三阶非线性差分方程的振动性和非振动性准则

第 ２期
陈文 强 ， ： 等 三阶 非线性 差分 方程 的振 动性 和非振 动性 准 则
令 （ ． ） 中 ｎ：Ｚ ， ２２ 式 ＋１ 重复 上述 过程 可得 ｇ Ａ Ｙ ） （ 。ｆ ） （ 。… ｇ ＡＹ＋ ＞０， ２ 因此 ｇ △ Ｙ ） ．由归纳法 可 知 ， （ 。 ＜０ 对 于所有 ｋ∈ ， ｇ ＡＹ ） ． 有 （ 。 ＜０ 由引理 ２２知 ｛ （ ｝ ． ｇ Ｙ ） 最终 定号 ，即 ｛ 最终 定号 ， 与假 设矛 盾 ． Ｙ｝ 这 综 上所述 ， 程 （ ． ） 方 １１ 的所 有解 都是 非振 动解 ， 理得 证 ． 定 注 当 ｇ ｕ ， （ ）＝ 时 ， 定理 ２ ６即为文献 ［ ］中 的定理 ３ ２ 进一 步 当 ｂ＝口时 ， 理 ２６ （ ）＝ ｈｖ 则 ． ２ ．， 定 ． 就 是文 献 ［ ］中的定 理 ２ ３ １ ．．
＝ａ （ 。 ［（ 一１Ｙ一， ６ ， ６ １ ｇ △ Ｙ）＋ 厂 ， １ △Ｙ一 △ 一）＋ １ ２
印 ｇ △ ｙ ）一ｑ－ｈ ｙ ） ． （ ． （ ］ １
特别地 ，
（． ） ２ ２
ｇ ＡＹ ｇａ １ （ ￣ ）（ ＋ １ ）：ａ Ａｙ ＋ ｇ（ ｏ ） ￣
基金项 目： 国家 自然科学基金资助课题 （ １７ １８ ． １ １ １７ ）
Ｍ ＞０ ｎ∈ （ ） 厂０ ） ， ， （ ）＝０ ．
作者简介 ： 孟凡伟 ， ， ６ 一博士 ， 男 １ ３， ９ 教授 ， 博士生导师 ； 研究方向 ： 分方程及应用 ． — ａ ： ｍ ｎ ＠ｍ ｉ ｑ ｕ ｅｕ ｃ 微 Ｅｍ ｉ ｆ ｅｇ ａ ．ｆ ．ｄ ．ｎ ｌｗ ｌ ｎ
（． ） １２ （．） １３
△ （ ２ ｇＡｙ ， ，。 Ａｙ） 。ｐＡ。 ）＋ ］ Ｙ ＝ Ｙ ＡＹ，］ ．
关于方程（ ． ） １２ 和方程（ ． ） １３ 振动性和非振 动性 的研究可见文献 ［ ， ］ １ ２ ．其 中 ２０ ０７年 ，ａ ｉ Ｐｎａ Ｐｒ 和 ａｄ ｈ 给出了方程（ ． ） １３ 所有解的振动 陛和非振动陛． ０ ９ ， ２０ 年 张樱 凡在文献 ［ ］ ２ 中推广和改进 了文献 ［ ］ １ 中的相 应 结果 ．
摘要 ： 给出一类三阶非线性差分方程的所有解都是振动解或非振动解的充分条件， 方程为
△ （ （ ２ ）＋ｇ， ａ ｙ ）＝， ｎ ｙ ， ｂ ， ２ ， ｐｇ ａ ｙ ） ｏ （ ２ ｌ ｏ （ ， Ａｙ Ａ ｙ ） ｂ 其中 △ 为广 义差分算子 ：△ ＝Ｙ 一ｘ ：。 ｂｏ≠ ０ ｂ∈ ．所得结论推 广了已有 文献 的结果 ｙ ｙ， ，， ，
第３ ８卷
第 ２期
曲 阜
师
范 大
学
