传染病传播模型

于是可知： ① 当 t→∞ 时，i→1，即所有人终将被传染， 全变为病人，这显然不符合实际情况。其原因是 模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康 者只能变成病人，病人不会再变成健康者。
② 然而，这个模型在传染病流行的前期还是 可用的，可用它来预报传染病高潮的到来：当 i = 1/2时，di/dt 达到最大值 (di/dt)m，这个时刻为
传染病传播模型
人们不可能去做传染病传播的试验以获取 数据，从医疗卫生部门得到的资料也是不完全 和不充分的。不同类型的传染病的传播过程有 其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多 的病理知识，这里更不可能从医学的角度来分 析各种传染病的传播，所以，我们只能按照一 般的传播机理建立模型。
传染病传播问题和自然科学中一些已经有 确定规律的问题不同，不可能立即对它做出恰 当的假设，建立完善的模型，只能先做出最简 单的假设，建立模型，得出结果，分析是否符 合实际，然后针对其不合理或不完善处，进行 修改或补充假设，逐步得到较为合理的模型。
di = λi (1 − i ) dt i (0) = i0
Logistic 模型
初值问题的解为
i (t ) =
1 1 − λt 1 + − 1e i 0
可画出 i(t) ~ t 和 di/dt ~ i 的图形为 i(t) ~ t 的图形
di/dt ~ i 的图形
而由 s + i = 1 有 ds/dt = − di/dt，于是，上式的 第二个方程变为恒等式，从而模型简化为
di = λi (1 − i ) − µi −νi dt i (0) = i0
如果令 σ = λ/(µ+ν)，则 σ 仍表示整个传染 期内每个病人有效接触的平均人数，即接触数 接触数。 接触数 于是，以下的求解与讨论与不考虑出生和死亡 的 SIS 模型相同。
(2) 在疾病传播期内所考察地区的总人数为 N，总认为人口的出生率与死亡率相同，并且 新生婴儿全为易感染者。记平均出生率为 ν， 则人口的平均寿命为 1/ν。 (3) 每个病人每天有效接触的平均人数是常 数 λ，λ 称为日接触率 日接触率。当病人与健康者有效接 日接触率 触时，使健康者受感染变为病人。 (4) 每天被治愈的病人数占病人总数的比例 为常数 µ，称为日治愈率 日治愈率。病人被治愈后称为 日治愈率 仍可被感染的健康者，1/µ 称为这种传染病的平 平 均传染期。 均传染期
在上述的假设条件下，人员流程图如下
由假设条件显然有 s(t) + i(t) + r(t) = 1
ds N = −λNsi dt
di N = λNsi − µNi dt dr N = µNi dt
记初始时刻的健康者和病人的比例分别是 s0（s0 > 0）和 i0（i0 > 0）（不妨设移出者的初 始值 r0 = 0），于是得到 SIR 模型为如下的初值 问题 ds = −λsi, s (0) = s0 dt di = λsi − µi, i (0) = i0 dt dr = µi, r (0) = 0 dt
如果考虑到假设条件 (4)，则人员流程图如下
于是有
di N = λNsi − µNi dt
记初始时刻的病人的比例 i0（i0 > 0），从而 SI 模型可以修正为
di = λi (1 − i ) − µi dt i (0) = i0
我们称之为 Bernolli（贝努里）方程的初值问题， 其解析解为
模型 2（不考虑出生和死亡的 SIS 模型）
有些传染病如伤风、痢疾等治愈后免疫力很低， 可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者， 健康者还可以被感染再变成病人，所以在 SI 模型的 基础上，增加一个假设条件就会得到 SIS 模型。 假设条件 (1) 人群分为易感染者（Susceptible）和已感染 者（Infective）两类，以下简称健康者和病人。时刻t 这两类人在总人数中所占的比例分别记为 s(t) 和 i(t)。
模型 3（考虑出生和死亡的 SIS 模型） 当传染病的传播周期比较长时，若不考虑 出生和死亡因素显然不妥，接下来考虑带有出 生和死亡情况的 SIS 模型。 假设条件 (1) 人群分为易感染者（Susceptible）和已 感染者（Infective）两类，以下简称健康者和病 人。时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别 记为 s(t) 和 i(t)。
模型 1（SI 模型）
假设条件 (1) 人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者 （Infective）两类，以下简称健康者和病人。时刻t这 两类人在总人数中所占的比例分别记为s(t) 和 i(t)。 (2) 在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变， 既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时间以天为计量 单位。 (3) 每个病人每天有效接触的平均人数是常数 λ， λ 称为日接触率 日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健 日接触率 康者受感染变为病人。
根据假设，每个病人每天可使 λs(t) 个健康 者变为病人。因为病人数为Ni(t)，所以每天共 有 λNs(t)i(t) 个健康者被感染，即病人数Ni(t) 的 增加率为 λNs(t)i(t)。于是得到人员流程图如下
进而有
d i (t ) N = λNБайду номын сангаас (t )i (t ) dt
再设初始时刻（t = 0）病人的比例为i0 ，则由 s(t) + i(t) = 1，得到初值问题
在上述的假设条件下，人员流程图如下
于是有
ds N = −λNsi + µNi + νN − νNs dt
di N = λNsi − µNi dt
记初始时刻的健康者和病人的比例分别是 s0（s0 > 0）和 i0（i0 > 0），从而考虑出生和死 亡的 SIS 模型为
