质数、合数与分解因数A+221
质数 合数 分解质因数
质数合数分解质因数在自然数中，一个数除1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数．例如2，3，5，7，11，……都是质数．一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数．例如4，6，8，9，12，……都是合数．1既不是质数，也不是合数．这样，自然数在按约数个数分类，可以分成：质数、合数和1．偶数中只有2是质数，而且是全部质数中最小的一个．除2以外全部的偶数都是合数，除2以外全部的质数都是奇数．每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数．例如，因为70=2&215;5&215;7，所以2，5，7是70的质因数．把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．例如，60=2&215;2&215;3&215;5=22&215;3&215;5，把60这个合数用2&215;2&215;3&215;5或22&215;3&215;5的形式来表示，就是把60分解质因数．例1 两个质数的积是46，求这两个质数的和．分析：两个质数的积是46，46是偶数，只能是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，因此很简单得出其它的质数，从而问题得以解决．解：因为46是偶数，因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，另一质数46&247;2=23，所以2与23的和为25．例2 用2，3，4，5中的三个数能组成哪些三位质数？分析：首先考虑个位数字是几，如果个位数字是2或4，这样的三位数必能被2整除，因此这样的三位数不会是质数，如果个位数字是5，这样的三位数必能被5整除，这样的三位数也不会是质数，所以个位数字只能是3，再由剩下的三个数字组成百位、十位，得出个位数字是3的三位数为：243，423，253，523，453，543，最后依据质数的推断方法，得到所求的质数．解：如果组成的三位数的个位数字是2、4、5时，这个数必能被2或5整除，因此个位数字只能是3，而个位数字是3的三位数有243，423，253，523，453，543，其中243，423，453，543均能被3整除，253能被11整除，所以只有523是质数．质数的推断方法是，当一个数比拟小时，用定义直接推断，但这个数比拟大时，通常采纳查质数表，最好记住100以内的全部质数．在没有质数表的情况下，可以用质数从小到大的顺序逐个地去试除．如果能被其中某一个质数整除，就说明这个数是合数，如果除到商已比试除的质数小，还不能被这些质数中的任何一个整除，那么这个数肯定是质数．例如，推断100以内的数是否是质数，只需用2、3、5、7这四个质数去试除，如果没有一个能整除它，这个数肯定是质数，否则不是质数．推断97是不是质数，因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，因此97是质数．为什么不必去试除比97小的全部的质数呢？因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，它就肯定不能被4，6，8，9，10等数〔分别为2，3，5的倍数〕整除，又因为，如果用11或大于11的质数去试除， 97&247;11=8…9，97&247;13=7…6，其商为8、7，比除数还小，都已试除过，因此推断100以内的数是否是质数只需用2，3，5，7去试除．推断200以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7，11，13，17这七个质数去试除；推断300以内的质数，只需用2到17这七个质数去试除；推断400以内的质数，只需用20以内的八个质数与去试除；推断500以内的质数，只需2到23的质数去试除．其余可用类似的方法推出，你可以思考一下1000以内的质数如何推断？例3 将40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等．分析：如果采纳观察、计算调整的方法是比拟麻烦的．要使两组数的乘积相等，只有两组数中的质因数相同，而且质因数的个数也相同，就可以了，所以从这八个数分解质因数入手，依据各质因数的个数，进行适当的搭配，便能找出问题的答案．解：将八个数分解成质因数：40=23&215;5 44=22&215;1145=32&215;5 63=32&215;765=5&215;13 78=2&215;3&215;1399=32&215;11 105=3&215;5&215;7这八个数分解质因数后一共有6个2，8个3，4个5，2个7，2个11，2个13．因此，这八个数被分成两组后，每一组应含有3个2，4个3，2个5，1个7，1个11，1个13，这样可以得到两组分别为：40，63，65，99和44，45，78，105．例4 360有多少个约数？分析：如果先求360的全部约数，再数出它们的个数，显然比拟麻烦．为此，先将360分解质因数：360=23&215;32&215;5，360的任意一个约数均由假设干个2或3或5组成，我们将360的全部约数列成下面的数阵：1 2 22 233 2&215;3 22&215;3 23&215;332 2&215;32 22&215;32 23&215;325 2&215;5 22&215;5 23&215;53&215;5 2&215;3&215;5 22&215;3&215;5 23&215;3&215;532&215;52&215;32&215;522&215;32&215;5 23&215;32&215;5这个数阵共6行，每行4个约数，所以360共有4&215;6=24个，而24=〔3+1〕&215;〔2+1〕&215;〔1+1〕，这里3，2，1恰好是360分解质数式子中2，3，5的个数，从而得到下面关于约数个数的一个重要结论：一个大于1的整数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积．