常见的三个离散动态系统模型

常见的三个离散动态系统模型

要理解并预测由差分方程n n Ax x =+1所描述的动态系统的长期行为或演化,关键在于掌握矩阵A 的特征值与特征向量. 在本节中,我们将通过应用实例来介绍矩阵对角化在离散动态系统模型中的应用. 这些应用实例主要针对生态问题,是因为相对于物理问题或工程问题,它们更容易说明和解释,但实际上动态系统在许多科学领域中都会出现.

分布图示

★ 引言

★ 教师职业转换预测问题 ★ 区域人口迁移预测问题 ★ 捕食者与被捕食者系统 ★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题4-5

例题选讲

例1(E01)（教师职业转换预测问题）某城市有15万人具有本科以上学历，其中有1.5万人是教师，据调查，平均每年有10%的人从教师职业转为其他职业，只有1%的人从其他职业转为教师职业，试预测10年以后这15万人中还有多少人在从事教育职业。

解 用n x 表示第n 年后做教师职业和其他职业的人数，则⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=5.135.10x ，用矩阵

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛==99.010.001.090.0)(ij a A 表示教师职业和其他职业间的转移，其中90.011=a 表示每年有90%

的人原来是教师现在还是教师；10.021=a 表示每年有%10的人从教师职业转为其他职业。显然

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==515.13485.15.135.199,010.001.090.001Ax x ，

即一年以后，从事教师职业和其他职业的人数分别为1.485万和13.515万。又

0212x A Ax x ==，…,01x A x x n n n ==-,

所以01010x A x =,为计算10A 先需要把A 对角化。 001.0891.089.1001.0)99.0)(9.0(99

.01

.001

.09

.02-+-=---=----=

-λλλλλλλA E

0890.089.12=+-=λλ 89.0121==λλ，，21λλ≠，故A 可对角化.

将11=λ代入0=-x A E ）（λ，得其对应特征向量⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=1011p 。

将89.02=λ代入0=-x A E ）（λ，得其对应特征向量⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=112p

令,11011),21⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-==p p P （有

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=Λ=-89.00011AP P ，1

-Λ=P P A ,11010-Λ=P P A ,

而 ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----

=-11011111110111111P ， ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=

Λ=-5.135.11101189.0001

1101111110011010x P P x ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=

4575.135425.15.135.111011311817.0001

11011111。 所以10年后，15万人中有1.54万人仍是教师，有13.45万人从事其他职业。

例 2 (区域人口迁移预测问题)使用§3.7中的人口迁移模型的数据,忽略其它因素对人口规模

的影响,计算2022年的人口分布.

解 迁移矩阵⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=88.005.012.095.0M 的全部特征值是83.0,121==λλ,其对应的特征向量

分别是

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,14.221p p . 因为21λλ≠,故M 可对角化. 令()⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-==1114.2,21p p P ,有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-83.00011

MP P ,则183.0001-⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=P P M 因2002年的初始人口为⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=780000050000000x , 故对2022年,有

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=====--38618558938145780000050000001114.283.0001

1114.21

2001200201920x P PM x M Mx x

即2022年中国的城市人口约为8938145,农村人口为3861855．

例3（捕食者与被捕食者系统）某森林中，猫头鹰以鼠为食. 记猫头鹰和鼠在时间n 的数量为⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=n n n M O x ，其中n 是以月份为单位的时间， n O 是研究区域中的猫头鹰，n M 是鼠的

数量（单位：千）. 假定生态学家已建立了猫头鹰与鼠的自然系统模型：

⎩⎨

⎧+-=+=++n

n n n

n n M pO M M O O 2.13.04.011 (1)

其中p 是一个待定的正参数. 第一个方程中的n O 4.0表明，如果没有鼠做食物，每个月只有40%的猫头鹰可以存活，第二个方程中的n M 2.1表明，如果没有猫头鹰捕食，鼠的数量每个月会增加20%. 如果鼠充足，猫头鹰的数量将会增加n M 3.0，负项n pO -用以表示猫头鹰的捕食所导致野鼠的死亡数（事实上，平均每个月一只猫头鹰吃掉鼠约1000p 只）. 当捕食参数325.0=p 时，则两个种群都会增长. 估计这个长期增长率及猫头鹰与鼠的最终比值.

解 当325.0=p 时，(1)的系数矩阵⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=2.1325.03.04

.0A ，求得A 的全部特征值

05.1,55.021==λλ，其对应的特征向量分别是⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=136,1221p p .

初始向量22110p c p c x +=.令()⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛==13162,21p p P ，当0≥n 时，则

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--13605.11255.01316205.10055.0131622101

01

n n n n n

n c c x x P PA x

假定02>c ，则对总够大的n ，n

55.0趋于0，进而

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=≈13605.1222n n c p c x (2)

n 越大(2)式的近似程度越高，故对于充分大的n

n n n x c x 05.113605.11

21=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛≈++ (3)

(3)式的近似表明，最后n x 的每个元素（猫头鹰和鼠的数量）几乎每个月都近似地增长了0.05倍，即有5%的月增长率. 由(2)式知，n x 约为()T

13,6的倍数，所以n x 中元素的比值约为