高三数学二轮复习微专题——函数与导数中的不等式证明.doc

高三数学二轮复习微专题——

函数与导数中的不等式证明（2）

绵阳外国语学校 xxx

【教学目标】

1．简单复习不等式证明中的最值法（作差构造新函数法）、构造双函数法；

2．通过数形结合，理解、记忆、运用e 1x

x +≥和ln 1x x -≤，初步学会切线放缩法； 3．尝试对e 1x

x +≥和ln 1x x -≤变形． 【教学重点】

利用数形结合，理解、记忆、运用e 1x

x +≥和ln 1x x -≤． 【教学难点】

1． 什么时候使用切线放缩法？

2． 如何使用切线放缩法？

【学法指导】

独立思考，相互交流，勇于展示．

【教学过程】

例1．求证：不等式5212e ln 0x x x --+>恒成立．

总结：

1y x =+是e x y =在______处的切线，有______________恒成立，当且仅当x =_____时，

“=”成立； 1y x =-是ln y x =在______处的切线，有______________恒成立，当且仅当x =_____时，

“=”成立． 例2．（2013．全国2）已知函数()e ln()x

f x x m =-+，求证：当2m ≤时，()0f x >．

ln y x =1y x =-e x y =1y x =+O y x

1 1 1

讨论：

从e 1x x +≥和ln 1x x -≤出发，可以有哪些变形呢？

求证：当4a ≤时，函数()e x f x ax =+在(0,)+∞上单调递增．

课后训练

1．（2012年.全国）设点P 在曲线1e 2

x y =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为（ ） A ．1ln2- B ln 2)- C ．1ln2+ D ln 2)+

2．（2017年.高考模拟）若函数21()(1)ln 02

f x x a x a x =-++≥恒成立，求实数a 的取值范围． 3．（2017年.全国3.改编）已知函数()1ln f x x a x =--．

（1）若()0f x ≥，求a 的值；

（2）若N n *∈，求证231

111(1)(1)(1)...(1)e 2222

n ++++<． 4．（2018年.全国1）已知函数()e ln 1x f x a x =--，求证：当e

a 1

≥时，()f x ≥0．