用数字式子表示为：如果A分解质因数为：则A的全体约数的个数为：〔r1+1〕&215;〔r2+1〕&215;…&215;〔rn+1〕例5 有30个约数的最小自然数是多少？分析：设所求的数为A，则A有30个约数，因为30= 30&215;1=2&215;15=6&215;5=10&215;3=2&215;3&215;5，要使A最小，一般使A的质因数的幂指数尽可能小，质因数的个数尽可能少，所以A必为以下形式：其中a1，a2，a3为互不相同的质数．要使A最小，a1，a2，a3尽可能小，显然a3=2，a2=3，a1=5，这样A=24&215;32&215;5=720解：因为30=30&215;1=2&215;15=6&215;5=10&215;3=2&215;3&215;5，而且题中要求a2、a3为互不相等的质数，为了使A最小，a3=2，a2=3，a1=5，所以A=24&215;32&215;5=720．例6 九个连续自然数中至多有四个质数，例如1至9中有2、3、5、7四个质数．请在200以内再找出五组这样的质数．分析：9个连续自然数中至多有5个奇数．在两位数中，个位是5的数必能被5整除，而且三个连续的奇数必有一个能被3整除，所以只有当个位数字为5的两位数又能被3整除时，其余的四个奇数才有可能是质数．当找到一组这样的两位以上的质数时，另一组与这组对应的数的差必定是30的倍数．按照上述方法找出后，再依据质数的推断方法去筛选就可得出结果．首先简单得出3，5，7，11；5，7，11，13；在两位数中，按照上面的方法可得出以下各组数：11，13，15，17，19；41，43，45，47，49；71，73，75，77，79；101，103，105，107，109；131，133，135，137，139；161，163，165，167，169；191，193，195，197，199；依据质数的推断方法可以得出两位数中还有11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199这三组符合条件．解：200以内其它五组这样的质数为：3，5，7，11；5，7，11，13；11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199．。
第3讲质数合数分解质因数
补充题： 把9、15、28、30、34、55、77、85这八个数平均分 成两组，使每组里四个数的乘积相等 。 解析：把八个数平均分成两组，每组四个数，要使两组数 的乘积相等，这两组数的乘积中所含有的质因数应该完全 相同。因此，我们可以先把这八个数分解质因数，然后根 据这些质因数进行分组。 9=3×3 15=3×5 28=2×2×7 30=2×3×5 34=2×17 55=5×11 77=7×11 85=5×17 从上面18个质因数中可以看出，每组四个数的乘积 中，都必须含有两个2，两个3，两个5，一个7，一个 11和一个17。因此，这两组数分别是（9，28，55， 85）和（15，30，34，77）
第Байду номын сангаас3 讲
质数合数和分解质因数
研究目标：质数合数 分解质因数 一、质数与合数的概念 自然数可以按约数（即因数）的个数进行分类： ①质数：只能被1和自身整除的自然数叫质数，即质数只 有两个约数（即因数）：1和它本身。如2、3、5等 ②合数：除了能被1和自身整除外，还有能被其他整数整 除的自然数叫合数，即，合数的约数（即因数）多于2个， 除了1和它本身外，还有别的约数（即因数）。如4、6、8 等等 ③1 1不是质数也不是合数。既不是质数也不是合数的自 然数。 注意： 1不能质数也不是合数 2是最小的质数，也是质数中唯一的偶数 4是最小的合数
100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、 17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、 61、67、71、73、79、83、89、97。
2、质因数： 一个数的因数是质数，就叫做这个数的质因数. 3、分解质因数： 把一个合数分解质因数，就是把这个合数用质 因数相乘的形式表示出来。 4、互质数： 公约数只有1的两个数，叫做互质数。 5、自然数按约数的个数可分为：质数、合数还 有1.
六同第四讲 质数、合数和分解质因数
第四讲质数、合数和分解质因数教学课题：质数、合数和分解质因数教学课时：两课时教学目标：1、进一步理解自然数、整数、整除、除尽、约数、倍数、奇数、偶数、素数、合数、质因数、分解质因数的概念，掌握能被2、5、3整除数的特征2、能对以上概念作正确判断，能熟练地把合数分解质因数。
3、培养学生判断、推理的能力。
教学重难点：掌握质因数及分解质因数。
教具准备：本周通知：教学过程：一、故事导入1643年，来自欧洲的殖民者在美洲大陆田纳西地区经历了一场恐怖：大量的蝉达到每公顷百万只，仿佛一夜之间从地底冒出，几个星期之后，又销声匿迹，事隔17年，这一现象再次出现，直到1991年，共出现22次，周期非常准确科学家发现蝉的生命周期大都为质数，比如在北美洲北部地区周期为17年，而在北美洲南部地区周期为13年，为什么是17和13，而不是其他数字那，科学家解释说，蝉进化的过程中选择质数为生命的周期，可以大大降低与天敌遭遇的概率。
比如它的生命周期是12年，则与那些生命周期为1年、2年、3年4年、6年、12年的天敌都可能遭遇，而使得种群生存受威胁。
这是一个我们将要研究的内容：引出课题——质数、合数及分解质因数。
