线性规划方法的应用——以护士值班为例

研究生课程论文
（2015—2016
学年 第 一 学期）
课程名称 最优化理论与方法 课程类型 专业基础课
授课教师： 高海燕
学 时： 17 学 分： 3
论 文 得 分 批阅人签字
批阅意见：
线性规划方法应用于护士排班
线性规划方法的应用——以护士值班为例 姓 名： 王 瑞 学 号： 2015000003074
年 级： 一年级 专 业： 数量经济学
学 院： 统计学院
论文题目：
摘要 :线性规划作为一种优化工具，已被广泛的运用于医疗、军事、工业、经济、农业等部门，是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。

它广泛应用现有的科学技术和数学方法，解决实际中的问题，帮助决策人员选择最优方针和决策。

本篇文章在医院护理人力明显不足的情况下，以护士值班问题做了模型研究，针对任意时刻以满足公众对医疗护理的要求及医院对资源限制的考虑为目标，建立线性规划模型并求解。

结果表明:23 ∶30，3 ∶30，7∶30 ，11∶30，15 ∶30，19 ∶30 这6 个时间点上班人数分别为:4、0、15、0、13、3，计算结果与实际情况基本吻合。

关键字：线性规划；护士值班；最优方案 一、引言
线性规划是运筹学的一个重要分支，它辅助人们进行科学管理，是国际应用数学、经济、管理、计算机科学界所关注的重要研究领域。

线性规划主要研究有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的资源进行最佳地调配和最有利地使用，以便于最充分发挥资源的效能来获取最佳的经济效益。

线性规划运用数学语言描述某些经济活动的过程，形成数学模型，以一定的算法对模型进行计算，为制定最优计划方案提供依据，其解决问题的关键是建立符合实际情况的数学模型，即线性规划模型。

在各种经济活动中，常采用线性规划模型进行科学、定量分析安排生产组织与计划，实现人力物力资源的最优配置，获得最佳的经济效益。

目前，线性规划模型被广泛应用于经济管理、交通运输、医疗护理、工农业生产等领域。

二、线性规划的一般模型
线性规划问题是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，这类问题的数学表达式称为线性规划模型。

线性规划模型的一般形式包括决策变量、约束条件和目标函数三部分。

决策变量都是非负的，其值代表待解决问题的一个具体方案，形式如下：
0.......,,,321≥a a a a m
约束条件都是线性等式或者线性不等式，它们反映了待解决问题对资源的客观限制及对所要完成的任务的各类要求，形式如下：
b x a x a x a n n 11212111)(......≤≥+++ b x a x a x a n n 22222121)(......≤≥+++ ..........
b x a x a x a m n mn m m )(......2211≤≥+++
其中，a i 为第i 个约束条件中对应第j 个变量的约束条件系数，b i 是第i 个约束条件的右边常数，它表示必须满足的某种要求。

目标函数是决策变量的线性函数，根据待解决问题的不同，可要求目标函数Z 实现最大值或最小值，形式如下：
x c x c x c n n Z +++=......max(min)2211 其中，c c c n ,......,,21是目标函数系数。

三、应用线性规划进行实例研究 （一）、提出问题
根据资料显示，会宁县康复中心医院现存的护理人员明显的不足，医院采取了积极措施，鼓励各科室护士长根据各科室情况和专业特点，在护士排班上进行改革与尝试，使有限的护士得到合理分配，并提出护士24 小时值班制，要求对大、小夜班、危重患者的处理负责，并做到随叫随到，同时加强了大、小夜班护理工作，使夜间的护理质量得到保障。

从空间层次看，医院效益要根据外部需求和内部设备、人力、资源等条件来决定，以最大利润为目标制定人力资源安排。

在此，我们将问题锁定在医院护士值班表的安排上，根据实地考察，会宁县康复中心医院一天分为四个时间段，上夜(19 ∶00～ 02 ∶00)，下夜(02 ∶00～ 08 ∶00)，正班(08 ∶00～ 12 ∶00)，(15∶00 ～ 19∶00)，中班(12 ∶00～ 15 ∶00)，人数安排分别为：3, 3, 9 , 6, 这种安排存在大量的弊端。

