第5章 数字控制器的连续设计方法(改)..

[例4-4] 将
D( s)
1 Ts=1s双线性变换成D(z) s 2 0.2 s 1
1 z 1 2 1 z 1 (2 ) 0.2(2 ) 1 1 1 1 z 1 z 0.185(1 2 z 1 z 2 ) U (z) 1 2 1 1.111z 0.852 z E (z)
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将D(s)离散成D(z)的方法有多种，离散化 的实质是求得一个等效的控制器脉冲传递函数， 使之与连续域的控制器传递函数在很多方面是 相似的
比如在脉冲响应特性、阶跃响应特性、频率特性、 稳态增益和零、极点分布等方面
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6种常用的离散化方法
一阶差分变换法（后向差分、前向差分） 双线性变换法（突斯汀变换法） 频率预畸变的双线性变换法 脉冲响应不变法（即Z变换法） 加零阶保持器的脉冲响应不变法 零极点对应法
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用后向差分变换法离散
假设 Ts 1s
1 D( s) 2 s 0.2 s 1
D( z ) D( s )
1 z 1 s Ts

1
1 2
0.455 1 z 1 0.455 z 2
1 1 z 1 z 1 0.2 Ts Ts U ( z) E( z)
因此D(s)是稳定的，经后向差分变换后，D(z)也是稳定的。 2、后向差分变换在ω从0→ 时，唯一映射到半径为1/2的圆上，因此没 有出现频率混叠现象，但是频率被严重压缩了，不能保证频率特性不变，变 换精度低，工程应用上受限制。优点是简单易做。 2018/10/13 6
一阶差分变换法（前向差分）
前向差分的近似式是： de(t )
dt
z 1 变换式为：s Ts
t kTs
e(k 1) e(k ) Ts
或者 z 1 sTs
D( z ) D( s)
结论：
s
z 1 Ts
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前向差分法的映射关系分析
Im
j
z平面 s平面
令 s j 则 z 1 jTs

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一阶差分变换法（后向差分） （1）离散化公式
D( z ) D( s )
1 z 1 s Ts
Ts为采样周期
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de(t ) 后向差分的近似式是： dt
t kTs
e(k ) e(k 1) Ts
等式左边取拉氏变换为： sE (s)
u (k ) u (k 1) Ts [e(k ) e(k 1)] 2
*
K-1 k
图5-12 梯形面积运算 梯形面积运算
求Z变换 U(z)=z -1U(z)+ Ts [ E ( z ) z 1 E ( z )]
2
积分Z的传递函数
U ( z ) Ts 1 z 1 1 D( z ) E ( z ) 2 1 z 1 2 1 z 1 Ts 1 z 1
等效差分方程（控制算法）为：
u(k)=0.455e(k)- u(k-1)+0.455u(k-2)
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双线性变换法
梯形面积公式逼近积分运算原理 定积分 u(t ) e(t )dt
0 t
e e(k-1) u(k-1) e(k)
1 两边求拉氏变换 U ( s ) E ( s ) s U ( s) 1 积分传递函数 D( s ) E （s) s
S平面的虚轴，映射到Z平面是一 条过实轴1，平行于虚轴的直线
0

-1
0
0
1
Re
令
前向差分法的映射关系
s j
z 1 Ts jTs z (1 Ts ) 2 (Ts ) 2
图5-11前向差分变换法的映射关系
则
要使 z 1 除 0 外，还要 Ts 较小时才行， 可见这种变换会产生不稳定的 D ( z ) 显见，前向差分变换法中稳定的D(s)不能保证变换成稳 定的D(z)，要稳定采样周期缩小，且不能保证有相同的脉冲 2018/10/13 响应和频率响应。
1 1 E ( z ) E ( z 1) z 1 z 等式右边取Z变换为： E( z) Ts Ts
1 z 1 这样可以得到变换关系：s Ts
结论： D( z ) D(s)
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1 z 1 s Ts
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后向差分法的映射关系分析
Im
j
S平面的虚轴映射为Z平面半径为1/2的圆
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* 离散化方法是：
D( z) D(s)
2 1z1 s Ts 1 z1
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双线性变换的映射关系分析
变换式的另一种形式
2 Ts s z 2 Ts s
设ຫໍສະໝຸດ Baidu
s j
则
4 4 2 ) j 2 Ts j TS 2 TS z 4 2 Ts j 2 2 TS (
z平面
s平面
1 [Re( z ) ]2 Im 2 ( z ) 1 2 2
0

2
2

-1
0 0
1
Re
S左半平面的映射
z
后向差分法的映射关系 图5-10 后向差分法的映射关系
1
1 T S Ts
2
特点：
1、
0 (即表示S平面左半平面)，|z|<1,说明映射到Z平面的单位圆内，
离散化设计方法（也称为直接设计方法）：将被控 对象和保持器组成的连续部分离散化，直接应用离 散控制理论的方法进行分析和综合，设计出满足控 制指标的离散控制器，由计算机实现。
连续化设计方法(也称模拟化设计方法)：忽略控制 回路中所有的零阶保持器和采样器，在s域中按连 续系统进行初步设计，求出连续控制器，再通过某 种近似，将连续控制器变换为离散控制器，由计算 机去实现。
说明:

从
0
z 的相角单调的从0变换到

s平面的虚轴，唯一映射到z平面的单位圆上
设
s j
则
z
(2 Ts )2 2 (2 Ts )
2 2
s 0, z 1
s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内
结论：从这样的映射关系可以看出，如果 D ( s ) 是稳定的， D ( z ) 也是稳定的，并且不出现频率的混叠现象 双线性变换后 2018/10/13 11