二、新课学习师：质数、合数我们之前学过，那么同学们是否还记50以内的质数有哪些?（请了一位同学到黑板上写出50以内的质数，其他同学下面写，老师巡视。
）师：我们接下来看下例3该如何来求解。
例3、三个质数的和是32，这三个质数的积最大是多少？【思路点拨】：32是个偶数，除了2以外的质数都是奇数，三个奇数相加和会是否是偶数。
那么其中一定是有2，另外两个是其他的质数，则两个质数的和是30，从上面写的50以内的质数中找找那两个质数的和是30，然而要使这三个质数的积最大，则这两个质数的差必须最小，从而找到是13、17。
【答案】：2╳13╳17=442【小结】：2是唯一的偶质数。
两个不同质数的和是奇数则其中一定有2，三个不同的质数的和是偶数则其中一定有2。
四年级下册数学试题培优专题：第 2 讲 质数、合数与分解质因数
第2讲 质数、合数与分解质因数一、质数与合数一个数除了1和它本身，没有其他的约数，这样的数叫做质数(也叫做素数)． 一个数除了1和它本身，还有其他的约数，这样的数叫做合数． 注意：0和1既不是质数，也不是合数．常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；2是唯一的偶质数． 除了2和5，多位质数的个位数字只能是1、3、7、9．二、质因数与分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数． 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数． （通常相同质因数要写成乘方的形式）三、部分特殊数的分解293=101是质数 201551331=××299311=× 100171113=×× 522016237=×× 3999337=× 1000173137=×2017是质数 10101371337=×××201821009=×1111141271=×20193673=×2202025101××（2000后，年份为质数的有2003、2011、2017、2027）四、判断一个数是否为质数找一个大于且接近这个数的完全平方数2k ，若小于k 的所有质数都不是这个数的约数，可判定此数为质数． 例如：判断113是否为质数，找大于113的完全平方数，214412=，试小于12的质数：2、3、5、7、11，它们都不是113的约数，所以113是质数．【例题1】 (1)a b c 、、都是质数，且25a b +=，54b c +=，求a 与c 的乘积． (2)a b 、都是质数，且3531a b +=，求a 与b 的和．【例题2】 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这个9个数字组成质数，要求每个数字都要用到并且只能用一次，那么最多能组成多少个质数？≠，且ab、ba都是质数，【例题3】小蘑菇搬新家了，发现新家的门牌号是形如abba的四位数，其中a b具有这种形式的四位数有多少个？【例题4】小蘑菇通过2、0、1、9这四个数字构成了一个数列（不断地将2、0、1、9这四个数字按照这个顺序加在数后面）：2、20、201、2019、20192、201920、2019201、20192019、201920192、……、这个数列中，质数有多少个？【例题5】请将下面各数中的合数分解质因数：72、133、252、264、1428【例题6】四个小朋友的年龄恰好是四个连续的自然数，他们的年龄之积是5040．这四个小朋友的年龄分别是多少岁？【例题7】 已知201920242029+=+=+迎新年，且6384××=迎新年， 那么迎×新＋新×年＝_________．【例题8】 (1)两个正整数的乘积为100，这两个正整数都不含有数字0，则这两个正整数之和是多少？(2)四个互不相同的正整数的乘积是231，则这四个数的和是多少？×××计算结果的末尾有多少个连续的0？【例题9】(1)算式9758672380(2)302!的计算结果的末尾有多少个连续的0？【例题10】如果一个整数具备以下性质：①这个数与1的差为质数；②这个数除以2所得的商也是质数；③这个数除以9的余数为5.则称这个整数为幸运数，那么在两位数中，最大的幸运数是多少？【例题11】桌子上有0~9这十张数字卡片，甲、乙、丙三人每人各取了其中的三张，并将自己拿到的三张数字卡片组成的所有不同的三位数求和，结果甲、乙、丙的答案分别是1554，1688，4662，剩下的那张数字卡片是多少？（注：卡片不能颠倒）【例题12】一个三位数各位数字的乘积是18，满足条件的所有三位数的总和是多少？第2讲 质数、合数与分解质因数【例题1】【分析】 (1)62；(2)7或9【例题2】 【分析】 6【例题3】 【分析】 8【例题4】 【分析】 1【例题5】【分析】 327223=×，133719=×，22252237=××，32642311××，2142823717×××【例题6】【分析】 7、8、9、10【例题7】 【分析】 722【例题8】【分析】 (1)29；(2)22【例题9】【分析】 (1)3；(2)74【例题10】 【分析】 14【例题11】 【分析】 9。
小学数学高频考点讲义45专题四十五质数、合数和分解质因数
