樊昌信《通信原理》(第6版)(课后习题 正交编码与伪随机序列)【圣才出品】

第12章　正交编码与伪随机序列12-1

一个3级线性反馈移存器，已知其特征方程为f(x)＝1+x 2+x 3，试验证它为本

原多项式。证明：（1）的最高次幂为3，且无法继续因式分解，故f(x)是既约23

1f (x )x x =++的；

（2）令，有3

217m =-=7432231111m x x x x x f (x )x x +-==+++++即f(x)能整除；1m

x +（3）经验证，（其中）都不能被f(x)整除。1q

x +q m <综上，是本原多项式。23

1f (x )x x =++12-2 已知3级线性反馈移存器的原始状态为111，试写出两种m 序列的输出序列。解：三级线性反馈移存器的生成多项式有两种情况：

（1）本原多项式，此时线性反馈移存器如图12-1所示：32

1f (x )x x =++

输出

图12-1其工作状态如下：

表12-1

2a 1a 0a 输出

1 1 1 1

0 1 1 1

0 0 1 1

1 0 0 1

0 1 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 0

则原始状态为111时，其输出序列为：11110010。

（2）本原多项式，此时线性反馈移存器如图12-2所示：3

1f (x )x x =++

输出

图12-2其工作状态如下：

表12-2

2a 1a 0a 输出

1 1 1 1

0 1 1 1

1 0 1 1

0 1 0 1

0 0 1 0

1 0 0 1

1 1 0 0

1 1 1 0

则原始状态为111时，其输出序列为：11110100。

12-3 一个4级线性反馈移存器的特征方程为f(x)＝x 4+x 3+x 2+x+1，试证明由它所产生的序列不是m 序列。

证明：令，对于q ＝5＜m ，有，即f(x)能被整除，4

2116m =-=511x x f (x )+=+51x +故f(x)不是本原多项式，它所产生的序列不是m 序列。

12-4 有一个由9级线性反馈移存器产生的m 序列，试写出在每一周期内所有可能的游程长度的个数。

解：由9级线性反馈移存器产生的m 序列周期为：9

21511-=游程总数：个

912256-=m 序列中，长度为k 的游程数目占游程总数的，故：

2k -长度为1的游程数目占游程总数的1/2，即128个；

长度为2的游程数目占游程总数的1/4，即64个；

同理，长度为3的游程数目为32个；长度为4的游程数目为16个；长度为5的游程数目为8个；长度为6的游程数目为4个；长度为7的游程数目为2个；长度为8的游程数目为1个。长度为9的游程数目为1个。

12-5 有一个由9级线性反馈移存器所组成的m 序列产生器，其第3、6和9级移存器的输出分别为Q 3、Q 6和Q 9，试说明:

(1)将它们通过“或”门后得到一新的序列，所得序列的周期仍为29－1，并且“1”

的符号率约为7/8；

(2)将它们通过“与”门后得到一新的序列，所得序列的周期仍为29－1，并且“1”的符号率约为1/8。

证明：（1）由m 序列的周期性，均是周期为的m 序列，但369Q ,Q ,Q 9

21511-=其初始状态不同。所以三者通过“或”门后周期不变，仍为511，但不再是m 序列。

由m 序列的均衡性，每个m 序列中“1”的个数占1/2，“或”门输出为

369Q ,Q ,Q “1”要求中至少有一个为1，其概率为：。369Q ,Q ,Q 3

17128

P ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（2）通过“与”门后，是一个周期不变的新序列，仍为511。当三者都为369Q ,Q ,Q 1时，“与”门输出才为1，其概率为。3

1128P ⎛⎫== ⎪⎝⎭12-6 试写出p ＝7和p ＝

11的二次剩余序列。

解：（1）当时，有

7p =故1，2，4是模7的二次剩余，0，3，5，6是模7的非二次剩余，令

⎧⎪⎨⎪⎩i 1i 是模7的二次剩余a=-1i 是模7的非二次剩余

可得周期为7

的二次剩余序列为：- + + - + - -。

（2）当时，有

11p =故1，3，4，5，9是模11的二次剩余，0，2，6，7，8，10是模11的非二次剩余，

令⎧⎪⎨⎪⎩i 1i 是模11的二次剩余a=-1i 是模11的非二次剩余

可得周期为11的二次剩余序列为：- + - + + + - - - + -。

12-7 试验证p ＝3和p ＝7的二次剩余序列为m 序列。

证明：（1）p ＝3时，有

，则1是模3的二次剩余，

得周期为3的二次剩余序列为：- + -。

对于m 序列来说，周期为，n ＝2。213n -=二次本原多项式存在，为，画出相应的线性反馈移存器结构如图2

1g(x )x x =++12-3所示：

图12-3其工作状态如下：

表12-3

1a 0a 输出

0 1 1 0 1

1 1 0

0 1 1

得一个周期内的m 序列为：101

令“+”对应“0”，“-”对应“1”，则该m 序列与上述二次剩余序列相同，故p ＝3

时的二次剩余序列为m 序列。

（2）p ＝7时，有

故1，2，4是模7的二次剩余，0，3，5，6是模7的非二次剩余，可得周期为7的二次剩余序列为：- + + - + - -。

令，n ＝3。三次本原多项式存在，为，画出相应的线性217n -=32

1g(x )x x =++反馈移存器如图12-4所示：

输出

图12-4其工件状态如下：

表12-4

2a 1a 0a 输出

1 1 1

0 1 1 1

0 0 1 1

1 0 0 1

0 1 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 0

得一个周期内的m 序列为：1001011

令“+”对应“0”，“-”对应“1”，则该m 序列与上述二次剩余序列相同，故p ＝7时的二次剩余序列为m 序列。