分数阶微积分理论

分数阶微积分理论
2.1 引言
一般我们熟知的微积分理论都是整数阶的，比如一阶微分方程，二阶微分方程，一重积分、二重积分等等，而分数阶微积分，指的是微积分的阶次可以为包括整数以内的其它任意数，比如小数、有理数、无理数等，可以说分数阶微积分可以描述任何对象，它的作用要远超常规整数阶微积分。

虽然在无数的学者前赴后继地努力下，分数阶微积分理论方面的研究成果丰硕，而关于分数阶微积分的定义，不同的学者表述上有所区别，综合各个理论层面的评估，同时具有实际工程上的应用可行性的分数阶微积分定义只剩下三种，分别是Grünwald -Letnikov 定义，Caputo 定义，Riemann -Liouville 定义[64]。

2.2 分数阶微积分的定义
分数阶微积分的研究对象是分数阶微分和分数阶积分，分数阶微积分定义是整合和统一分数阶微分和分数阶积分得到的。

首先介绍常用的三种分数阶微分定义，具体为：
（1）Grünwald -Letnikov 分数阶微分定义
若()f t 函数在区间[,]a t 存在1m +阶连续导数，当0α>时，
m 至少取到[]α，则其次数为(1)m m αα≤<+的分数阶微分定义为：
[()/]
()lim ()t a h a
t i h i D f t h
f t ih αα
αω--→==-∑
（2.1）
其中，α表示阶次，h 为采样步长，a 表示初始时间，[]表示取整，
= (-1)i i i ααω⎛⎫ ⎪⎝⎭
是多项式系数，(1)(2)(1)
=
!
i i i ααααα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭
，我们可以用以下
递推公式直接求出该系数：
01+11,1,1,2,...,i i i n i α
αααωωω-⎛⎫==-= ⎪⎝⎭
（2.2）
进一步对式（2.1）求极限，可得到其详细定义：
0,0
()lim
()
()()1()()(1)(1)a t h nh t a
i i m t m a i D f t h f t ih i f a t a t f d i i α
ααα
αξξξαα-→=--+-=⎛⎫
=
- ⎪⎝⎭
-=+-Γ-++Γ-+∑⎰ （2.3）
其中，()Γ•为欧拉gamma 函数，10
()t z z e t dt ∞--Γ=⎰，当R α∈，上述定义也称为Grünwald -Letnikov 分数阶微积分定义。

若：()=0i f t ，,q p R ∈，则微分算子D 满足式（2.4）：
（2.4）
（2）Riemann -Liouville 分数阶微分定义 对于1,m m m N α-<<∈，有
11()
()()()m t
a t m
m a d f D f t d m dt t α
αττατ-+=
Γ--⎰
（2.5）
其中，当R α∈，上述定义也称为Riemann -Liouville 分数阶微积分定义。

通常情况下，为了方便使用Riemann -Liouville 分数阶微积分定义，要对其取拉普拉斯变换，假设()F s 表示()f s 的原函数，则式（2.5）经过拉普拉斯变换后的结果如下：
{}1
100
()()()|m k a t
a t t k L D f t s F s D f t αα
α+---===-∑
（2.6）
在零初始条件下，上式的结果变为：
{}0()()t L D f t s F s αα=
（2.7）
进一步由式（2.7）得到α阶微积分算子的传递函数表示为：
（2.8）
（3）Caputo 分数阶微分定义
在工程实际中，不能用物理含义诠释的数学概念是不能应用于实际的，所以，在针对实际问题研究分数阶微积分时，我们需要着重关注它能与实际应用相接轨的部分，这正是分数阶Riemann -Liouville 微分定义的不足。