⼩学数学⾼频考点讲义45专题四⼗五质数、合数和分解质因数专题四⼗五质数、合数和分解质因数1．质数与合数⼀个数除了1和它本⾝，不再有别的因数，这个数叫做质数（也叫做素数）⼀个数除了1和它本⾝，还与别的因数，这个数叫做合数要特别记住：1不是质数，也不是合数2．质因数与分解质因数如果⼀个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数把⼀个合数⽤质因数相乘的形式表⽰出来，叫做分解质因数例：把30分解质因数解：30=2×3×5其中2、3、5叫做30的质因数⼜如12=2×2×3=22×3，2、3都叫做12的质因数例题：【例1】三个连续⾃然数的乘积是210，求这三个数【分析与解】∵210=2×3×5×7∴可知这三个数是5、6和7【例2】两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最⼤值是多少？【分析与解】把40表⽰为两个质数的和，共有三种形式40=17+23=11+29=3+37∵17×23=391>11×29=319>3×37=111∴所求的最⼤值是391答：这两个质数的最⼤乘积是391【例3】⾃然数123456789是质数，还是合数？为什么？【分析与解】123456789是合数因为它除了有因数1和它本⾝外，⾄少还有因数3，所以它是⼀个合数【例4】有三个⾃然数，最⼤的⽐最⼩的⼤6，另⼀个是它们的平均数，且三数的乘积是42560，求这三个⾃然数【分析与解】先⼤概估计⼀下，30×30×30=27000，远⼩于42560，40×40×40=64000，远⼤于42560。
因此，要求的三个⾃然数在30-40之间42560=625719=52(57)(192)=323538（合题意）∴要求的三个⾃然数分别是32、35和38【例5】求240的因数的个数【分析与解】∵411=??240235∴240的因数的个数是(41)(11)(11)20+?+?+=∴240有20个因数习题：1. 在1~100⾥最⼩的质数与最⼤的质数的和是_____.2. ⼩明写了四个⼩于10的⾃然数,它们的积是360.已知这四个数中只有⼀个是合数.这四个数是____、____、____和____.3. 把232323的全部质因数的和表⽰为AB,那么A?B?AB=_____.4. 有三个学⽣,他们的年龄⼀个⽐⼀个⼤3岁,他们三个⼈年龄数的乘积是1620,这三个学⽣年龄的和是_____.5. 两个数的和是107,它们的乘积是1992,这两个数分别是_____和_____.6. 如果两个数之和是64,两数的积可以整除4875,那么这两数之差是_____.7. 某⼀个数,与它⾃⼰相加、相减、相乘、相除，得到的和、差、积、商之和为256.这个数是_____.8. 有10个数:21、22、34、39、44、45、65、76、133和153.把它们编成两组,每组5个数,要求这组5个数的乘积等于那组5个数的乘积.第⼀组数____________；第⼆组数是____________.9. 有_____个两位数,在它的⼗位数字与个位数字之间写⼀个零,得到的三位数能被原两位数整除.10. 主⼈对客⼈说：“院⼦⾥有三个⼩孩，他们的年龄之积等于72，年龄之和恰好是我家的楼号，楼号你是知道的，你能求出这些孩⼦的年龄吗？”客⼈想了⼀下说：“我还不能确定答案。
质数和合数的判定与因数分解
质数和合数的判定与因数分解一、质数和合数的定义1.质数：一个大于1的自然数，除了1和它本身以外不再有其他因数。
2.合数：一个大于1的自然数，除了1和它本身以外还有其他因数。
二、质数和合数的判定方法1.试除法：从2开始，依次用自然数去除该数，如果都不能整除，则为质数；如果有一个能整除，则为合数。
2.埃拉托斯特尼筛法：用于找出一定范围内所有质数。
三、因数分解1.定义：把一个合数写成几个质数的乘积的形式。
a.从最小的质数开始，依次尝试去除该数，直到无法整除为止。
b.把每次除得的质数写在下方，乘积写在上方。
c.最后得到的乘积就是该数的因数分解式。
四、质数和合数在数学中的应用1.数论：质数和合数是数论中的基本概念，广泛应用于密码学、信息安全等领域。
2.因数分解：在数学、物理、化学等领域中，经常需要对数值进行因数分解，以找出基本的因子。
3.最大公约数和最小公倍数：质数和合数在求解最大公约数和最小公倍数问题时具有重要意义。
五、质数和合数的性质1.质数是无限的，且分布没有规律。
2.除了2以外的所有质数都是奇数。
3.任何一个合数都可以写成几个质数的乘积。
4.质数和合数在自然数中是交替出现的。
六、质数和合数的相关定理1.费马小定理：如果p是一个质数，a是小于p的整数，那么a^(p-1)≡ 1 (mod p)。
2.中国剩余定理：解决同余方程组的问题。
七、质数和合数的问题拓展1.孪生素数猜想：猜想存在无穷多对素数，它们的差为2。
2.哥德巴赫猜想：任何大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。
3.黎曼猜想：研究复平面上的黎曼ζ函数的零点分布。
八、质数和合数在生活中的应用1.密码学：利用质数的性质，设计安全的密码系统。
2.计算机科学：在算法设计、加密技术等领域中广泛应用。
3.信息安全：质数和合数在加密算法、数字签名等领域具有重要意义。
质数和合数是数学中的基本概念，掌握它们的定义、判定方法和因数分解对于深入学习数学具有重要意义。
小学数学《质数合数与分解质因数》ppt
【变式题2】五个连续自然数的乘积是95040， 这五个自然数各是多少？
95040=2×2×2×2×2×2×3×3×3×5 ×11=（2×2×2）×（3×3）×（2×5） ×11×（2×3×2）=8×9×10×11×12这 五个连续自然数是8，9，10，11和12.
趣味数学游戏
（1）一片两片三四片，五片六片七八片，九片十片十 一片，飞入草丛全不见。
（三）优等能力学生 1、有两个质数，它们的和既是一个小于100的奇 数，又是13的倍数。这是两个怎样的质数？ 2、（第十三届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛） 找出2008这个数中所有的不同质因数，它们的和 是多少？
合数分解质因数，整除是关键， 要从最小质数除。直到商也是质 数，除数乘商才完毕。
（2）接二连三、五谷丰登、七窍生烟 （3）一刀两断一波三折 一言九鼎 一目十行 一呼百应 千钧一发 三心二意 四分五裂 五颜六色 七上八下 十拿 九稳 九牛二虎
PK练习
（一）基础训练（学习能力较弱学生练习）
1.481是质数还是合数？
2.在1-100里，最小的质数与最大的质数的和是______.
