旋转体体积一般积分公式的坐标变换法推导

旋转体体积一般积分公式的坐标变换法推导
【摘要】根据已有的已知截面面积的几何体体积积分公式，通过坐标变换，推导沿倾斜轴旋转的旋转体体积的一般积分公式，继而推导作为其特殊形式的平面曲线绕坐标轴旋转所得旋转体体积的
积分公式，列举公式的应用.
【关键词】坐标变换；旋转体体积；一般积分公式
一般高等数学、数学分析教材中，只给由平面曲线绕坐标轴旋转所得旋转体体积的积分公式，但是，根据几何体体积的积分公式可以推证，平面曲线y=f(x)上介于m,n两点间的曲线段绕同平面直线l：ax+by+c=0旋转所得旋转体体积的一般积分公式为：
v=π[](a2+b2)3[]2b a ax+bf(x)+c］
2|af′(x)-b|dx.(a)
其中a,b分别为m,n两点所对应的x值.
依此公式，不仅可简化曲线段绕一般直线旋转所得旋转体体积的计算，同时，坐标轴作为坐标平面直线l的特殊形式，由平面曲线绕坐标轴旋转所得旋转体体积的积分公式，自然也可作为公式(a)的特殊形式而得到.公式(a)的推导有多种方法，通过坐标变换推
导，不失为其中方法之一.
一、公式的坐标变换法推导
在直线l：ax+by+c=0的任意一条垂线与曲线y=f(x)
一个交点的假定条件下，若b≠0，直线l与y轴的交点为0,-c[]b，
设直线l在坐标系xoy上的倾斜角为θ，则tanθ=-a[]b，且
作为更一般的例子，由y=f(x)，x=a，x=b及y=0所围成区域绕y
轴旋转所得旋转体体积公式，也可由(c)推出.
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