(精品)数学讲义8Q-4根的判别式及其应用(教师)

一元二次方程根的判别式及其应用

课时目标

1.掌握一元二次方程根的判别式

2.不解一元二次方程,根据根的判别式判断方程根的情况

3.掌握韦达定理根与系数的关系

4.二次三项式的因式分解

5.一元二次方程的应用.

知识精要

1.我们把24b ac -叫做一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式,通常用符

号?来表示,记作24b ac ?=-

（1）当240b ac ?=->时,方程有两个不相等的实数根;

（2）当240b ac ?=-=时,方程有两个相等的实数根;

（3）当240b ac ?=-<时,方程没有实数根.

★★根的判别式的应用

(1)不解方程判定方程根的情况；

(2)根据参数系数的性质确定根的范围；

(3)解与根有关的证明题.

★★2.韦达定理：如果1x ,2x 是一元二次方程20ax bx c ++= (0)a ≠的两个根,

由解方程中的公式法得,12b x a -+=， 22b x a

--= 那么可推得1212,b c x x x x a a

+=-=. 这是一元二次方程根与系数的关系.

3.二次三项式的因式分解

（1）形如()2,,ax bx c a b c ++都不为零的多项式称为二次三项式.

（2）如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ,那么二次三项式

的分解公式为2ax bx c ++()()12a x x x x =--.

★★★4.一元二次方程的应用问题

（1） 列一元二次方程解应用题的步骤：

审题，设元，列方程，解方程，检验，写答句。

注：解得一元二次方程的解后,一定需检验是否符合应用题的题意,若不合题意则

舍去.

（2）常见问题

①与几何图形有关的问题,利用面积公式、几何定理、有关几何知识作为解题的

依据；

②关于增长率问题

基数、平均增长率、时间和最后产值的基本关系是

()1n

m x M += 其中m 是基数,x 是平均增长率,n 是时间,M 为最后产值.

热身练习

1．不解方程判断方程根的情况：

（1）4x x x 732=+- （有两个不等的实数根）

（2）x x 4)2(32=+ （无实数根）

（3）x x 54542=+ （有两个相等的实数根）

2．k 为何值时，关于x 的二次方程0962=+-x kx

（1）有两个不等的实数根（01≠

（2）有两个相等的实数根 （1=k ）

（3）无实数根 （1>k ）

3.已知12,x x 是方程2420x x -+=的两根,

求：（1）

12

11x x +的值;2

（2）212()x x -的值. 8

4.已知方程2590x kx +-=有一个根是3,求方程的另一个根及k 的值.（3,125

k -=-）

5.在实数范围内分解因式

（1）276x x --

解：对于方程2760x x --=,73?=,

117722x x ∴==

2777622x x x x ?+-∴--=-- ?

??? （2）22285x xy y -+

解：对于方程222850x xy y -+=,224y ?=,

1244,22x y x y +-∴=

=

2244285222x xy y x y x y ????+∴-+=-- ??? ???????

6. 某人把500元存入银行，定期一年到期后取出300元，将剩余部分（包括利

息）继续存入银行，定期还是一年，且利率不变，到期如果全部取出，正好是

275元，求存款的年利率？（不计利息税） 解：设年利率为x

()()50013001275x x +-+=????

整理得2202830x x +-= 解得003102x =-或（舍去）

精解名题

1.已知：m, n 是不相等的实数，方程x 2+mx+n=0的两根差与方程y 2+ny+m=0的

两根差相等.求：m+n 的值.

解：方程①两根差是

21x x -＝221)x x -（＝212214)(x x x x -+＝n m 42-

同理方程②两根差是

21y y -＝m n 42-

依题意，得n m 42-＝m n 42-.

两边平方得：m 2－4n=n 2－4m.

∴（m －n ）(m+n+4)=0

∵m ≠n ，

∴ m+n+4＝0， m+n ＝－4.

2. 已知关于x 的方程x 2＋(a -6)x ＋a=0的两根都是整数，求a 的值．

解 设两个根为x 1≥x 2，由韦达定理得

从上面两式中消去a 得

x 1x 2+x 1+x 2＝6，

所以 (x 1＋1)(x 2+1)=7，

所以a=x 1x 2=0或16．

备选例题

例1.一块矩形耕地南北长162米，东西宽为64米，要在这块耕地上沿东西与南北方向分别挖2条和4条水渠，若水渠宽都相同，且要保证余下的耕地面积为9600平方米，则水渠应挖多宽？

解 ：设宽为x 米，则016x <<，

()()64416229600x x --=

整理得 297960x x -+=

121,96x x ==（舍去）

例2. 一路段的道路维修工程准备对外招标，现有甲、乙两个工程队竞标，竞标资料显示：若两队合作6天可完成，共需工程费10200元；若甲单独完成，甲队比乙队少用5天，但甲队的工程费每天比乙队多300元.