A．100 B.99 C.98
孔融分梨
19个梨子
20个梨子
20× 1 10 2
20 1 5 4
20 1 4 5
质数 （或素数）：在自然 数中，一个数除1和它本身， 不再有别的约数 ； 比如： 2，3，5，7，11，……都 是质数．
合数 ：一个数除了1和 它本身，还有别的约数 ； 比如：4，6，8，9， 12，……都是合数
分解质ห้องสมุดไป่ตู้数 ：把一个合数用质数相乘的形式表示出来； 比如：60=2×2×3×5
【例1】将2520分解质因数。 用最小的质数去除，一直到除尽为止
五年级奥数专题 质数、合数、分解质因数(学生版)
学科培优数学“质数、合数、分解质因数”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及,并且多以判断题考察。
质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式,但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。
质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。
在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识,在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。
分解质因数法是一个数论重点方法,本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。
知识梳理一、质数与合数的基本概念1.质数：一个数除了1和它本身没有其他的约数,这个数就称为一个质数,也叫做素数2.合数：一个数除了1和它本身还有其他的约数,这个数就称为一个合数3.质因数：如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数二、质数和合数的一些性质和常用结论1. 0和1既不是质数也不是合数,因此,我们可以说,自然数可以分成三部分,即,0和1,质数,合数。
2. 最小的质数是2,最小的合数是4。
3. 常用的100以内的质数：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,8 9,97其中2是唯一的偶数,5是唯一个位上数字是5的数,其余的数字个位只为1,3,7,94. 部分特殊数的分解：=⨯1000173137=⨯=⨯⨯1111141271=⨯100171113111337=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯200733223=⨯⨯⨯1998233337199535719=⨯⨯⨯+==⨯⨯10101371337 2008222251=⨯⨯⨯200720084015511735. 质数的判定方法判断一个数是否是质数,可以采用“连续小质数试除法”。
例如：判断251是否是质数,可以从最小的质数2开始依次除251,直到所得的商比除数小为止,可以断定251是质数。
251÷2=125...1, 251÷3=83...2, 251÷5=50...1, 251÷7=35...6, (251)17=14…13,此时除数17＞商14,由此说明251是质数。
第十二讲 质数、合数、分解质因数
-159-第十二讲质数、合数、分解质因数知识导航：自然数可以根据它们的因数个数分为质数和合数。
1.质数：一个数如果只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。
例：2=1×2，5=1×5,13=1×13…像这些数都是质数。
2．合数:一个数如果除了1和它本身外，还有别的因数，这个数叫做合数。
例：12=1×12=2×6=3×4，36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6…像这些数都是合数。
特别注意1既不是质数也不是合数。
注意：质数与合数是根据一个数的因数的个数定义的。
3．分解质因数：指的就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。
例：15=3×5，24=2×2×2×3…这就是分解质因数。
注意1：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径；注意2：100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个。
4．唯一分解定理：N=a 1p1×a 2p2×…×a n pn(a 1、a 2…a n 均为N 的不同质因数)那么N 的因数个数n=（1+p1）×(1+p2)×…(1+pn)5．互质数的概念和特征互质数：公因数只有1的两个数叫做互质数。
互质数的特征：（1）1和任何数都是互质数。
（2）两个不相等的质数一定是互质数。
（3）相邻的两个自然数一定是互质数。
第一关：必须会例1.两个质数的和是99，这两个质数的乘积是多少？解析：奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数。
两个质数的和是奇数，所以，一定有一个质数是偶数，偶数中只有2是质数。
解：99=2+9797×2=194答：这两个质数的乘积是194。
我试试：1、两个质数的和是39，求这两个质数的积。
五年级数学质数合数、分解质因数专项题拓展难题
例1：在三张卡片上分别写上1、3、5,如果随意从其中至少取出一张组成一个数，其中有几个质数？将它们写出来。
3, 5, 13, 31, 53
练习
1.从1、4、7这3个数字中选出1个、2个、3个，按任意次序排列，可得到不同的一位数、两位数、三位数，将其中的质数都写出来。
2.三张卡片上分别写上1、2、3,从中任意抽出一张、两张或三张，分别组成一位数、两位数、三位数，其中哪些是质数？哪些是合数？例2：分别把100和119分解质因数。
练习
1.把60分解质因数。
2.把221分解质因数。
例3：如果两个质数的和是26,这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出来。
练习
1.如果两个质数的和是36,这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出来。
2.两个质数的和是25,这两个质数的乘积是多少？请全部写出来。
例4：三个不同的质数相加，和为40,这三个质数的乘积可能是多少？请全部写出来。
练习
1.三个不同的质数相加和为28,这三个质数可能是多少？请全部写出