Ｖｏ ． ８ Ｎｏ ２ １３ ．
Ａｐ ． ２ ２ ｒ ０１
２１ ０ ２年 ４ 月
Ｊｕ ａ ｏ Ｑ ｆ Ｎ ｒ ａ ｏ ｒｌ ｎ ｆ ｕｕ ｏｍ ｌ
三阶非线性差分方程 的振动性和非振动性准则
陈文强 ， 孟凡伟
（ 曲阜师范大学数学科 学学院 ， ３６ ， ２ １５ 山东省 曲阜市 ） ７
引理 ２３ ．… 当 ｂ＞０时 ， 实数 列 ｛ （ ） Ｙ ｝ ｎ∈ 为振 动 的充要条 件是 对所 有整数 ｆ ≥０， ｛ 是 振 有 △ｙ｝
动的 ， 其中 ／ｙ 一 ｙ． ， ｏ 引理 ２４２ 当 ０＞０ ｂ∈ 时， ．［ ， 对于实数列 ｛ （， ） 有 ） ｝／ ∈ ， ／ ，
本 文 总假设 ：
（ ）ｇ： 一 连续 函数 ， 格 上升 ， ｇｇ ） ＝ ｓｎ ｇ ） ＝嗯 ， （ ＋Ｙ ＝ｇ ）＋ｇ Ｙ ， 口 严 ｓｎ （ ｇｕ，（ ｇ ） （ （ ）
（ ） ： 一 连续且单调不减 ， ｂ ｈ ｕ≠０时 ，
十 收稿 日 ： １ － — 期 ２ １ ２１ ０ １ ２
定理 ２７ 若 函数，满足如下条件 ．
— 一
［（ ， ， ，／ ， ｎ ｕ ＂ １ ３ ）＋ａ （ ）一ｑ （ ］≤ ０ ｐｇ Ｚ ｎ Ｚ） ，
（． ） １ １
的解 的振动性和非振动性问题 ， 其中， ， 为 自然数集 ， 、０ ， 为实数集 ，Ｐ ｝ ｛ ｎ∈ 口∈ ｛｝ ｛ 和 ｇ ｝为实
数列 ， Ｐ 且 ≠ ０ ｎ∈ ）并 且， × 。 ． 义差 分算 子 △ 定 义为 ＡＹ （ ， ： 一 广 ＝Ｙ 一ｘ 当 ＝１时 ，记 川 ｙ． △ ＝△ 为一 个前 跳算 子． 我们 定义 当 ｋ≥ ２时 ， ， ， ＝△ （ ～ ． Ｙ） 方程 （ ． ） １１ 的非平 凡解 是指 这样一 个 实序列 ｛ ： Ｙ ｝ 它满 足方 程 （ ． ） 且 任给 ｍ ∈ （。 ， １１ ， ｎ） 有
（． ） １ １ 可写 成
△ （．ｇ △ｙ一 ）＋ｑ １（ ）＝ ｎ一１Ｙ一， ， ： ） 。Ｐ－ （ ） １ １ ．ｈ △ｙ一 － ， △ｙ一 △ｙ一 ， 。
即 ｐ ｇ △ ） ）一叩 。 （ （ ， 一 △ ｙ一）＋ｑ － △ ｙ一）＝， ｎ一１ ｙ一， ６ ， ） ｇ ． （ ２ Ｉ 。 （ ， Ａ ｙ一，△ ｙ一 ，
当 ｇ ｕ ， （） ＝ 时 ， 程 （． ）变为三 阶非 线性 差分方 程 （ ）＝ ｈ 方 １１
△ （ｎ］ 。ＰＡｙ）＋ｇＡｙ 凡Ｙ，６ ，２ ， ］ ： ， ＡＹ △ｙ） ６
而 当 口 ＝ｂ时 ， 程 （ ． ） 一步 可变 为三 阶非线性 差 分方程 方 １２ 进
＿ 一 （ 二
Ｐｎ １ ＋
［ ｕ ， ｎ ， ）＋叩 （ （ ］≥ ０ ｇ ｚ）一ｑ ｚ） ，
