(0，1)，均有 f (x) >1； x
③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 y＝x2(x∈[0，1])，则 Gini＝ 1 ； 4
④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 y＝x3(x∈[0，1])，则 Gini＝ 1 ； 2
个数字之积大于 5 的概率为
7
3
1
2
A.
B.
C.
D.
10
5
2
5
8.某几何体由一个棱柱与一个棱锥组合而成，其三视图如图所示，其中俯视图和侧视图中的
正方形的边长为 2，正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的体积为
A. 16 3
B. 16 或 20 33
C. 20 3
D. 20 或 6 3
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(I)求出 p 的值； (II)已知变量 x，y 具有线性相关关系，求产品销量 y(件)关于试销单价：x(百元)的线性回归
方程 y bx a (计算结果精确到整数位)； (III)用 yi 表示用正确的线性回归方程得到的与 xi 对应的产品销量的估计值。当销售数据(xi， yi)的残差的绝对值 yi yi <1 时，则将销售数据称为一个“有效数据”。现从这 6 组销售数中
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始后，若阿基里斯跑了 1000 米，此时乌龟便领先他 100 米；当阿基里斯跑完下一个 100 米时， 乌龟仍然前于他 10 米。当阿基里斯跑完下一个 10 米时，乌龟仍然前于他 1 米……，所以， 阿基里斯永远追不上乌龟。根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为 10－2 米时，乌 龟爬行的总距离为
(III)设直线 1：y＝kx＋m(其中 k，m 为整数)与椭圆Ω交于不同两点 A、B，与双曲线 交于
不同两点 C、D，问是否存在直线 l，使得向量 AC BD 0 ，若存在，指出这样的直线有多
少条?若存在，请说明理由。
21.(本小题满分 12 分)
ln x
已知函数 f(x)＝ 。
x
3
(I)若直线 l： y kx 2e 2 与 y＝f(x)的图象相切，求实数 k 的值；
xi2 nx 2
i 1
i 1
20.(本小题满分 12 分)
已知椭圆Ω： x2 y2 1。双曲线 的实轴顶点就是椭圆Ω的焦点，双曲线 的焦距等于椭 16 12
圆Ω的长轴长。
(I)求双曲线 的标准方程；
(II)设直线 1 经过点 E(3，0)与椭圆Ω交于 A、B 两点，求△OAB 的面积的最大值。
9.已知函数
f(x)＝ ln
2 x2
1 x
5m
2
x
2
，g(x)＝
m 2x1 2x 1
。若对任意的
x1，x2∈[
1 2
，1]，
不等式 f(x1)<g(x2)恒成立，则正数 m 的取值范围是
A.(0，1－ln2)
B.(0， 2 ln 5 ) 28
C.(ln2，＋∞)
D.( ln 5 3 ，＋∞) 84
11.为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著 名的劳伦茨曲线，如图所示。劳伦茨曲线为直线 OL 时，表示收入完全平等。劳伦茨曲线为折 线 OKL 时，表示收入完全不平等。记区域 A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为△OKL 的面积，
a
将 Gini＝ 称为基尼系数。
新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于
。
(结果用含有 h0 和 P0 的式子表示) 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分 12 分)
如图所示，四边形 ABCD 是正方形，PA⊥平面 ABCD，E，F 分别是线段 AD，PB 的中点，PA＝AB
上述说法正确序号的是
A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④
12.我们把形如 y＝ b (a>0，b>0)的函数因其图象类似于汉字“囧”字，故生动地称为“囧 x a
函数”，并把其与 y 轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧 函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当 a＝1，b＝1 时，所有的“囧圆”中面积的最 小值为 A.2π B.3π C.4π D.12π 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
＝1。
(I)求证：EF//平面 DCP； (II)求 F 到平面 PDC 的距离。 18.(本小题满分 12 分) 若数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝1，a2＝2，(Sn＋1)(Sn＋2＋1)＝(Sn＋1＋1)2。 (I)求 Sn；
1 (II)记数列 的前 n 项和为 Tn，证明：1≤Tn<2。
数 g(x)＝f(x)＋f(x－1)－3x(5≤x≤6)，则函数 g(x)的最小值为
。
16.已知南北回归线的纬度为 23°26'，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳
直射纬度，φ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是θ＝90°－|φ－δ|。当地夏半
年δ取正值，冬半年δ取负值，如果在北半球某地(纬度为φ0)的一幢高为 h0 的楼房北面盖一
10.已知在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，2c＝bsin2A＋2asinAcosB，点 D
2
在△ABC 的内部，且满足∠ADB＝∠BDC＝∠CDA＝ 。若 a＝2，∠ABC＝ ，则 AD＋BD＋CD
3
3
＝
A.3 B.6 C.7
7
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an
19.(本小题满分 12 分) 某企业积极响应国家“科技创新”的号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行
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合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(xi，yi)(i＝1，2，3，4， 5，6)，如下表所示：
注明所写题目，然后开始作答。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.已知集合 M
( x，y )
|
y y
x x 2
，集合
N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则
M∩N＝
A.