来。
2.三个不同质数相加和为52,这三个质数的乘积可能是多少？请全部写出来。
例5：A是质数，B是奇数，且A×A+B=2007,那么B×10001的积是多少？
练习：A是质数，B是奇数，且A×A+B=2009,则A+B=？。
五年级下学期数学 质数合数与分解质因数 完整版课件+答案
例题9、把自然数A的所有因数两两求和，又得到若干个自然数，在这些数中， 最小的是3，最大的90 ，则A是多少？
自然数A的最小因数是1，最大因数是A 因为两个因数想加最小的和是3，所以次小的因数应该是2，那 么第二大的因数应该是A/2 所以可以得到A+A/2=90 A=60
演练9、把自然数A所有的因数两两求和，又得到若干个自然数，在这 些自然数中，最小的是3，最大的是2250，求A
自然数A的最小因数是1，最大因数是A 因为两个因数想加最小的和是3，所以次小的因数应该是2，那 么第二大的因数应该是A/2
所以可以得到A+A/2=2250 A=1500
质数、合数与分解质因数
质数：2, 29, 37, 97, 103 合数：25,35,91,51,87,1001
要点：背记100以内质数表
26=3+23=7+19 50=3+47=2+5+43
要点：背记100以内质数表,2是唯一的偶质数
演练2
20=3+17=23-3 48=7+41=11+37=17+31 要点：背记100以内质数表,2是唯一的偶质数
40=3+37 =11+29 =17+23
3×37=111 11×29=319 17×23=391
要点：背记100以内质数表,和同近积大
2001=2+1999 2×1999=3998
要点：2是唯一的偶质数，两个质数和为奇数必定含有质数2
178=2×89 2+89=91
要点：2是唯一的偶质数，运用短除法分解质因数
演练ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、三个连续的自然数相乘的结果是 1716，那么这三个自然数的和 是多少？
质数合数与因数分解
质数知多少？
•
对于研究者来说．寻找最大质 数的精神，犹如物理学家在寻找 比原子更微小的粒子、或天文学 家在不断追寻未为人所知的星体 般。都须付出惊人的毅力。正是 这种单纯为满足求知欲的好奇心， 正好是人类突破知识领域动力。
质数知多少？
•
18世纪，欧拉发现了当时 最大的质数231一1．20世纪 末人类借助超级计算机，发 现了最大的质数2859433一1 ， 现已知的最大素数是 13466917—1，位数超过400 2 万位
2,3,5,7,11,13,17,19 23,29,31,37,41,43,47,53, 59,61,67,71,73,79,83,89, 97
质数合数与因数分解质数合数与因数分解质数合数一个大于1的正整数若除了1与它自身再没有其他的约数这样的正整数叫做一个大于1的正整数除了l与它自身若还有其他的约数这样的正整数称为对于研究者来说
质数 合数与 因数分解
质数 合数
• 一个大于1的正整数，若除了1与 它自身，再没有其他的约数，这 质数． 样的正整数叫做质数 质数 • 一个大于1的正整数，除了l与它 1 l 自身，若还有其他的约数，这样 的正整数称为合数 合数． 合数
练习
• 18.1与0交替排列，组成下面形式的一串数101， 10101·1010101，101010101，……请你回答： 在这串数中有多少个质数?并证明你的结论． (2001年北京市竞赛题) • 19.41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…40,41 这41个自然数，问： (1)能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个 相邻运动员的号码之和是质数? (2)能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个 相邻运动员的号码之和都是质数? 若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由．
质数与合数的分解与因数分解
质数与合数的分解与因数分解质数与合数是数学中两个重要的概念，它们在数论和代数中都有广泛应用。
本文将详细讨论质数与合数的分解以及因数分解的相关知识。
一、质数的分解质数是指只能被1和自己整除的自然数，没有其他的因数。
质数的分解是将一个质数表示为几个较小质数的乘积的形式。
例如，数字17是一个质数，因此无法进行分解。
二、合数的分解合数是指除了能被1和自身整除外，还有其他因数的自然数。
合数的分解可以将一个合数表示为几个较小的质数的乘积的形式。
例如，数字12是一个合数，可以分解为2乘以2乘以3。
在实际运用中，合数的分解可以用于简化运算、找出公因数等。
通过将合数分解为质数的乘积，我们可以更方便地进行运算和分析。
三、因数分解因数分解是将一个数表示为几个因数的乘积的形式。
这些因数可以是质数或合数。
因数分解也被称为素因数分解或质因数分解。
对于任意一个数，我们都可以计算出它的因数分解式。
首先，我们可以找到这个数的一个因数，然后再继续对该因数进行因数分解，直到不能再分解为止。
最终得到的所有因数相乘即可得到原始数的因数分解式。
例如，我们将数字60进行因数分解：60 = 2 × 30= 2 × 2 × 15= 2 × 2 × 3 × 5因此，数字60的因数分解式为2 × 2 × 3 × 5。
因数分解在数论和代数中都有广泛应用。
它不仅可以帮助我们简化复杂的运算，还可以用于解决一些数学问题。
结论质数与合数的分解以及因数分解在数学中起着重要的作用。
质数的分解是将一个质数表示为较小质数的乘积的形式，而合数的分解是将一个合数表示为较小质数的乘积的形式。
因数分解是将一个数表示为几个因数的乘积的形式。
通过质数与合数的分解以及因数分解，我们可以更方便地进行数学运算、解决数学问题，以及探索数论和代数中更深入的知识。
数的整除（2）质数、合数、分解质因数及答案
数的整除（2）质数、合数、分解质因数及答案数的整除（2）质数、合数、分解质因数【知识要点】一、质数与合数自然数按其因数的个数可以分成三类：（1）单位1：只含有1这一个因数的自然数。
（2）质数（也称为素数）：只含有1与它本身这两个因数的自然数。
（质数有无穷多个，不存在最大的质数，但有最小的质数2，而且2是质数中唯一的偶数。
）（3）合数：含有三个或三个以上因数的自然数。
二、分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