所以讨论以下问题:某医院的某一个病区需要24 小时有护士值班，每个护士每周工作五天，每天连续上班8 小时, 时间段划分为六个时间段：(23∶30 ～ 3 ∶30),(3 ∶30 ～ 7∶30),(7 ∶30～ 11 ∶30),(11 ∶30 ～ 15 ∶30), (15 ∶30 ～ 19 ∶30),(19 ∶30～ 23∶30), 每个时间段都必须有护士值班，各时段所需护士人数至少为:4 、11、15、13、16、4。

（二）、模型分析
由于医院护士值班问题的对象是人，并且最后的结果锁定在“ 最少人数最小费用”， 以及在应用中要为职能管理人员提供科学决策的依据, 通过分析发现此问题属于优化类问题, 而且涉及到管理运筹学 , 所以结合多方面的知识主要利用线性规划的方法建立模型。

（三）、模型的建立
因为医院每位护士一天中连续工作8 小时, 由题所示总共有6 个时间段, 6 个上下班时刻, 为了保证题目中每时间段所需的护士人数固定, 并且一个星期当中每个护士在休息两天的基础上循环值班, 以及达到了每时段所需的人数, 根据题意建立以下模型:
设23 ∶30 , 3 ∶30, 7 ∶30 , 11 ∶30 , 15 ∶30 , 19 ∶30 这6
个时刻上班人数分别为：x x x x x x 654321,,,,,，且为整数，Z 为每天所需的最少护士人数。

目标函数： ∑==6
1min i i x Z ( 6,......,1=i )
约束条件为：6,......,
2,1,04
161315
11,
46
16
5
5
4
4
3
3
2
2
1
=≥≥+≥+≥+≥+≥+≥+i x x x x x x x x x x x x x i
令每周至少提供X 人，每人每周工作5 天，每天工作8 小时，所以总共提供的工作时(工作的时间)：x ×5×8 小时, 又因为一天需要35 人，每人工作8 小时，所以总共需要35 ×8 =280个工作时(工作的时间)，所以x=49 人。

模型应用：根据结果可以列出护士上班时间表1:
表1 护士上班人数
表2 护士每周上班情况
注：空格表示当天休息，时间为护士当天上班时间点
结果分析:从结果中可看出，6 时间点上班人数分别为:4 , 0 , 15, 0, 13 , 3 。

其中0 表示在该时刻无人上班。

根据实际情况，在7 ∶30 ～ 11 ∶30 , 15∶30～ 19 ∶30，19 ∶30 ～ 23∶30这三个时间段正是病发高峰期，这与计算结果基本吻合，具体的值班表由决策者根据实际情况定。

（四）、模型的推广
此模型不仅广泛应用于医疗机构, 还可应用于其他机构人力资源分配方面, 比如:公司保安值班、学校保安值班、商场职工值班等。

此模型是把一天划分为6 个时间段, 为了实用也可划分为任意时间段, 可根据安排者的需要来自行决定。

例如:假设一天分为N 个时间段, 每个时间段长为K 小时, 每个时间段所需要的值班人数为),......,2,1(N i x i =个，每个值班人员一天连续工作M 小时, 就可以得出一天需要的值班人数Y 为：Y x K *8*=；
然后可根据得到的人数Y 安排具体的值班表假设N=8, M=9 时, 则K=3 小时, 上班时刻分别为：00∶00 ,3∶00, 6∶00, 9∶00, 12 ∶00, 15∶00, 18 ∶00, 21 ∶00, 每个时间段所需要的人数为:2、1、5、6、4、6、4、1, 每个时刻所需要的值班人数分别为：2、1、5、6、4、6、4、1，每个时刻所需要的值班人数分别为：x x x x x x x x 876,54321,,,,,,。

约束条件为：8,......,
2,1,01
4646
5128
18
7
766
5
5
4
4
3
3
2
2
1
=≥≥+≥+≥+≥+≥+≥+≥+≥+i x x x x x x x x x x x x x x x x x i
根据这个结果可以得到一周需要的人数为21人。

建立推广后护士每日上班情况表，如图所示（表3）。

表3 推广后护士每日上班情况
当然这只是假设，情况是理想的，也是比较好算的，具体的情况还需要由决策者自己来决定，在此，只举一个例子来说明这个方法的可行性。

当N 、 M 、K 取不同的值时，可得到不同的结果。

线性规划模型能够准确直观的反映医院护士的具体值班安排，通过对所建立模型进行求解，可以获得最优的值班安排方案，满足医院的运行能力和公众对医疗护理的要求。

线性规划模型通过科学、定量地分析各种因素，可以制定出经济效益最优的值班计划，实现医院人力资源的优化配置。

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