第五章参数估计

估 计 量
估 计 值
估计量在某次 抽样中的具体 数值
三、估计量的评价标准
一个优良估计量应满足如下标准：
无偏性：估计量抽样分布的数学期望 等于总体参数。 有效性：估计量与总体参数的离散度 较小，即估计量抽样分布的 方差较小。 一致性：随着样本容量增大，估计值 越来越接近总体参数值。
四、样本的数字特征与总体参数的点估计
X Z
2
2 N n
n
n

N 1
X Z
2
2 N n
n N 1
推出
2 N Z 2 2 ( N 1)2 Z 2 2 2
或
n0 n n0 1 N
n 0 为重复抽样的样本量
公式表明：
（1）置信度与样本容量成正比，当σ和 ∆保持不变时，置信程度要求越高， 样本量也要越大。 （2）总体方差与样本容量成正比，总体 方差越大，要求的样本量越大。
（3）允许误差与样本量成反比，允许误 差增大，即置信区间增大，样本量 可减少。
(二)不重复抽样、有限总体且抽样比>5%
此时的总体均值的置信区间为
总体方差的无偏估计量用 n-1计算， 它通常来用估计总体方差。
（三）样本标准差
S 1 n 2 (X X ) ຫໍສະໝຸດ Baidu i n - 1 i 1
样本标准差非总体标准差的无偏估计量
一、置信区间与置信度
区间估计是根据样本估计值计算出数值 范围，推断总体参数位于这一范围内的 概率。数值范围称为置信区间，于数值 范围内的概率称置信度或置信水平。 置信区间的大小表示估计的精确性， 置信度的大小表示估计的可靠性。
二、估计总体均时样本容量的确定 （一）重复抽样或抽样比<5%
总体均值的置信区间为
X Z
2

n
X Z
2

n
可见总体均值μ与样本均值 X的绝对 离差不超过 Z ，称为允许误差， 2 n 用∆表示。 即 Z 2 2 n Z 2 推出 n 2 2
2、 样本容量的问题 样本容量多大时，P的抽样分布才近似 正态分布，这与总体p 的大小有关。
一、置信度、置信区间 与样本容量的关系
置信度表示估计的可靠性，1－α越大， 估计的可靠程度越高；置信区间表示估 计的精确性，置信区间越大，估计的精 确性越低。 在样本容量与抽样方式不变的情况下， 提高置信度将会扩大置信区间；缩小 置信区间将会降低置信度。 既要缩小置信区间，又不降低置信度， 就要增加样本容量或改变抽样方式。
为
(X t
2
2
s n
, X t
2
s n
)
t 是与置信度1－α有关的系数，查 t分布表
例 4 （P225 例 5）
例 5（P225 例 6）
一、大样本的估计方法
大样本时样本比例P的抽样分布趋近 正态分布
E(P) p D(P) p(1 p ) n
与总体均值相似,总体比例的置信区间为
n
（一）总体方差 σ² 已知
总体均值 μ 的置信区间与前相同
为
(X Z ， X Z ) 2 2 n n
（二）总体方差 σ² 未知,以样本方差 S² 替代
X t ~ t ( n 1) S n
即样本均值服从自由度为 n-1的 t 分布
与标准正态分布相似,总体均值的置信区间
二、样本均值 X 的抽样分布
样本均值X 的抽样分布与原总体分布 有关，也与样本容量的大小有关。
原总体分布 样本容量 样本均值的抽样分布
正态分布
非正态分布
大样本
小样本 大样本
正态分布
正态分布 正态分布
小样本
非正态分布
三、大样本下的区间估计 当样本容量 n≥30时，样本平均数趋近正态分布。
E( X) , 即 X ~ N(， D( X) ) ,Z
2
~ N(0,1) 0
2
n
n X

n 对给定的置信度1 ， 存在Z P( Z 即 P( Z
2
2
Z Z ) 1
2
2

X

Z ) 1
2
n
由
2 n 推得 X Z X Z 2 2 n n 即总体均值的置信区间为 X Z 2 n 亦即 ( X Z ， X Z ) 2 2 n n Z 是与置信度 1 有关的系数， 查正态分布表
（二）参数估计
依据所得的样本资料，对研究总体的 数量特征进行估计。
（三）参数估计的类型
点估计
从样本数据计 算的单个估计 值直接作为相 应总体参数的 估计值
在点估计的基础上给出 估计的范围，推断总体 参数有多大的概率保证 程度被涵盖在这范围内
区间估计
二、估计量与估计值
用来估计总体参数的统计 量的名称，如样本均值、 样本比例、样本方差等。
（一）样本均值
从总体中抽取容量为n的样本，观测值 为X1、X2、…Xn，则样本均值为：
X X1 X 2 X n n D( X)
E( X) ,
2
n μ为总体均值，σ² 为总体方差。
样本均值是一优良估计量，通常用来 估计总体均值。
（二）样本方差
n 1 2 S2 ( X X ) i n 1 i 1
2 2
Z
X
Z
为选择的风险， 即 不包括在置信区间的概率
如果总体方差σ² 未知，大样本时，可用 样本方差 S² 替代。
四、小样本下的区间估计
若总体为正态分布，即X～(μ，σ² ） 则样本均值服从正态分布，即 X ~ N ( , 标准化转换
Z X
2
n
)

~ N ( 0 ,1 )
第五章
第一节
第二节
参 数 估 计
参数估计的一般问题
总体均值的区间估计
第三节
第四节 第五节
总体比例的区间估计
两个均值和两个比例之差的区间估计 样本容量的确定
一、参数估计
（一）参数 指反映总体数量特征的数值。如总体 均值、总体比例、总体方差等。 参数是总体的量，统计量是样本的量， 参数是一常数，统计量是样本的函数。
(P Z
2
p(1 p) , P Z 2 n
p(1 p) ) n
由于p是要估计的总体参数，是未知的， 大样本时可用样本比例P替代
(P Z
2
P(1 P) , P Z 2 n
P(1 P) ) n
二、总体比例区间估计的特殊问题
1、 稀有事件的小比例估计问题 当总体比例 p 很小时,称为稀有事件。 既使样本容量n很大，P的抽样分布 也不宜用正态分布，而是泊松分布。