因数个数定理：例如：1980=22×32×5×11所以：（T表示因数个数）T（1980）=（1+2）×（1+2）×（1+1）×（1+1）=36 （6）因数和的定理：例如：1980=22×32×5×11所以：S（1980）=（02+12+22）×（03+13+23）×（05+15）×（011+111）=7×13×6×12=6552【典型例题】例1、两个质数的和是49，这两个质数的积是多少？解：因为两个质数的和49是奇数，所以必有一个质数是偶数，另一个质数是奇数，而偶数中只有2是质数，于是另一个质数是49－2=47，从而得到它们的积是2×47=94。
例2、有三张卡片，上面分别写着2、3、4三个数字，从中任意抽出一张、两张、三张，按任意顺序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数，写出其中的质数。
解：由于2+3+4=9是3的倍数，所以任意排出的三位数都不是质数。
任意取两张卡片排出的两位数，末尾数字不能是2和4，只能排3.所以用2、3、4三个数字排出两位质数有23和43.取一张卡片排出的质数有2和3.所以最后排出的质数有2、3、23、43这四个。
例3、360这个数的因数有多少个？这些因数的和是多少？解：360=2×2×2×3×3×5=23×32×5，所以360有（3+1）×（2+1）×（1+1）=24个因数。
质数与合数及分解质因数(教案)青岛版五年级上册数学
质数与合数及分解质因数（教案）知识点引入质数和合数在数学中，我们把大于1的整数分为“质数”和“合数”两种类型。
所谓质数，就是只能被1和它本身整除的数；而合数，则是除了1和它本身外，还可以被其他数整除的整数。
例如：2、3、5、7、11等都是质数，而4、6、8、9、10等则是合数。
分解质因数对于一个整数n，把它找出所有的质数乘积，那么这个过程就叫做分解质因数。
例如：20=2×2×5，42=2×3×7。
教学目标1.能够正确区分质数和合数的概念，并且在实践中正确识别。
2.能够理解和掌握分解质因数的方法，并对复杂的数字进行分解。
教学重点和难点教学重点：分解质因数的方法以及质数和合数的概念。
教学难点：对于比较大的数字进行分解质因数，并正确判断质数和合数。
教学过程思维导图引入在学习质数、合数以及分解质因数之前，我们先来看一张思维导图：质数和合数/ \\质数合数|分解质因数•我们先认识什么是质数和合数，它们之间有什么区别？•我们是如何进行分解质因数的？质数和合数的概念•让学生举一些数值例子，让他们判断这个数是不是质数或合数。
例如：2、5、7、13、15、22等。
•让学生理解和掌握“除法”的基本概念。
•给学生几个数字，让他们自己尝试找出它们的质因数。
分解质因数的方法•我们怎么判断一个数字是质数或合数？•我们是怎么找到一个数字的质因数的？分解质因数的步骤1.把一个大于1的整数分成质因数的乘积。
2.如果这个数已经是一个质数，那么就是分解质因数的最终结果。
3.如果这个数还是一个合数，那么需要继续分解。
例如，我们要分解质因数的数字是20，那么我们可以使用以下步骤：1.用2去除20，余数为0，记录下2。
2.把20除以2，得到10。
3.用2去除10，余数为0，记录下2。
4.把10除以2，得到5。
5.由于5不能被2整除，再用3、4等质数继续尝试，得到最终结果：20=2×2×5。
质数、合数与因式分解
质数、合数与因数分解知识纵横一个大于1的正整数，若除了1与它本身，再没有其他的约数，这样的正整数叫做质数，一个大于1的正整数，除了1与它自身，若还有其他的约数，这样的正整数成为合数。
质数、合数的性质：1.1不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数。
2.若质数ab p |，则必有a p |或b p |。
3.若正整数b a ,的积是质数p ，则必有p a =或p b =。
4.算术基本定理：任意一个大于1的整数N 能分解成k 个质因数的乘积，若不考虑质因数之间的顺序，则这种分解是唯一的，从而N 可以写成标准分解形式：k a k a a p p p N ⋅⋅=2121，其中k p p p <<< 21，i p 为质数，i a 为非负整数（k i ,,2,1 =）。
正整数N 的正约数的个数为)1()1)(1(21k a a a +++ ，所有正约数的和为)1()1()1(212211k ak k a a p p p p p p +++⋅⋅+++⋅+++ 例题讲解：例1.已知三个不同的质数c b a ,,，满足2000=+a c ab b ，求c b a ++的值。
例2.一个两位数的个数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位数中，质数有哪些？例3.求这样的质数，当它加上10和14时，仍是质数。
例4.(1)将12004,,2,1 这2004个数随意排成一行，得到一个数N ，求证：N 一定是合数。
(2)若n 是大于2的正整数，求证：12-n 与12+n中至多有一个是质数。
(3)求360的所有正约数的倒数和。
例5．设d c b a ,,,是正整数，并且2222d c b a +=+，证明：d c b a +++一定是合数。
练习：1.菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家。
华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖。
我们知道正整数中有无穷多个质数，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数k ，存在无穷多组含有k 个等间距质数的数组。
【六年级数学小升初】数的认识：质数、合数与分解质因数(含知识点、练习和答案)
【六年级数学小升初】数的认识：质数、合数与分解质因数（含知识点、练习和答案）知识点：质数与合数：1、质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。
例如：30以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。
注意：（1）质数又称素数，有无限个。
一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除。
（2）最简分数：当分数的分子和分母互质时（只有公因数1），即为最简分数。
2、合数：一个数，如果除了1和它本身之外，还有别的因数，这样的数就叫做合数。
例如：4、6、8、9、12、24都是合数。
3、特别的：1既不是质数也不是合数。
自然数除了0和1外，不是质数就是合数。
如果把自然数（0除外）按其因数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。
