任意角的尺规等分

任意角的尺规等分

湖南娄底华达技校黄正洪

从平面几何常识中，我们知道任何一段弧都是某个已知圆周的一部分，言下之意即为，每段弧都有相应的圆心角，且由此而知弧的任意等分即为相应圆心角的任意等分，而圆心角的任意等分即为任意角的任意等分。遗憾的是好几个世纪以来，关于角的等分情结，把个本就不怎么平静的数学港湾闹腾得沸沸扬扬，但尺规作图的业绩却仍然局限在无法将任意角进行3等分、5等分、7等分、9等分……面对解不开的迷团，叫人伤感不已，但天下不心服之士，一代接一代，弄得头昏脑胀于其间，累得疾病缠身于其后，辛然失落，不堪回首。有意思的是当我驻足于山重水复的大自然间，面对蓝的天，绿的地，灵感突然涌动，我想到，若把尺规作图的作业放入三维的空间，在多一个维度的配合下，多一份思绪的搓揉，也许比在二维的平面上更容易收获心中之苦果。巧的是我从遐想里真的觅到了“藏宝”，因感觉其表述还算清晰，如图之示的内容就留给有缘诸君。

（一）、由于/2

∂……都是∂的2n等分角、这

∂、/16

∂、/4

∂、/8

些角是我们能用尺规作图的方法画得出来的，而在∂的2n等分角之间还存在诸如/3

∂、/7

∂……这些角是我们目前还不能用尺规∂、/6

∂、/5

作图的方法画出来的。为解决此问题，本文把以隐形的1为分子，以连续的自然数为分母的∂的分数系数都简称为∂的真分数系数。

（二）、在某平面上选取适当长的AB为底，分别以/2

∂

∂、/8

∂、/4

为顶角，作各自独立的等腰三角形OAB、CAB、DAB。由于这组三角

形松散地处在平面上，既无规律，又无联系，人们实在不知如何对其进行利用，这就是本文考虑将其放入空间直角坐标系的原因。

（三）、设顶角为/2

∂、底边长为AB的等腰三角形OAB的顶点O与坐标系的原点O重合，腰OA与OY轴重合，底边AB落在水平象限。定义此一特定位置的三角形为本文的基础三角形。定义过O且垂直于水平象限的OZ轴叫立轴。定义OX轴叫水平轴。如此操作之后，我们研究的对象便在空间直角坐标系中有了一个特殊的家。

（四）、现在我们要将顶角为C，C为/4

∂的等腰三角形CAB移进空间特殊的家，移进的方法是：以基础三角形OAB的底AB不动作为三角形CAB的底边，以A为圆心，以独立的等腰三角形CAB的腰为半径，画弧交立轴于C，连接CA、CB（由于在立体几何中对 CA = CB的证明很是容易，故我们在此惜墨且加以认定），如此操作之后，顶角为/4

∂的等腰三角形CAB就移进了空间特殊的家，其顶角点C则同基础三角形的顶角点O的情形一样在立轴上进入攀升排队。

（五）、与以上（四）的操作过程完全相同。现在我们要将顶角为/8

∂的等腰三角形DAB也移进空间特殊的家，此说即为，以上三个等腰三角形在水平象限都同底为AB，而其顶角点D则同顶角点O和C 的情形一样在立轴上进入攀升排队。

由于底边相等的等腰三角形，顶角越小的其高越长，于是我们看到O、C、D在立轴上的位置一点比一点高。面对立轴上排队顶点之攀升，我们的心中产生了一种特别的数学想象，此想象即为，我们要把D到O之间的距离看成一个特殊弹簧，并将之向下压缩，且要压缩

到与C到O之间的距离一样长为止。在该过程中我们要理解：所有排序的顶角点都是在随势而下压，而所有下压的顶角点对应的等腰三角形的腰也是在随势而缩短，且要缩短到符合于新位置的等腰三角形的自然腰长为止。在此一数学想象的操控下，对应于D的/8

∂顶角点已按要求被压缩而增大到了对应于C的/4

∂的顶角点的位置上。由于C 在下压其间顶角点也是在随之而增大的，那么我们要问，对应于C的∂的真分数系数此时变为了多大呢？以下是本文的求作过程。

（六）、欲求顶角点C在下压后对应的∂的真分数系数变为了多大，就必须求出C在压缩而成的影像段中的具体位置。为此我们要在水平轴上找一点E，使O E O C

=，此找点使得本来在立轴上的OD在压缩之后的影像成为了水平轴上的一段距离，由前面的操作知这段距离的端点E相当于立轴上/4

∂顶角点。因O是基础三角形的顶角点，知其对应于/2

∂，由于在/2

∂之间还存真分数系数顶点/3

∂，那么

∂到/4

∂表示的是什么意思？对此我们的数理共识是：既然影像段的段段/3

及点点都是由压缩而来，说明它们与立轴上两个攀升段的段段及点点就一定保持着一一对应的关系，由于OC和CD的分界点是真分数系数点/4

∂，进而知压缩后的对应点无疑是一个随压缩而增大了的真分数系数点，由于影像段之中只存在唯一的真分数系数点/3

∂，于是由对应关系知/3

∂就是这个影像段的分界点。为便于叙述，设此分界点为F，且拟定如下用语：立轴上的OD是压缩前的全长、OC是压缩前的局部，水平轴上的OE是影像段的全长、OF是影像段中的对应于OC的局部。根据影像缩放理念知：压缩前的局部/ 压缩前的全长= 影像

段中的对应局部/ 影像段的全长。于是可得比例式：

OC OD OF OE（1）:= :

影像的缩放功能其实就是几何学中的比例，本文的这种想象压缩正是基于此一数学理念而设计，但在此一设计中存在着F点位置不明的缺点，显然此缺点是本文的心病。所幸的是由于空间相交两轴已夹出了一个角形平面，这平面促使我们想到要去构造出一个辅助三角形，于是以攀升段和影像段为边的空间三角形ODE飘然而出。有此辅助三角形凌空傲世，本文就有充分的条件来完成余下的作图过程：（七）、在三角形ODE中，过OD边上的C点作DE的平行线交OE 于G，即有CG DE

// ，于是由平行线分线段成比例定理可得下式：:= :

OC OD OG OE（2）将（1）代入（2）于是可得：

OG OE OF OE（3）:= :

由（3）可解得：

OG OF（4）=

由（4）而知G与F重合，此言下之意即为，由平行线的画作而确定的G即为顶角点/3

∂。此位置一旦明了，我们的心中马上想到G对应于立轴的情形。由于整个求作过程处在同一空间坐标系中，于是知这情形可由两种方案释疑：1》、以O为圆心，以OG为半径画弧，设其交立轴的OC于H，则知H即为对应于G的/3

∂顶角点，这其实就是将水平轴按反时钟方向旋转0

90而使G和H重合的情形，此说的另一层意思即为，H就是顶角为/3

∂的等腰三角形的攀升顶角点。2》、如