空间向量基本定理
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证明 : 如图, 过空间任一点作OA a, OB b, OC c, OP p, 过点P作直线 PP' // OC ,交平面OAB于点P' , 连结OP ' , 过P' 作P' A' // OB , P' B' // OA, 分别与直线OA, OB交于点A' , B' , 过P作PC '交OC 于点C ' A'
注：对于基底{a，b，c},，除了应知道a，b，→ c 不共面，还应明确： （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一 个基底。 （2） 由于 0 与任意一个非零向量共线，与任 意两个非零向量共面，所以三个向量不共 面，就隐含着它们都不是0 。
→ → →
→ →
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量
当堂检测
1.如果向量 a, b与任何向量都不能构成 空间的一个基底，那么 a, b 间应有什么关系？
答：共线.
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2.
解: MN ON OM ,
1 1 而ON (OB OC ) (a b), 2 2 1 1 OM OA a, 2 2 1 1 1 MN b c a. 2 2 2
温馨提示：
017号导学案；红蓝黑三色笔；典型例题 本
你准备好了吗？
勇敢展示、大胆质疑
一个明智的人总是抓住机遇， 把它变成美好的未来。
同学们：加油！！！
一.复习回顾
1.平面向量基本定理
设a, b是同一平面内两个不共 线的向量, 那么对于这 一平面内的任一向量p, 有且只有一对实数 x, y, 使得 p xa yb.
O M
A
B
C N
3.
O'
A' B'
C'
O
解 OB ' OB BB ' OB OA AB OA OC a b, BB ' OO ' c, OB ' a b c.
BA' BA BB ', BA OC , BB ' OO ', BA' OO ' OC c b.
A
O
B
C
小结
五.课堂小结
1.空间向量基本定理
2.空间向量基本定理的推论
合作探究4以及思考；
（1）、结对子，“兵教兵”；和谐互助，共同进步。 （2）、集体讨论，解决疑难，整合智慧；做好勾画总 结本组好的解题方法和思路，为质疑做好准备。
让生命在自由的空气中快乐地成长！ 让生命在积极的探索中得到提升！
展示、点评安排及要求
展示问题或 题目
展示
点评
合作探究1 合作探究2
G6B1 G9C2
C
A
B
CA' CA AA', CA OA OC a b, AA' OO ' c, CA' a b c.
O'
C'
B'
G
(2)OG(G是侧面 BB' C' C的中心 ). A'
解 : OG OC CG 1 OC CB' 2 1 b ( a c ). 2
O
C
C'
P
B
A
B'
可以证明结论成立.
P'
2.基底
由上述定理可知 , 对三个不共面的向量 a, b, c, 空间所有向量组成集合 p | p xa yb z c, x, y, z R
我们把 a, b, c 叫做空间向量的一个基 底, a, b, c 都叫做基向量 .
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间 的一个基底。
a, b叫做平面的所有向量的 基底. 2.基底 不共线的向量
p a b b
a
p
目标解读
知识与技能：说出空间向量基本定理，会在简单
问题中选用空间中得三个不共面的向量作为基底表示 其他向量；
过程与方法：类比平面向量基本定理，归纳出空间
向量基本定理，并会进行简单应用；
情感态度价值观：寻找知识的规律性，进一步提
升直观分析能力和空间想象能力。
导学案中存在的问题：
态度方面：个别卷面不整洁； 知识理解方面：
1、对于数学问题的解答步骤不完整；
2、用已知基底表示任意向量不灵活。
二.探索新知
1.空间向量基本定理：
如果三个向量a, b, c不共面, 那么对空间任一个向量p, 存在一个唯一的有序实 数组x, y, z, 使 p x a yb z c.
是指基底中的某一个向量，二者是相关 连的不同概念。
3.空间向量基本定理的推论：
设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数x、y、z使
OP x OA y OB z OC
讨论交流（乐于分享 善于沟通）
1、讨论目标： 了解平均值不等式，体会平均值不等式的作用； 2、讨论方法： 分组讨论。 3、讨论的重点： 4、讨论要求：
G5B1 G7A2
合作探究3
G3B2
G1B1
小试牛刀2
G2C1
G8A1
达 成 目 目标及要求 标 ︐ 1．目标：通过你 我 的展示/点评同学 成 们思路更加清晰。 功 2．要求：①展示 ︔ /点评人上台迅速， 超 越 点评语言规范， 目 书写步骤清晰简 洁。②非展示/点 标 ︐ 评人讨论完毕， 我 总结整理完善， 优 并迅速浏览展示 秀 内容，补充、质 。 疑。
注：对于基底{a，b，c},，除了应知道a，b，→ c 不共面，还应明确： （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一 个基底。 （2） 由于 0 与任意一个非零向量共线，与任 意两个非零向量共面，所以三个向量不共 面，就隐含着它们都不是0 。
→ → →
→ →
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量
当堂检测
1.如果向量 a, b与任何向量都不能构成 空间的一个基底，那么 a, b 间应有什么关系？
答：共线.