如式（2.5）尽管在初始条件下具备数学理论层面的可解释性，但不具备实际工程上的物理意义可解释性[65]，正因为如此，于是就有了Caputo 分数阶微分定义，其形式为：
11()
(),(1)()()
m t a t m a f D f t d m m m t α
ατταατ+-=-<<Γ--⎰ （2.9）
+(())()q p q p a
t a t a t D D f t D f t =1
()H s s α=
同理，当R α∈，上述定义也称为Caputo 分数阶微积分定义，该定义也有对应的拉普拉斯变换，其形式为：
{}1
1
0()()()[]k m k a t k t k d f t L D f t s F s s
dt α
α
α+---===-∑ （3.1）
其次，分数阶积分定义为：
1
1==
()()()a t t
a t a
I D t f d ααατττα---Γ⎰R α+∈（） （3.2）
其中，I 定义为积分符号。

2.3 分数阶微积分的性质
根据上述三种分数阶微积分的定义，可以得到分数阶微积分一些性质如下
[66]
：
（1） 记忆属性。

当t 在时刻时，函数()f t 的分数阶微分值由初始时刻到t 时
刻的所有时刻的函数值取值。

（2） 当1a t D β算子的1β是整数时，整数阶微积分和分数阶微积分二者为等
同关系，1β为任意阶时，整数阶微积分被包含在分数阶微积分内。

（3） 分数阶微积分算子1a t D β是线性的，符合线性系统中的齐次特性和迭
加特性，即对任意常数,a b 均满足：
1110
00[()()]()()t t t D af t bg t a D f t b D g t βββ+=+
（4） 解析函数()f t 分数阶导数10()t D f t β对t 和a 都是可以解析的。

2.4 分数阶系统的模型描述
实际生活中，大多数的对象的内在特性都能通过整数阶微分方程的形式来表征，比如物理特性、化学特性等。

但往往存在一些特别的对象其特性无法靠整数阶微分方程精确表征，但分数阶次的微分方程刚好能考虑到整数阶次微分方程所忽略的特性，所以，用分数阶微分方程描述的系统，其内在特性反应更真实、更全面。

一个典型的单输入单输出分数阶线性系统的微分方程可用如下形式来表示：
3123
1
2
123122()()()()=()()()()
m n
m n a D y t a D y t a D y t a D y t b D u t b D u t b D u t b D u t ααααββββ+++++++
+ （2.10）
其中,(1,2,
,),(1,2,
,)i j a i m b j n ==分别表示输出和输入相应的系数，
12m ααα<<<，12n βββ<<<分别表示输出和输入分数阶的阶次，()()
u t y t 、分别表示系统的输入和输出。

结合前面的式（2.6）和式（2.10）对系统进行拉普拉斯变换，得到系统的传
递函数模型为：
12121212()n
m n m b s b s b s G s a s a s a s βββααα++=+++
（2.11）
若(1,2,
,)i i i m αα==，(1,2,
,)i i i n ββ==，该系统可称为“同源次”分
数阶系统，则上式进一步可表示为:
11
()n
j j
j m
i i i b s G s a s β
α
===
∑∑ （2.12）
2.5 分数阶近似方法
要实现分数阶控制，分数阶模型必须近似相应的整数阶模型或者差分输入输出模型，再配合传统的整数阶控制理论的运用。

使用分数阶定义可将分数阶模型直接近似为差分输入输出模型，而间接近似中，通常使用Oustaloup 近似法将分数阶模型近似为高阶整数阶模型，下面介绍Oustaloup 近似法[67]：
1
11
N
n
n n
S W S
K S W αα=+≈+∏
（2.13）
其中，1α为表示分数阶阶次，101α<<，N 表示近似阶次，11h K W αα=，
11(21
)/(21+)/,n N n N n b u n b u W W W W W W αα---==，,u h b W W W 分别表示上限拟合频
率和下限拟合频率。

2.6 本章小结
本章首先主要介绍了三种常用的分数阶微积分定义，并且针对这些定义进行了简要的说明与推导，然后对于分数阶微积分性质，进行了综述，并且对于其传递函数进行了描述，最后介绍了Oustaloup 近似方法，本章的内容为后续的研究提供了良好的理论基础。