，
（． ） ２ １
其 中 “ ， ∈ ， ∈ ， ， 则方 程 （． ）的所有 解都 是非 振动 解． １１
证明 设 ｛ Ｙ ｝为方程（． ） １１ 的振动解 ， 则对于每一个 ∈ ， 存在 ｚ ， ＞ 使得 ） ≥０ ｙ ＜０或 Ｙ ， 且 … ｌ ＞０且 ， ≤０ ， ．在任一情形下 ， 都有 △ Ｙ ＝ｙ Ｉ ｙ ＜０ ｆ ｆ —ａ ｆ ． ＋ 由于 Ａ Ｙ 。 ＝） 一ａ 得 △ ｙ ， ｙ， ２ 。 ＝Ａ Ｙ 一ａ 则 △ Ｙ＋ 。 ＡＹ ， 。 ｌ＝△ ２ ＋ａ 。 ｙ Ａ Ｙ ．因此 ， Ｖｎ≥ Ｚ 方 程 对 ，
△） ： ， ｂ一 （ ６ ＋△Ｙ）＝Ｙ＋ ２ｙ＋＋口ｙ ＋（ ） Ａｙ 。 ２— ａ １ ２ ＝△）． ，
引理 ２５ 当 ０＞０ ６∈ 时 ， ． ， 对于 实数列 ｛ （， ） 有 Ｙ ｝１ ∈ １ ，
Ａ
。
Ｙ ：△ｙ一 ＋（ ； １ ６—０ （ ６ 一 ＋ＡＹ一）＋０ ） Ａ Ｙ ｌ １ △ ｙ一 １
本文在 文献 ［－］ １３ 的基 础上 ， 将方 程 （ ． ） １２ 的形 式更 一般 化 ， 主要 研究 当 ｏ≠ ０时 ， 方程 （． ） １１ 的所有 解 都是 振动解 和非 振动 解 的新 的充分条 件 ， 推广 和改进 了文 献 ［ ］ ２ 中的相应结 果 ． 三 阶差 分方 程所 建立 的离 散模 型 已经 在经 济学 、 生物数 学 、 物理 学 和系统 控制论 等 领域 上 得到 应用 ．关 于三 阶差分 方程 的振 动性 和非振 动性 的研究 是 当前差 分方 程理 论 研究 的热 点 之一 ，可见 文献 ［ －］ ４ｌ ，但 是 ， ５ 对 含 有广义 差分 算子 的差分 方程 的相 关研 究并 不多见 ．
关键 词 ： 三阶差分方程； 振动性 ； 非振动性； 广义差分算子
中 图分 类 号 ：１５７ Ｏ７．
文 献标识 码 ： Ａ
文章 编号 ：０１ ３７２１）２ ０１ ７ １０－ ３（０２０－ ０－ ５ ０ ０
１ 引
言
本 文 主要研 究～类 三 阶非线 性差 分方程 △ （ （ ２ ）＋ｑｈ Ａ ｙ ）＝ ｌ Ｙ ， ６ △ ｙ ） 。Ｐ ｇ △ ｙ ） 。 ． （ ２ ＂ △ Ｙ ， ｔ ，
△ ， 一 ＝ △２ ｌ ， １ ｂ ｙ ＋（ ｂ一日 （ ｂ ） △ ，一 ，１＋△ Ｙ一） １ ．
一
和
证 明 由 Ａ） ， ：ｙ＋ 一ａ 得 △ （ ＝ＡＹ＋ 一ａＬ 即 △） １ ｙ ， 。Ａ Ｙ） 。 １ ２ｙ ， 。 ＝ △Ｙ＋ ， 。 ｌ一Ⅱ 。 则 △Ｙ，
２
曲阜师范大学学报（ 自然科 学版 ）
２ １ 正 ０２
２ 非振动解
