用经典统计和量子统计讨论固体的内能和热容量

用经典统计和量子统计讨论固体的内能和热容量

1.量子统计和经典统计的联系和区别

建立在经典力学基础上的统计物理学称为经典统计物理学, 建立在量子力学基础上的统计物理学, 称为量子统计物理学。近独立的费米粒子与玻色粒子构成孤立系统, 处于平衡时的量子统计分布规律分别遵从费米分布和波色分布, 玻色—爱因斯坦统计和费米—狄拉克统计是最基本的量子统计分布, 定域系统遵从玻耳兹曼分布律, 玻耳兹曼统计属半经典的统计分布。运用玻耳兹曼统计, 对力学系统的平衡热性质作出了一些满意的解释, 推动了物理学的发展。然而, 在发展过程中, 某些理论结果却与事实不符, 例如对气体和固体的热容量不能给出适当的解释。应用经典统计理论研究平衡热辐射问题时, 理论结果与实验事实也不相一致。20 世纪开始, 普朗克在他的黑体辐射公式中提出了量子概念, 首先动摇了经典物理学的观念, 后来爱因斯坦应用量子理论成功地解释了光电效应, 接着爱因斯坦、德拜等人应用量子理论成功地研究了固体的热容量, 获得了满意的结果, 到1925 年海森堡和薜定谔建立了量子力学之后, 人们才明确了在宏观运动中归纳总结的经典电动力学不能完

全适用于微观运动, 而必须运用量子力学的规律对经典统计理论进行根本的改造, 因而, 随着量子

力学的建立, 量子统计理论也同时形成并不断得到完善。

对经典系统或量子系统的随机运动过程而言, 在统计原理上并没有

本质的差别, 所以, 量子统计仍以等概率原理为基本假设, 肯定系统的系综平均值等于实验观测的时间平均值这个统计等

效原理以及认为平衡态下的系综分布函数形式与经典统计的形式一样, 量子统计与经典统计的根本区别, 在于它们的力学基础不同, 经典统计是以经典力学为基础, 而量子统计则是建立在量子力学的基础上, 这就导致对微观粒子运动的描述绝然不同。

2.固体内能的研究

固体内能理论认为,低温内能U(T)＜3NkT+U0,高温内能U(T)≈

3NkT+U0[1]。容易证明:其内能函数在低温或常温范围,必然存在U`(T)＞3Nk的温度区,与图1[2]固体热容量规律不符。本文根据固体热容量曲线,研究固体内能规律,获得突破性的创新认识。

1 固体内能曲线内能的导函数为热容量,热容量的原函数为内能。因此,根据图1可推知固体内能曲线。1.1 内能曲线单调性温度T ∈(0,∞),固体热容量Cv∈(0, 3N k)恒正,可知固体内能曲线严格单

调递增。1.2 内能曲线高温特性温度T→∞,Cv→(3Nk)-,说明固体内能曲线高温以3NkT 直线或它的平行线为渐近线,且从上方趋近渐近线。若内能曲线从下方趋近渐近线,高温内能曲线斜率将由较大于3Nk递减趋于(3Nk)+,不符合图1热容量规律。1.3 内能函数形式根据图1任意温度T,固体内能函数与

渐近线的误差△(T ):

0)3()( −>∆= ∫∞T v d TCNkT (1) 因此,若内能0参考点为U0,则固体内能函数U(T)为: ∫∞+−=+ T v d TCNkNkTUTU )3(3)( 0 (2) 根据上述分析,本文勾画固体内能曲线如图2,它的斜率从0递增逐步趋近(3Nk)-,完全符合图1热容量Cv曲线规律。

2 固体内能曲线分析2.1 内能0参考点U0 可以任意选择,选择不同,固体内能曲线整体上下平移,但内含的物理规律不变, 对研究固体热运动规律没有影响。2.2 0点内能E0 即绝对0度固体内能,是一个常数,不因参考点U0不同而改变。数值上是固体内能曲线U(T )偏离渐近线3NkT+U0的最大值,即: ∫∞=− =∆ 0max0 )3()(d TCNkTE v (3) 确定E0具体值,本文给出两种实用方法。一是渐近线法。根据内能实验数据,在坐标纸上描绘内能曲线如图2,根据图形的几何关系,容易确定E0值。二是质量比法。在面密度均匀的板上描绘热容量曲线如图1,沿热容量曲线剪开。Cv曲线与OA、AB所围面积为E0(即∫∞− 0 )3( CNkv dT ),薄板质量为0EW 。Cv曲线与OP、PB所围面积为U(即∫∞0 d TC v ),薄板质量为WU。则根据下式易求得E0: UE WWUE :: 00 = (4) 2.