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2.
解: MN ON OM ,
1 1 而ON (OB OC ) (a b), 2 2 1 1 OM OA a, 2 2 1 1 1 MN b c a. 2 2 2
温馨提示：
017号导学案；红蓝黑三色笔；典型例题 本
你准备好了吗？
勇敢展示、大胆质疑
一个明智的人总是抓住机遇， 把它变成美好的未来。
同学们：加油！！！
一.复习回顾
1.平面向量基本定理
设a, b是同一平面内两个不共 线的向量, 那么对于这 一平面内的任一向量p, 有且只有一对实数 x, y, 使得 p xa yb.
O M
A
B
C N
3.
O'
A' B'
C'
O
解 OB ' OB BB ' OB OA AB OA OC a b, BB ' OO ' c, OB ' a b c.
BA' BA BB ', BA OC , BB ' OO ', BA' OO ' OC c b.
A
O
B
C
小结
五.课堂小结
1.空间向量基本定理
2.空间向量基本定理的推论
合作探究4以及思考；
（1）、结对子，“兵教兵”；和谐互助，共同进步。 （2）、集体讨论，解决疑难，整合智慧；做好勾画总 结本组好的解题方法和思路，为质疑做好准备。
让生命在自由的空气中快乐地成长！ 让生命在积极的探索中得到提升！
展示、点评安排及要求
展示问题或 题目
展示
点评
合作探究1 合作探究2
G6B1 G9C2
C
A
B
CA' CA AA', CA OA OC a b, AA' OO ' c, CA' a b c.
O'
C'
B'
G
(2)OG(G是侧面 BB' C' C的中心 ). A'
解 : OG OC CG 1 OC CB' 2 1 b ( a c ). 2
O
C
C'
P
B
A
B'
可以证明结论成立.
P'
2.基底
由上述定理可知 , 对三个不共面的向量 a, b, c, 空间所有向量组成集合 p | p xa yb z c, x, y, z R
我们把 a, b, c 叫做空间向量的一个基 底, a, b, c 都叫做基向量 .
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间 的一个基底。
a, b叫做平面的所有向量的 基底. 2.基底 不共线的向量
p a b b
a
p
目标解读
知识与技能：说出空间向量基本定理，会在简单
问题中选用空间中得三个不共面的向量作为基底表示 其他向量；
过程与方法：类比平面向量基本定理，归纳出空间
向量基本定理，并会进行简单应用；
情感态度价值观：寻找知识的规律性，进一步提
升直观分析能力和空间想象能力。
导学案中存在的问题：
态度方面：个别卷面不整洁； 知识理解方面：
1、对于数学问题的解答步骤不完整；
2、用已知基底表示任意向量不灵活。
二.探索新知
1.空间向量基本定理：
如果三个向量a, b, c不共面, 那么对空间任一个向量p, 存在一个唯一的有序实 数组x, y, z, 使 p x a yb z c.
是指基底中的某一个向量，二者是相关 连的不同概念。
3.空间向量基本定理的推论：
设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数x、y、z使
OP x OA y OB z OC
讨论交流（乐于分享 善于沟通）
1、讨论目标： 了解平均值不等式，体会平均值不等式的作用； 2、讨论方法： 分组讨论。 3、讨论的重点： 4、讨论要求：
G5B1 G7A2
合作探究3
G3B2
G1B1
小试牛刀2
G2C1
G8A1
达 成 目 目标及要求 标 ︐ 1．目标：通过你 我 的展示/点评同学 成 们思路更加清晰。 功 2．要求：①展示 ︔ /点评人上台迅速， 超 越 点评语言规范， 目 书写步骤清晰简 洁。②非展示/点 标 ︐ 评人讨论完毕， 我 总结整理完善， 优 并迅速浏览展示 秀 内容，补充、质 。 疑。