本部分 我们 将研 究方程 （ ． ） １ １ 的非 振动 解．假设 ０ ＞０ ．为 了证 明 主要结 果 的需 要 ， 给 出下面 引理 ． 先 引理 ２ １ ．… 设 ｛ （ｌ∈ ）为 实数列 ，当 ｂ＞０， ｛ 最 终定号 ， ｛ Ｙ｝７ ， 若 △ｙ ｝ 则 ｙ｝也 最终 定号 ． 引理 ２２ 设 ｛ （ ∈ ）为 实数列 ， ： 一 连续 函数 ， ． ｙ ｝ ｇ 严格 上 升 ，ｇｇ ）＝ｓｎ ， （ ）＝ ， ｓｎ （ ｇ ｕ ｇ
ｓｐＩ ｕ
ｎ≥ ｍ
ｌ＞ ０ ．
我们 总假定 方程 （． ） 在这 样 的解 ．方程 （ ． ） １１ 存 １ １ 的一个 非 平凡 解 ｛ 称 为 非振 动 的 ，若 它最 终 为 正 Ｙ｝
或最终为负时， 否则称它为振动的． 方程 （． ） １ １ 称为振动的 ， 若它的每一个非平凡解都是振动的．
即
则
ｇ △ｙ ）＝ ［ ｎ一１ Ｙ一，ｂ ， 。 （ ， 。Ｚｙ一 △ｙ一）＋ａ （ ２ 。 Ｘ ｐ～ △ 一）一ｑ－ △ｙ一） ． ｇ ｙ ．Ｉ ］ （
ｇ △ Ｙ＋）＝ｇ △ ｙ （ 。 １ （ ２ ＋ａ 。 ＝ａ （ 。 。 ＡＹ） ｇ △ ｙ ）＋ｇ △ ｙ ） （ ２ 。
当 ｂ＞０ 若 ｛ （ ｝ ， ｇ △Ｙ ） 最终定号 ， ｛ （ ｝ 则 ｇ ｙ） 也最终定号． 证明 由条件知， ｇｇ ）＝ｓｎ ，（ ）ｒ ， ｓｎ （ ｇ ｕｇ ａ ｍ ． 结合引理 ２ １ 当 ｂ＞０时 ， ｛ （ ｝ ．， 若 ｇ ＡＹ ） 最终定号 ， 则 ｛ 最终定号 ， ＡＹ ｝ 进而 ｛ ｝也最终定号 ， ｛（ ｌ ｙ 则 ｇ Ｙ） 也最终定号．
。
。
。
一
１ ｂ一Ⅱ （ ６ １＋△ Ｙ～）＋ａ 。 ｌ一０ １ ＋（ ） △ Ｙ一 １ Ａ Ｙ一 △ Ｙ一
＝△ 一 ｌ＋（ ｂ—ｎ （ ６ １＋△ ｙ 一） ） △ Ｙ一 。 １．
令 Ｚ ＝ ＋（ ｂ一０ （ ） 口＋△ １ ． 。， １ ）
定理 ２６ 若 函数 ，满足 如下条 件 ．
Ａ ｙ＋ ＝ △ ｌ ＋ ａ 。 Ａｙ ，
贝 ＡＹ ４ ＝ △ ）一 ２ 。 ｌ＋ａ ｌ＝△ ）一 ， Ａ Ｙ一 ， ＋（ ｂ一０ （ ６ 】＋Ａ Ｙ 一）＋ａ １ ） △ ｙ一 。 】 Ａ Ｙ 一，
１ ６ △２ Ｉ ： Ａ Ｙ 一 ａＡ Ｙ 一 ＝ △２ ｙ一
ｆ １ 一
△
△ｙ １ ＋ ｇ △ｙ １ 一 ｆｈ ］ ： － 叩 （ ２＿ ｇ பைடு நூலகம்２ 一 ． ｆ） 。 ） － ｆ ）
由引理 ２ ５知 ，当（ ． ） 与 △ Ｙ ＜０成 立时 ， ｇ Ａ Ｙ） （ 。ｆ ） ． ． ２１式 。 有 （ 。ｆｇ Ａ Ｙ＋ ＞０ 由引理 ２ ２知 ， （ 。 ） ０ ． ｇ △Ｙ ＜ ．