4、分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，就叫做分解质因数。
注意：每个合数都能写成几个质数相乘的形式。
其中的每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。
例如：12=2×2×3，2和3就叫做12的质因数。
同步练习：一、单选题1、在1～10中，是偶数但不是质数的有（）个。
A、2B、3C、92、两个合数相加后，和是（）。
A、合数B、偶数C、奇数3、23和（）的乘积是质数。
A、1B、任何自然数C、质数4、（）的最大公因数一定是1。
A、两个奇数B、两个偶数C、两个合数D、两个不同的质数5、相邻的两个自然数的和一定是（）。
A、奇数B、偶数C、质数D、合数6、若b是质数，那么下面说法正确的是（）。
A、b一定是奇数B、b一定不是2的倍数C、b只有两个因数7、分子、分母是两个不同的质数，那么这个分数（）最简分数。
A、不一定是B、一定是C、一定不是8、如果正方形的边长是质数，那么它的面积和周长都是（）。
A、奇数B、合数C、质数D、偶数9、关于“2”，下列说法正确的是（）。
A、奇数和质数B、偶数和质数C、奇数和合数D、偶数和合数10、20以内的自然数中有质数（）个。
小学五年级奥数知识点：质数、合数和分解质因数
小学五年级奥数知识点：质数、合数和分解质因数小学五年级奥数知识点集锦：质数、合数和分解质因数导语：下面是小编为您收集整理的小学五年级关于质数、合数和分解质因数的知识，欢迎阅读!质数、合数和分解质因数的知识点1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数)。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住：1不是质数，也不是合数。
2.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例：把30分解质因数。
解：30=2×3×5。
其中2、3、5叫做30的质因数。
又如12=2×2×3=22×3，2、3都叫做12的质因数。
质数、合数和分解质因数的例题例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.解：∵210=2×3×5×7∴可知这三个数是5、6和7。
例2 两个质数的'和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少?解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式：40=17+23=11+29=3+37。
∵17×23=391>11×29=319>3×37=111。
∴所求的最大值是391。
答：这两个质数的最大乘积是391。
例3 自然数123456789是质数，还是合数?为什么?解：123456789是合数。
因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。
例4 连续九个自然数中至多有几个质数?为什么?解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数(如：1～9中有4个质数2、3、5、7)。
如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。
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M05A+205
质数、合数与分解因数
月日姓名
【知识要点】
1．质数与合数的意义
自然数可以按照约数的个数进行分类，像2，3，5，7，11，13，17，19，…只能被1和自身整除的自然数叫质数；像4，6，8，9，10，12，14，15，…除了能被1和自身整除外，还能被其他整数整除的自然数叫做合数。
1不是质数，也不是合数。
既不是质数也不是合数的自然数只有1。
2是唯一的偶质数。
2．把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
【典型例题】
例1利用短除法分解质因式。
216 10010
例2．南外小学五年级学生汪涛，参加五年级数学竞赛，并获得一等奖，汪涛问老师这次竞赛，我考了多少分？获得第几名？老师说：“你得的名次，分数和你的年龄之积是2156，你算一算就知道了。
”汪涛这次名次，分数和他的年龄各是多少？
例3 a、b、c都是质数，且a×(b＋c)=119，求a、b、c是多少？
例4 把六个数12，18，30，63，65和91分成两组，使两组中三个数的积相等。
例5 班主任李老师带领学生去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师比每个学生多种一棵，则师生共种507棵，问每个学生种树多少棵？
随堂小测
姓名成绩
1．用短除法分解质因数。
540 1105
2．小冬、小明、小赵三人去书城买书，己知三人的钱数都是质数，且小冬与小明钱数的乘积为77，小明与小赵的钱数乘积为91，小冬与小赵的钱数乘积为143，每本书为7元，求他们的钱可一共买多少本？
3．求在625×1024×15×70的积中末尾0的个数？
4．a、b、c均为质数，且a×(b＋c)=62,求a的值。
5．把六个数10，21，26，39，55和77分成两组，使它们的乘积相等。
6．在40～50之间找两个自然数，使它们的乘积为2112。
课后作业
姓名成绩
1．利用短除法分解质因数。
1080 1620
2．a、b、c均为质数，a×(b＋c)=143，求质数a的值。
3．把六个数15，21，45，49，91和117分成两组，使它们的乘积相等。
4．求75×280×725×92的积中末尾0的个数？
5．陈虎是个五年级学生，他说：“这次考试（百分制），我的名次，分数和我的年龄之积是1940。
”你能算出陈虎的名次，这次考试的分数和年龄吗？
基础复习：
1、一个数（），这样的数叫做质数．
2、一个数（），这样的数叫做合数．
3、20以内的质数有（）．
4、把一个合数（），叫做分解质因数．
5、一个数既是18的约数，又是18的倍数，把它写成两个质数相加的形式是（）或（）．
6、最小的合数是（），最小的质数是（），既是偶数又是质数的数（），既是奇数又是合数的数最小是（）．
7、10以内所有质数的积减去最小的三位数，差是（）．
8、20以内差为1的两个合数有（）和（），（）和（），（）和（），（）和（）四对
9．梨有360个，平均分成若干堆，每堆不得少于10个，也不能多于40个，一共有几种分法？。