工程力学材料力学之应力应变状态分析ppt 56页.ppt

ε2
1 E
σ2
μσ1
ε3
μ E
σ2
σ1
(Analysis of stress-state and strain-state)
对于平面应力状态（In plane stress-state）
(假设 z = 0，xz= 0，yz= 0 )
y
1 εx E (σx μσ y )
ε1
1 E
σ1
μσ2
σ3
1
2
E
(σ1
σ
2
σ3
)
ε2
1 E
σ2
μσ3
σ1
ε3
1 E
σ3
μσ1
σ28
(Analysis of stress-state and strain-state)
1、纯剪切应力状态下的体积应变（ Volumetric strain for
pure shearing stress-state)
体积应变（Volumetric strain）为
V1 V
V
a1(1 ε1 ) a2(1 ε2 ) a3(1 ε3 ) a1 a2 a3 a1 a2 a3
a1 a2 a3(1 ε1 ε2 ε3 ) a1 a2 a3
a1 a2 a3 ε1 ε2 ε3
εy
1 E
σy
μσz
σx
εz
1 E
σz
μ
σy σx
在 xy，yz，zx 三个面内的切应变为
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
(Analysis of stress-state and strain-state)
εx
1 E
σx
μ
σy
σz
εy
1 E
σy
μσz
σx
如果变形前单元体的三个棱边成某种比例，由于三个棱边 应变相同，则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例. 所以
在三向等值应力m的作用下，单元体变形后的形状和变形前
的相似，称这样的单元体是形状不变的.
在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三
个线应变 x ，y， z 有关，仿照上述推导有
1
2
E
(σ
xy
εz
xy
G
1 E
σz
yz
μσ
yz
G
y
σx
zx
zx
G
εx ,ε y ,εz —— 沿x、y、z轴的线应变 γ xy ,γ yz ,γzx —— 在xy、yz、zx面上的角应变
上式称为广义胡克定律(Generalized Hooke’s law）
(Analysis of stress-state and strain-state)
σz 单独存在时
εx
σx E
εx
μ
σy E
εx
μ
σz E
y
y z
x
z
z
y
x
x
(Analysis of stress-state and strain-state)
在 x 、y 、 z同时存在时, x 方向的线应变x为
εx
1 E
σx
μ
σy
σz
同理，在 x 、y 、z同时存在时, y , z 方向的线应变为
(Analysis of stress-state and strain-state)
§7-6 广义虎克定律
(Generalized Hooke’s law )
一、各向同性材料的广义胡克定律 (Generalized Hooke’s law for isotropic materials)
1、符号规定 (Sign convention)
x
σy
σz )
在任意形式的应力状态下, 各向同性材料内一点处的体
积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之
和成正比, 而与切应力无关.
11
(Analysis of stress-state and strain-state)
构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示.
各向同性材料在三向应力状态下的体应变
如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3 变形后的边长分别为
a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3
变形后单元体的体积为
2
a2
1
3
a1
a3
V1=a1(1+·a2(1+2 ·a3(1+3
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(Analysis of stress-state and strain-state)
2、各向同性材料的广义胡克定律 (Generalized Hooke’s law for isotropic materials)
用叠加原理，分别计算出 x , y , z 分别单独存在时, x ，y， z方向的线应变 x , y， z，然后代数相加.
x 方向的线应变
σ x单独存在时 σ y单独存在时
σ1 σ3 τ xy σ2 0
0
即在小变形下，切应力不引起各向同性材料的体积改变.
2、三向等值应力单元体的体积应变(The volumetric strain of
triaxial-equal stress element body)
三个主应力为
σm
σ1
σ2 3
σ3
m
单元体的体积应变
1
2
E
y
y
（1） 正应力：拉应力为正, 压应力为负 （2） 切应力：对单元体内任一点取矩,若 产生的矩为顺时针，则τ为正；反之为负 z
yx xy x
x
（3） 线应变：以伸长为正, 缩短为负； z
（4） 切应变：使直角增者为正, 减小者为负.
(Analysis of stress-state and strain-state)
εy
1 E
(σ y
μσx )
εz
μ E
(σ
y
σx)
z
xy
xy
G
y
yx xy
x
x
y yx xy x
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(Analysis of stress-state and strain-state)
二、各向同性材料的体积应变（The volumetric strain for isotropic materials)
3、主应力-主应变的关系 (Principal stress-principal strain relation）
已知 1、 2、 3；1、2 、3 为主应变
ε1
1 E
σ1
μσ2
σ3
ε2
1 E
σ2
μσ3
σ1
ε3
1 E
σ3
μσ1
σ2
二向应力状态下(In plane stress-state)
设 3= 0
(σm
σm
σm )
1
2
E
3
m
m
m
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(Analysis of stress-state and strain-state)
2
m
1
3
a2
m
a1
a3
m
这两个单元体的体积应变相同
1
2
E
(σ1
σ2
σ3 )
1 2
E
3σm
单元体的三个主应变为
ε1
ε2
ε3
1 E
σm
μσm
σm
1
2 E
μ
σm
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(Analysis of stress-state and strain-state)