矩阵论简明教程(整理全)

an1 L
( j 1,2,L ,n)
a2, j1 a3, j1
M an, j1
a2, j1 L a3, j1 L
MO an, j1 L
a2n
a3n
M
ann
2 、 A d e tA ( 1 ) j1 j2 L jn a 1 j1 a 2 j2 L a n jn j1 j2 L jn
二、块矩阵的行列式
Bs1
Bs2
L
Bsr
A11B11 A12B12 L A1r B1r
则, ABA21B21
A22B22 L
A2r
B2r
,
M
M O M
As1Bs1
As2Bs2 L
Asr
Bsr
2、数乘
A11 A12 L A1r
A11 A12 L A1r
设 AA21 A22 L A2r， 则 AA21 A22 L A2r
M MO M
an1 an2 L ann
a 1 1 ( 1 ) 1 1 M 1 1 a 1 2 ( 1 ) 1 2 M 1 2 ... a 1 n ( 1 ) 1 n M 1 n
n
n
a1j(1)1j M 1j a1jA 1j
j1
j1
(1)
a21 L
其中M1j
a31 M
L O
ADCB
Example 3
设 ACmn,BCnm,
证 明n ImABmInBA
证：
左边=n
ImAB
ImAB
0
A
In
Im B
A Im
In B
0
In
Im B
A Im
In B
0 In
右边=m
In
BAIm
0
A
InBA
Im B
0Im InB

A
In
Im B
0 Im In B
A
In
左边
三、Vandermond 行列式
M MO M
M MO M
As1
As2 L
Asr
As1 As2 L Asr
3、乘法
A11 A12 L A1t B11 B12 L B1r
设AA21
A22 L
A2t ,BB21
B22 L
B2r
M MO M M MO M
As1 As2 L Ast
Bt1 Bt2 L Btr
C11 C12 L 则ABC21 C22 L
L O
aM m2aij
mn,其 中 aij是 复 数 aij的 共 轭 .
a1n a2n L am n
三、 矩阵的块运算 1、加法，减法
A11 A12 L A1r B11 B12 L B1r
设AA21
A22
L
A2r ,BB21
B22
L
B2r
M MO M M MO M
As1
As2 L
Asr
4、转置与共轭转置
a11 a12 L a1n
a11 a21 L am1
设Aa21
a22
L
a2n
，则AT
a12
a22 L
am2
L L O M
L L O M
am1 am2 L amn
a1n a2n L amn
aij mn
= aji nm
a11 a21 L am 1
AHa12 L
a22 L
1、 设 ACmm,BCmn,CCnm,DCnn,则
1A
0A
BA
0 AD
0 D 0 D CD
2AB 1m nCD 1m nBA
CD
AB
DC
3A Bm A B
C D CD
3 EA
C
EB E D 0
0A InC
B D
E
0
0A In C
B D
AB E
CD
A C
BF DF
CA
BIm D 0
0 F
A
A
a21
L
a22 L
L O
a2n
M
aij
mn
am1 am2 L amn
Notations
1 所 有 m n 实 矩 阵 集 合 记 为 R m n ; 2 所 有 m n 复 矩 阵 集 合 记 为 C m n ; 3 所 有 n 维 实 列 向 量 集 合 记 为 R n ; 4 所 有 n 维 复 列 向 量 集 合 记 为 C n ;
证：
A B A B AB B
B A BA AB 0 AB
AB AB
Example 2
设A,B,C,DCnn,且A可逆，ACCA,
证明A
B ADCB
CD
证：
C AD BA 0 D C B A 1BAD C A 1B
A D C A 1 B A D A C A 1 B A D C A A 1 B
M MO Cs1 Cs2 L
C1r
CM 2r ,其中Cij
t
k1
AikBkj
Csr
i 1,2,L ,s; j 1,2,L ,r
4、转置与共轭转置
A11 A12 L 设AA21 A22 L
M MO
A1r A2r,则AT M
A AM 11T T21
A2T1 L A2T2 L MO
A AsT sT12 M
二、 矩阵的运算
1、加法，减法
若A aij
,B
mn
bij
,则
mn
AB aij bij mn
2、数乘
若 A a i jm n , C ,则 A a i jm n
3、乘法
若 Aaij m r,Bbij rn,则
r
A Bcij m n,其 中 cijai1b1jai2b2jLairbrj aikbkj k 1
1
x1
Dn
x
2 1
M
x n1 1
1L
x2 L
x
2 2
L
MO
x n1 2
L
1
x n
x
2 n
(xj xi)
1i jn
M
x n1 n
§1.3 矩阵的秩
一、 矩阵秩的定义及基本性质 1、秩的定义
1 r a n k A r
A 的 行 向 量 组 的 极 大 线 性 无 关 组 中 向 量 的 个 数
As1 As2 L Asr
A1Tr A2Tr L AsTr
AH
A1H1 A1H2 M
A1Hr
A2H1 L A2H2 L MO A2Hr L
AsH1 AsH2
M AsHr
§1.2 方阵的行列式
一、行列式的定义与性质
a11 a12 L a1n 1、 A det A a21 a22 L a2n
C
B Im D0
0 F
AB F
CD
4 A
CEA
B DEB
Im
E
0A B In C D
Im
0 A B A B A BAF
E In C D C D C DCF
即某行左乘一个矩阵加到另一行，值不变；某列右乘 一个矩阵加到另一列，值不变。
Example 1
设 A ,B C n n,证 明 ABA BA B BA
矩阵论
教材：矩阵论简明教程（第二版）
徐仲，张凯院，陆全，冷国伟编著 科学出版社
第一章 矩阵的基础知识
§1.1 矩阵的运算 §1.2 方阵的行列式 §1.3 矩阵的秩 §1.4 特殊矩阵类
§1.1 矩阵的运算
一、 矩阵的概念 1、数集 R—实数集，C—复数集 2、矩阵的记号
a11 a12 L a1n