正项级数敛散性判别

正项级数敛散性的判别

刘 兵 军

无穷级数是高等数学的重要内容，是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。正项级数在无穷级数中占据了较大的比重，其题型丰富且灵活。本文给出了正项级数敛散性的各种判别方法，通过典型例题的讲解，使学员能以尽快掌握正项级数敛散性的判断问题。

一． 常数项级数的概念

所谓无穷级数就是把无穷多个数按照一定的顺序加起来，所得的和式。

对于数列 ,,,,21n u u u ，由此数列构成的表达式

+++++n u u u u 321

叫做无穷级数，简称级数，记为∑∞

=1

n n u ，即

+++++=∑∞

=n n n

u u u u u 3211， (1)

其中第n 项n u 叫做级数(1)的一般项。

级数(1)的前n 项的和构成的数列

n n u u u s +++= 21， ,3,2,1=n

(2)

称为级数(1)的部分和数列。

根据部分和数列可得级数敛散性及和的定义。 定义 如果级数(1)的部分和数列n s 有极限，即存在常数s ，使得=∞

→n n s lim s ，则称级 数(1)收敛，极限s 称为级数(1)的和；否则称级数(1)发散。

级数收敛的必要条件 如果级数(1)收敛，则其一般项n u 趋于零。

二． 正项级数敛散性的判别

由正数和零构成的级数称为正项级数。

比较审敛法是判别正项级数敛散性的一种常用且非常有效的方法。 比较审敛法 如果正项级数∑∞=1n n v 收敛，且满足),3,2,1( =≤n v u n n ，则∑∞

=1n n u 收敛；

如果正项级数∑∞=1n n v 发散，且满足),3,2,1( =≥n v u n n ，则∑∞

=1n n u 发散；

比较审敛法只适用于正项级数敛散性的判别，而寻求合适的级数∑∞=1n n v 是解题的关键。 几何级数∑∞=-11n n aq

和p-级数∑∞

=11n p n 常用来充当比较审敛法中的级数∑∞=1n n v 。

例１ 证明级数∑∞=+122

1n n 是收敛的。 证 由于222n n >+，所以22121n n <+，而级数∑∞=121n n

为p=2 的p-级数且收敛， 故由比较审敛法，级数∑∞=+122

1n n 是收敛的。

例2 判别下列级数∑∞=+122

2n n n 的敛散性。

分析 这是一个典型的例题，通项2

22+n n 是关于n 的一个有理分式。应注意分母和分子中n 的最高幂次之差，通项为关于n 的一个有理分式的级数和相应的p-级数有相同的敛散性。本题中这一差数为１，故应和p=1的p-级数∑∞

=11n n 做比较。

解 n n n n n n n 1322222222⋅=++≥+，而级数∑∞=⋅1)132(n n 与∑∞=11n n

有相同的敛散性，即同时发散，故由比较审敛法，级数∑∞=+122

2n n n 是收敛的。

在例２中，由于级数的通项比较复杂，使得敛散性的判别过程较为复杂，为使比较审敛法的应用更为方便，给出其极限形式。

比较审敛法的极限形式 设∑∞=1n n u 和∑∞

=1n n v 为两个正项级数，如果

l v u n

n n =∞→lim (+∞<

n n u 和∑∞=1n n v 有相同的敛散性。

如果正项级数∑∞=1n n v 发散，且满足),3,2,1( =≥n v u n n ，则∑∞

=1n n u 发散；

例３ 判别级数∑∞=11sin

n n

的敛散性。 解 因为11

1sin

lim =∞→n n n ，故由比较审敛法的极限形式得知此级数收敛。

如果不用比较审敛法的极限形式，例３中的级数敛散性的判别较为困难。

例４ 用比较审敛法的极限形式判别例３中的级数∑∞

=+1222n n n 的敛散性。 解 因为21

22lim 2=+∞→n

n n

n ，故由比较审敛法得知此级数收敛。 比值审敛法 设正项级数∑∞

=1n n u 的后项与前项的比值的极限等于ρ：

ρ=+∞→n n n u u 1lim ， (3)

则当1<ρ时级数收敛；1>ρ时级数发散。

例５ 判别级数 +++⋅⋅+⋅+n n 10

!10321102110132 的敛散性。 解 因为

n n n u 10!=，故101!1010)!1(11+=⋅+=++n n n u u n n n n ，从而∞=+=∞→+∞→n n u u n n n n 1lim lim 1。 由比值审敛法可知级数发散。

由例５易知，当级数的通项含有阶乘或n 出现在指数位置时，一般可用比值审敛法判别其敛散性。

例６ 判别级数∑∞

=⋅1!2n n n n n 的敛散性。 分析 此级数的通项n n n n

n u !2⋅=中既含有n 的阶乘，又含有n 2和n n ，所以可用比值审敛法判断其敛散性。

解 因为n n n n n u !2⋅=，所以n n n n n n n n n n n n u u )11(2!

2)1()!1(2111+=⋅⋅++=+++ 从而12lim

1<=+∞→e u u n n n ，由比值审敛法可知，此级数收敛。 当(3)中ρ等于１时，用比值审敛法不能判别级数的敛散性。可用其它方法判别其敛散

性。

根值审敛法 设正项级数∑∞=1n n u 的通项n u 的n 次方根的极限等于ρ：

ρ=∞→n n n u lim ， (4)

则当1<ρ时级数收敛；1>ρ时级数发散。

例８ 证明级数 +++++n n 13121132收敛。 分析 当级数的通项中含有n n 或类似的表达式时，通常采用根值审敛法判别级数的敛散性。

证 因为011→==n n

u n n n n (∞→n ) 故由根值审敛法得知所给级数收敛。