3 德拜温度物理意义新解

德拜理论中,德拜温度qD对应于声子的最大圆频率ωD[3]。本文的观点与德拜理论大相径庭,认为徳拜温度对应于固体的0点能E0(参见图2)。根据(3)式可知,德拜温度为: ∫∞=−= 0 0 )3( 3 1 3 d TCNk NkNk E vDθ (5) 2.4 E0是固体热容量随温度趋于0的决定因素温度趋于绝对0度,固体内能趋于E0+U0 而不是趋于U0,根据(2)式任意温差△T= (T2-T1),固体内能变化量为:)(3),( 1212 TTNkTTU − −=∆

()3)3( 21

2

1

TTNkdTCNk

T T v <− −∫(6) 在低温条件下,温度变化△T,固体内能变化△U ＜＜3Nk△T,这是固体热容量随温度降低逐步减小,并随温度趋于0的秘密。2.5 固体内能曲线的显著特点与现有固体内能理论比较,图2的显著特点:一是内能曲线始点为E|+U0,而不是U0。反映的规律,内能曲线斜率(热容量)0＜Cv＜3Nk条件下,高温以3NkT+U0为渐近线,必然要求高起点(0,E0+U0)。二是内能曲线从渐近线的上方趋近渐近线,斜率从0递增趋近(3Nk)-,任意温度U(T)＞3NkT+U0。现有固体内能理论,内能曲线始于(0, U0)点,在直线3NkT+U0的下方,高温以3NkT+U0为渐近线,必然存在斜率Cv＞3Nk快速递增的温度区,与图1热容量规律矛盾。

3结语本文的认识具有基础性的地位和作用。一是固体内能U(T)＞3NkT+U0,始于E0+U0而不是U0;零点能的新定义及算法, 徳拜温度

(特征温度)物理意义的重新诠释等认识具有突破性。二是新的认识为进一步研究和认识固体微观热运动特性及其统计规律,尤其是研究低温物理,具有方向性的指导意义和奠基性的作用。

3.固体热容量的研究

在关于固体热容量的研究中, 最简单的理想固体模型称为爱因

斯坦模型, 这模型把固体看成是由N 个同频率的三维线性谐振子组成的系统, 并认为谐振子的能量遵从量子化后的能量表达式. 在高

温T m ( E 时, 有Cv U 3Nk, 与经典玻耳兹曼理论的结果一致; 在低温T n ( E 时, 有Cv U 3Nk (E T 2 e- ( E/ T , 其中爱因斯坦特征温度为( E = hM / k, 说明在低温时, 固体热容量随温度下降而成指数下降[1] . 可是实验指出在极低的温度时, 固体热容量随温度的三次方

而下降, 比爱因斯坦的结果缓慢的多. 对固体的爱因斯坦模型进行补充和修正成为德拜模型, 德拜模型把固体看成连续介质, 认为原子的振动形成各种简正频率的弹性驻波, 而把整体固体的原子的微

振动看成这些弹性驻波的迭加, 每一个简正频率的弹性波其能量与同一频率的简谐振子的能量是一样的. 德拜特征温度为( D = hM m / k, M m 为弹性驻波频率的极大值, 在高温T m (D 时, 有Cv U3Nk, 与经典玻耳兹曼理论的结果一致; 在低温T n (D 时, 有Cv U 3NkA T ( D 3 , A = 4 5 P 3, 这正好解释了实验事实, 得出了固体低温热容量的T

3 定律[ 2] . 德拜模型虽然在温度的高端和低端给出与实验一致的