(1)甲单独完成需要几天？

解：设甲单独完成需要x 天，则乙单独完成需要x+5天，则

11615x x ??+= ?+??

27300x x --=

1210,3x x ==-（舍去）

(2)工程指挥部决定从两个队中选一个队单独完成此工程，若从节省资金的角度考虑，应选哪个工程队？为什么？

解 设乙队每天工程费为x 元,则甲队每天工程费为300+x 元，

则()300610200x x ++=，解得700x =

甲队总费用：()3007001010000+?=元；

乙队总费用：7001510500?=，所以应选甲队。

巩固练习

1.关于x 的一元二次方程()220x mx m -+-=的根的情况是( ) A

A ．有两个不相等的实数根

B ．有两个相等的实数根

C ．没有实数根

D ．无法确定

2.已知关于x 的一元二次方程()21210k x x ++-=有两个不相同的实数根,则k 的取值范围是 . 21k k >-≠-且

3.已知12x x 、是方程22350x x --=的两个根，不解方程，求下列代数式的值：

（1）2212x x +

()21212

2294

x x x x =+-=

（2）12x x -

72=

=（3）2212

233x x x +-

()

()221221221212

32449

4x x x x x x x x x =+-+=+-=

4. 因式分解

（1）()()22343216x x x x +-++-

()()223634x x x x =+-++

（2）()

22231222x x x x x -+-+- ()()22321x x x =--+

5.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数.（84）

6.某科技公司研制一种新产品，决定向银行贷款200万元资金，用于生产这种产品，签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息,利息为本金的8%,该产品投放市场后由于产销对路,使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余72万元,若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同,试求这个百分数. (20%)

当堂总结

（1）根的判别式的应用；

（2）韦达定理的运用；

（3）二次三项式的分解；

（4）解一元二次方程的应用题；

自我测试

1．已知关于x 的方程2(2)230m x mx m -+++=有实根，则m 的取值范围是（ ）．D

A ．2m ≠

B ．6m ≤且2m ≠

C ．6m <

D ．6m ≤

2．若53+-是方程04kx x 2=++的一个根，则另一根和k 的值为( )B

A ．53x --=，k ＝－6

B ．53x --=，k ＝6

C ．53x +=，k ＝－6

D ．53x -=，k ＝6

3．三角形两边的长分别是6和8,第三边长是一元二次方程060162=+-x x 的一

个实数根,则三角形的面积为 （ ）C A. 58 B.24 C.24或58 D.60

4.方程22653

x x x x -=+-的实根的个数是（ ）．C A ．3 B ．2 C ．1 D ．没有

5.把222x x --分解因式得（ ）C

A (11x x ++-

B 2222x x ?-- ????

C (11x x --

D (11x x -+

6．某市2008年国内生产总值（GDP ）比2007年增长了12%,由于受到国际金融

危机的影响,预计今年比2008年增长7%,若这两年GDP 年平均增长率为x%,则x%满足的关系是…………………………（ ）D

A ．12%7%%x +=

B ．(112%)(17%)2(1%)x ++=+

C ．12%7%2%x +=

D ．2(112%)(17%)(1%)x ++=+

7.已知方程0m x 4x 22=++的两根平方和是34，求m 的值，并求方程的两根。 解：设方程的两根为21x x 、，则

2m

x x 2x x 2121=?-=+，．

∵212212221x x 2)x x (x x -+=+，

∴)x x ()x x (x x 2222122121+-+=

34)2(2--=

＝－30． ∵

2m x x 21=，

∴m ＝－30．

8.一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数．

解：设原来两位数的十位数字为x ，则个位数字为5-x ．

根据题意得

[10x+(5-x)]·[10(5-x)+x]=736

2560x x -+=

(x-2)(x-3)=0

x1=2 x2=3

当x=2时，5-x=3，符合题意，原两位数是23

当x=3时，5-x=2，符合题意，原两位数是32

答：原来的两位数是23或32．