B.{1} C.{2} D.{1，2}
2.已知单位向量 a 满足等式 2|a|＝|b|，|a＋2b|＝ 13 ，则 a 与 b 的夹角为
(II)设 M(x，y)为曲线 C 上任意一点，求 x＋y 的取值范围。 23.(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲 已知函数 f(x)＝|2x－1|＋|x－1|。 (I)求不等式 f(x)≤4 的解集； (II) 设 函 数 f(x) 的 最 小 值 为 m ， 当 a ， b ， c ∈ R ＋ ， 且 a ＋ b ＋ c ＝ m 时 ， 求
任取 2 组，求抽取的 2 组销售数据都是“有效数据”的概率。
附参考公式：
y
1 6
6 i 1
yi
80,
6 i 1
xi yi
1606,
6 i 1
xi 2
91 。
n
n
(xi x )( yi y)
xi yi nx y
参考数据： bˆ i1 n
i1 n
,a y bx 。
(xi x )2
105 1
A.
900
105 9
B.
90
104 9
C.
900
104 1
D.
90
6.设数列{an}的前
n
项和为
Sn，满足
Sn＝(－1)nan＋
1 2n
，则
S1＋S3＋S5＝
5
A.0 B.
64
17
C.
64
21
D.
64
7.已知数据 1，2，3，4，x(0<x<5)的平均数与中位数相等，从这 5 个数中任取 2 个，则这 2
2a 1 2b 1 2c 1 的最大值。
。
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铅笔在答题卡上把所选题号涂黑。
22.(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程
已知曲线 C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ。以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正
x m 半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是：
2t 2 (t 是参数)。
y
2t 2
(I)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，且|AB|＝ 14 ，试求实数 m 值；
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湖南省长郡中学 2020 届高三数学第三次适应性考试试题 文
本试题卷共 8 页，全卷满分 150 分。
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4.已知某函数图象如图所示，则图象对应的函数可能是
A.f(x)＝e|x|－|x|
B.f(x)＝e|x|－2x2
sin x
C.f(x)＝
e|x|
D.f(x)＝e|x|－x2
5.公元前 5 世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯
前面 1000 米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的 10 倍。当比赛开
A.30° B.60° C.90° D.120°
3.己知 a>0，函数 f(x)＝ax2＋bx＋c。若 x0 满足关于 x 的方程 2ax＋b＝0，则下列选项的命题
中为假命题的是
A. x∈R，f(x)≤f(x0) C. x∈R，f(x)≤f(x0)

B. x∈R，f(x)≥f(x0) D. x∈R，f(x)≥f(x0)
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(II)设 a≥ 2e 2 ，求证：对 k<0，直线 l：y＝kx＋a 与 y＝f(x)的图象有唯一公共点。
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用 2B
13.已知复数 z＝ i2 (i 为虚数单位)，则 z ＝
。
1 i
14.如图，函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象与坐标轴交于点 A，B，C，直线
BC 交 f(x)的图象于点 D，O(坐标原点)为△ABD 的重心，A(－π，0)，则点 C 的坐标为
＝
，f(0)＝
。(本题第一空 2 分，第二空 3 分)
注意事项：
1.答题前，考生可能需要输入信息。请务必正确输入所需的信息，如姓名、考生号等。
2.选择题的作答：请直接在选择题页面内作答并提交。写在试题卷、草稿纸等非答题区域均
无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内或空白纸张上，按规定上
传。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用笔涂黑，或者在空白纸张上
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15.若函数 f(x)满足：定义域为 R，f(－x－a)＝f(x－a)，且 f(－x)＝f(x)，则称函数 f(x)
为“双对称 a 函数”。已知函数 f(x)为“双对称 1 函数”，且当 x∈[0，1]时，f(x)＝x3。记函