di = λi (1 − i ) − µi −νi dt ds = −λi (1 − i ) + µi +ν −ν (1 − i ) dt i (0) = i0 , s (0) = s0
模型 5（考虑出生和死亡的 SIR 模型） 模型的假设 (1) 人群分为健康者、病人和病愈免疫的移 出者（Removed）三类，三类人在总人数 N 中 占的比例分别为 s(t)，i(t) 和 r(t)。 (2) 病人的日接触率为 λ，日治愈率为 µ， 传染期接触数为 σ = λ/µ。 (3) 在疾病传播期内所考察地区的总人数为 N，总认为人口的出生率与死亡率相同，并且 新生婴儿全为易感染者。记平均出生率为 ν， 则人口的平均寿命为 1/ν。
而由 s + i + r = 1 有 dr/dt = − di/dt − ds/dt ，于是， 上式的第三个方程变为恒等式，从而模型简化 为 ds s (0) = s0 dt = −λsi, di = λsi − µi, i (0) = i0 dt 上述的初值问题无法求出解析解，只能通 过数值解法求出数值解。
而由 s + i + r = 1 有 dr/dt = − di/dt − ds/dt，于是， 上式的第三个方程变为恒等式，从而模型简化 为
ds dt = −λsi + ν −νs, s (0) = s0 di = λsi − ( µ + ν )i, i (0) = i0 dt
在上述的假设条件下，人员流程图如下
此时由假设条件有 s(t) + i(t) + r(t) = 1
ds N = −λNsi + νN −νNs dt di N = λNsi − µNi − νNi dt
dr N = µNi −νNr dt
记初始时刻的健康者和病人的比例分别是 s0（s0 > 0）和 i0（i0 > 0）（不妨设移出者的初 始值 r0 = 0），于是得到考虑出生和死亡的 SIR 模型如下 ds ds dt = −λsi + ν −νs, s (0) = s0 di = λsi − µi −νi, i (0) = i0 dt dr = µi −νr , r (0) = 0 dt
1 − σ −1 , σ > 1 lim i (t ) = t →∞ σ ≤1 0,
我们画出 di/dt ~ i 和 i ~ t 的图形为 di/dt ~ i 的图形 （σ >1）
i(t) ~ t 的图形 （σ >1）
di/dt ~ i 的图形 （σ ≤1）
i(t) ~ t 的图形 （σ ≤1）
0.203 0.2795 0.331 3 2 0.692 0.5438 0.399 7 5 25 30 35
0.006 0.0017 0.000 1 5 0.040 0.0401 0.039 8 9
0.149 0.1145 0.054 3 3
SIR 模型的 i(t)、s(t) 曲线
SIR 模型的 i ~ s 曲线
1 t m = λ ln − 1 i 0
−1
这时病人增加得最快，可以认为是医院的门诊量 最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医疗 卫生部门关注的时刻。
③ 还可以看出，tm 与 λ 成反比。因为日接触 率 λ 表示给定地区的卫生水平，λ 越小卫生水平 越高，所以改善保健设施、提高卫生水平可以推 迟传染病高潮的到来。
模型 4（不考虑出生和死亡的 SIR 模型） 许多传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治 愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健 康者（易感染者），也非病人（已感染者）， 它们已经退出传染系统。
模型的假设条件为 (1) 人群分为健康者、病人和病愈免疫的移 移 出者（Removed）三类，三类人在总人数N中占 出者 的比例分别为 s(t)，i(t) 和 r(t)。 (2) 病人的日接触率为 λ，日治愈率为 µ， 传染期接触数为 σ = λ/µ。 (3) 在疾病传播期内所考察地区的总人数 N 不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时 间以天为计量单位。
1 i0 (1 − σ −1 )e ( λ −µ ) t 1 − σ −1 + (1 − σ −1 ) − i , λ ≠ µ 0 i (t ) = i0 , λ=µ λti0 + 1
其中 σ = λ/µ。 由 λ 和 1/µ 的含义可知，σ 是整个传染期 内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数 接触数。 接触数 于是有
(2) 在疾病传播期内所考察地区的总人数 N 不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时 间以天为计量单位。 (3) 每个病人每天有效接触的平均人数是常 数 λ，λ 称为日接触率 日接触率。当病人与健康者有效接 日接触率 触时，使健康者受感染变为病人。 (4) 每天被治愈的病人数占病人总数的比例 为常数 µ，称为日治愈率 日治愈率。病人被治愈后称为 日治愈率 仍可被感染的健康者，1/µ 称为这种传染病的平 平 均传染期。 均传染期
例如，取 λ = 1，µ = 0.3，i(0) = 0.02，s(0) = 0.98，则求得数值解如下表，相应的 i(t)、s(t) 曲线和 i ~ s 曲线如下图。
t i(t) s(t) t i(t) s(t) 0 0.020 0 0.980 0 9 0.286 3 1 0.039 0 0.952 5 10 0.241 8 2 0.073 2 0.901 9 15 0.078 7 3 0.128 5 0.816 9 20 0.022 3 0.043 4 4 5 6 7 0.344 4 0.283 9 40 0.000 1 0.039 9 8 0.324 7 0.202 7 45 0 0.039 8
在实际应用 SIR 模型时，模型中的参数经 常通过一些统计资料来估计。 事实上，能够求出解析解的微分方程模型 是非常有限的，所以人们经常利用定性理论 定性理论从 定性理论 方程本身推出解的相关性质。 对于上述的 SIR 模型，就可以采用相轨线 相轨线 分析的方法，来获得i(t)、s(t) 的一般变化规律。 分析 （参教案，略）