《数值分析》复习题

工程硕士《数值分析》总复习题（2012年用）

[由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习用]

一. 解答下列问题:

1）下列所取近似值有多少位有效数字( 注意根据什么? ):

a) 对 e = 2.718281828459045…,取*

x = 2.71828

b) 数学家祖冲之取 113355

作为π的近似值.

c) 经过四舍五入得出的近似值12345，-0.001, 90.55000, 它们的有效 数字位数分别为 位, 位, 位。

2) 简述下名词:

a) 截断误差 (不超过60字)

b) 舍入误差 (不超过60字)

c) 算法数值稳定性 (不超过60字)

3) 试推导( 按定义或利用近似公式 ): 计算3

x 时的相对误差约等于x 的相对

误差的3倍。

4) 计算球体积3

34r V

π= 时,为使其相对误差不超过 0.3% ,求半径r 的相对

误差的允许范围。

5） 计算下式 341

8

)1(3)1(7)1(5)1(22345+-+---+---=

x x x x x x P ）（

时,为了减少乘除法次数, 通常采用什么算法? 将算式加工成什么形式?

6) 递推公式 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==-

,2,1,1102

10n y y y n n

如果取

*

0041.12y y =≈= ( 三位有效数字 ) 作近似计算， 问计算

到

10y 时误差为初始误差的多少倍？ 这个计算过程数值稳定吗 ？

二. 插值问题:

1) 设函数

)(x f 在五个互异节点 54321,,,,x x x x x 上对应的函数值为

54321,,,,f f f f f ，根据定理，必存在唯一的次数 （A ） 的插值多项式

)(x P ，满足插值条件 ( B ) . 对此，为了构造Lagrange 插值多项式

)(x L ,由5个节点作 ( C ) 个、次数均为 ( D ) 次的插值基函数 )(x l i = _（E ） ， 从而得Lagrange 插值多项式)(x L = （F ） ,而插值

余项 )()()(x L x f x R -== （G ） 。

2 ) 试用三种方法求过三个离散点：A （0，1） 、B （1，2） 、C （2，3） 的

插值多项式。 3） 求函数

x e x f -=)( 在 [ 0 , 1 ]上的近似一次插值多项式。

4 ) 由函数值表:

x : 1 2 3

x e - : 0.367879441 , 0.135335283 , 0.049787068

求1

.2-e

的近似值.

5) 利用插值方法推导 x i j

i j

x n

i n

i j j =--∑∏=≠=][

,0

三. 拟合问题:

1) 对离散实验数据做最小二乘拟合的两个主要步骤是 ( A ) 和 ( B ) .

2) 对同一个量的多个近似值, 常取其算术平均作为该量的近似值, 这种做法的

意义是什么?

3) 设有实验数据如下： x 1.36 1.73 1.95 2.28

f

14.094 16.844 18.475 20.963

按最小二乘法求其拟合曲线。

4) 已知某试验过程中函数

f 依赖于x 的试验数据如下：

i x ： 1 2 3 4

i f ： 0.8 1.5 1.8 2.0

试按最小二乘法拟合出一个形如 2bx ax S += 的经验公式。

5 ) 设有实验数据如下：

x 1 2 3 4

f

4 10 18 26

按最小二乘法拟合出一个形如 2bx a S += 的经验公式 。

四. 数值求积:

1) 写出数值求积公式的一般形式, 指出其特点, 并说明它对计算机的计算有什

么意义?

2) 简述数值求积公式的 ”代数精度” 的概念 3) 插值型求积公式

()() n

b

k k a

k f x dx A f x =≈∑⎰

中,每个系数可用公式k A =

( A ) 计算,它们之和

∑=n

k k

A

= ( B ) , 其代数精度 ( C ) .

又Newton-Cotes 公式的一般形式为 ( D ) , 其主要特点是 ( E ) , 其 Cotes 系数之和

∑=n

k n k

C

)(= ( F ) , 其代数精度 ( G ) ;

4) 考察数值求积公式

⎰

--++-≈1

1

101)1()0()1()(f A f A f A dx x f ,

直接指出: 它是什么类型的公式? 为使其精度尽可能高,101,,A A A -应取什

么确值? 它是不是Gauss 型公式?

5 ) 求dx x I

⎰

+=1

3

11

的近似值, 试写出使用11个等分点函数值的求积 公式( 要求只列出数值公式,不需要求出具体结果 )。 6 ) 利用复化Simpson 公式求积分 dx x I

⎰=2

1

的近似值 （只需列出算式） 。

7) 利用现成函数表，分别用复化梯形公式n T 和复化Simpson 公式n S 计算积分

ϕϕπ

d I ⎰-=6

2sin 4 ϕ ϕ

2sin 4-

0 2

36π 9981001.1

362π 9924473.1 363π 9831825.1

364π 9705386.1 365π 9548386.1