柯西不等式的应用 篇

柯西不等式的证明及相关应用

摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。 关键词：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（Cauchy ）不等式：

等号当且仅当021====n a a a Λ或i i ka b =时成立（k 为常数，n i Λ2,1=） 现将它的证明介绍如下： 方法1 证明：构造二次函数

=()()()

2

222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++ΛΛΛ

由构造知 ()0≥x f 恒成立

又22120n

n a a a +++≥Q L

即()()()

2

2221222212

2211n

n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当且仅当()n i b x a i i Λ2,10==+ 即12

12n n

a a a

b b b ===L 时等号成立 方法2 证明:数学归纳法

（1） 当1n =时 左式=()211a b 右式=()2

11a b 显然 左式=右式 当2=n 时 右式 (

)()()()2

2

22

22222212

1211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++

()()()2

22

1122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式 故1,2n =时 不等式成立

（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立

即 ()()()

22

221222212

2211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ

当 i i ma b =，m 为常数，k i Λ2,1= 或120k a a a ====L 时等号成立

设A=22221k a a a +++Λ B=2

2221k b b b +++Λ 1122k k C a b a b a b =+++L

则()()

2

12121212121+++++++++=++k k k k k k b a Ba Ab AB b B a A

当 i i ma b =，m 为常数，12,1+=k i Λ 或121+===k a a a Λ时等号成立 即 1n k =+时不等式成立 综合（1）（2）可知不等式成立

二、柯西不等式的简单应用

柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，常通过适当配凑，直接套用柯西不等式解题，常见的有两大类型：

1、证明相关数学命题

（1）证明不等式

例1 已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明 222

3

3

3

3

a b c a b c ++++≥

证明：利用柯西不等式

又因为 2

2

2

a b c ab bc ca ++≥++ 在此不等式两边同乘以2，再加上2

2

2

a b c ++得：

()

()2

222222c b a 222c b a c b a 3++=+++++≥++ac bc ab

故222

3

3

3

3

a b c a b c ++++≥

（2）三角形的相关问题

例2 设p 是ABC V 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC V 外接圆的半径，

≤

证明：由柯西不等式得：

记S 为ABC V 的面积，则

故不等式成立。

2、求解有关数学问题 常用于求最值

例3 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 2

2

2

2

2365a b c d +++=试求a 的最值

解：由柯西不等式得，有

即由条件可得， ()2

2

53a a -≥-

解得，12a ≤≤

== 时等号成立， 代入11

1,,36b c d ===时， max 2a = 21

1,,33b c d ===时 min 1a =

例4 空间中一向量a ϖ

与x 轴，y 轴，z 轴正向之夹角依次为?，?，?（?，?，? 均非象限角），

求

γ

βα222sin 9

sin 4sin 1++的最小值。

解 : 由柯西不等式得： )sin sin ](sin )sin 3()sin 2()sin 1[(

2222

22γβαγβα++++ ≥ 2)sin sin 3

sin sin 2sin sin 1(

γγ

ββαα⋅+⋅+⋅ 22222

22)321()sin sin )](sin sin 9

()sin 4()sin 1(

++≥++++⇒γβαγ

βα ∵ sin 2

?? sin 2

? ? sin 2

? ? 2 ∴ 236)sin 9sin 4sin 1(

222≥++γβα 18)sin 9

sin 4sin 1(2

22≥++⇒γ

βα ∴

γ

βα222sin 9

sin 4sin 1++的最小值为18

三、巧用柯西不等式的变形解题

很多高考数学问题的解决，如果仅从基础知识、基本公式的正面人手，就很难取得知识性的突破，而如果对基础知识、基本公式稍作变形，就会大大降低问题的难度，达到化难为易、化繁为简、化陌生为熟悉的目的．而学习柯西不等式，仅了解柯西不等式的基本公式还是不够的，学生还必须掌握下面这个柯西不等式的变形公式，此公式也是权方和不等式的一种特殊情况，这样我们就可以在解题过程中更快更准地解决问题．

柯西不等式的变形公式： 约定n i R b i Λ2,1,=∈+

有 ()n

n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≥+++ΛΛΛ212

2

1222

2

121 当且仅当n n b a b a b a ===Λ2211等号成立 分析：由柯西不等式可得 ()()22121222

2121n n n n a a a b b b b a b a b a +++≥+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ΛΛΛ 例1 设1,,,,2121=+++∈+

n n x x x R x x x ΛΛ且，

证明2

112121

322

22121≥++++++++--x x x x x x x x x x x x n n n n n Λ

证明：由变形公式得：1

2121

322

22121x x x x x x x x x x x x n n n n n ++

++++++--Λ 例2 (2007年广州市一模理科) 已知a ，b>0，且a+b=1，求1／2a+1／b 的最小值

解析：Θa ，b>0，且a+b=1，由柯西不等知:(

)

(

)

22

3

12/212/21

212

2

2

+=++≥+=

+b a b

a b

a

当且仅当

b a 12/2=即22,12-=-=b a 时等号成立 22

3121min +=⎪⎭⎫

⎝⎛+∴b a 练习 设且各不相同*

∈N a a a n ,,,21Λ，证明n

n a a a a n 1

31211322

23221++++≥++++

ΛΛ