解非线性振动方程的两种摄动法的比较_周红庆
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2 2
( 2. 1)
第6期
周红庆 , 等 : 解非线性振动方程的两种摄动法的 比较
489
式中 “′ ” 表示对变量 τ 求导 . 变量 τ 的引进使得方程( 2. 1) 的解是关于 τ 的以 2π为周期的周期函数 , 原方 程( 1. 1)的周期 T = 2π /ω . 2 [1 -2 ] 利用 L-P 摄动法 , 方程( 2. 1) 的解 x ( τ ) 和频率的平方 ω 可展成如下的幂级数 x =x 0 + x 1 ε + x 2 ε +… , ω =ω ω 0 +ε 1 +ε ω 2 + …. 相应的初始条件为 x 0( 0)= A , x′ ( 0)= 0 , 0 xi ( 0)= 0 , x′ 0)= 0( i = 1 , 2 , …) . i( 将式( 2. 2) 和式( 2. 3) 代入方程( 2. 1) ,令 ε 的各次幂的系数分别为零 , 得 x″ 0 +x 0 = 0 , x″ 1 + x 1 =x″ 2 + x 2 =ω 1 1 x 0) , 2 x″ 0- 2 g ( ω ω 0 0 ω 2
周红庆1 , 高福顺2
( 1. 中原工学院 信息商务学院 , 河南 郑州 450007 ; 2. 北华大学 数学学院 , 吉林 吉林 132033 )
摘要 : 首先介绍了解非线性振动方程的 L -P 摄动法和 K ry lov 展开法 , 然后对两种 方法进行 了比较 . 比较可知 , 对 恢复力是位移奇函数的单自由度保守振动系统 Kry lov 展开 法适用范围比 L -P 摄动法广 泛 ; 对恢复力是位移一般 函数的单自由度保守振动系统两者都仅适用于弱非线性系统 . 两个典型例子验证了结论的正确性 . 关键词 : 摄动法 ; 奇非线性振动系统 ; 一般非线性振动系统 中图分类号 : O322 文献标识码 : A
Ⅰ
Ⅰ
ω LP/ Te 1 . 092 49 1 . 015 04 1 . 002 93 1 . 000 40 1 . 000 01 0 . 999 992 0 . 999 668 0 . 998 705 0 . 997 125 0 . 963 526 0 . 917 349 0 . 865 536
第8卷 第6期 2007 年 12 月
北华大学学报( 自然科学版) JOU RNA L OF BEIHUA U NI VERSIT Y( Na tural Science)
Vol . 8 No . 6 Dec . 2007
文章编号 : 1009-4822( 2007) 06-0488 -05
解非线性振动方程的两种摄动法的比较
2 2 2 2 2 2 2 2 =ω 0
2
( 2. 7) ( 2. 8) ( 2. 9) ( 2. 10) ( 2. 11) ( 2. 12a) ( 2. 12b) ( 2. 12c)
+ε ω 1 +ε ω 2 + ….
2
这里省略了 x i( i > 2)的高次方程 . 同样 , 依次求解这些方程即可建立方程( 1. 1) 的解析逼近频率和相应 的周期解 . 2. 3 两种方法的比较 比较而言 , L-P 摄动法和 Krylov 展开法都需要系统含有小参数 ; L-P 摄动法还需要恢复力含有位移线 性项 , 而 Kry lov 展开法不要求系统含有位移的线性项 ; 此外 , 两种方法得到的第一个解析逼近解相同 . 尤 其值得注意的是 Krylov 展开法的高阶解析逼近频率需解非线性代数方程才可建立 , 而 L-P 摄动法则不 需要 .
ω ω / Te LP( K) 1 . 125 87 1 . 027 54 1 . 007 67 1 . 001 77 1 . 000 14 1 . 000 10 1 . 001 11 1 . 002 49 1 . 003 87 1 . 012 14 1 . 015 37 1 . 017 04 1 . 020 71 1 . 021 33 1 . 021 59
2
4 2
2
3A ε + , 32 ( 3. 5)
4 2
A ε + 3A ε Ⅱ A -32 A ε+2 Ⅱ 2 Ⅱ 4 cos ω K t + 1024( ω ) 1024 ( ω ) K K
5 2 32 A ε +3 A ε 3A ε Ⅱ 3A ε Ⅱ Ⅱ 2 Ⅱ 4 cos3 ω t cos5 ω K K t . 1024( ω 1024( ω 1024 K) K) 3 5 2 5 2
摄动法又称小参数法 , 源于天体力学 . “摄动” 原来是一个天文学上的名词 , 天体力学上将主星体以外 的天体引力的影响称为摄动 . 泊松和庞加莱等人较早地利用摄动法处理非线性问题 , 然而早期的摄动法给 出的解析逼近解是非一致有效的 , 原因是解中存在长期项 . 1882 年林滋泰德解决了摄动法的长期项问题 , 通过大量的观察 , 发现非线性系统自由振动的频率不再是常数 , 而与振幅有关 . 为此 , 引入新的时间变量 τ =ω t , 其中 ω 是小参数的函数 , 并把它也展成小参数的幂级数 , 再逐次调整这个级数的系数 , 就能逐一消 除长期项 , 从而建立起频率与振幅的关系 . 1892 年庞加莱证明了林滋泰德的展开技术是渐近的而且是一 致有效的 . 因此 , 该方法被称为 L indstedt-Poincaré( L-P)摄动法[ 1 -2] . 受林滋泰德的启发 , 克雷洛夫先将系 统频率的平方 ω 展开为小参数的幂级数 , 再从中反解出系统线性项系数并将之代入方程 , 然后逐步消除 长期项 , 得到一致有效的逼近频率和周期解 . 该方法被称为 Krylov 展开法 动方程的 L-P 摄动法及 Krylov 展开法 , 然后对两种方法进行了比较 .
0
x
= 0 处取得极小值 . 当恢复力 函数
- f( x )=- ω g( x) 是位移 x 的奇函数时 , 系统将在对称区间内振动 ; 当恢复力函数 - f ( x )是位 0 x -ε 移 x 的一般函数时 , 系统将在非对称区间内振动 . 系统( 1. 1) 的振动频率 、 周期和周期解都依赖于初始振幅 A . 下面我们分别介绍 L-P 摄动法和 Kry lov 展开法建立系统( 1. 1) 解析逼近周期解的过程 .
3 典型例子
下面以 Duffing 方程和耳膜振ov 展 开法 . 3. 1 Duff ing 方程 考虑下面的三次 Duffing 方程
490
北华大学学报( 自然科学版)
第8卷
x + x +ε ¨ ω = 0 , ﹒ x( 0)= 0 , x ( 0)= A , 相应地有 ,
2
x =x 0 + x 1 ε + x 2 ε +… , ω 相应的初始条件为 x 0( 0)= A , ﹒ x 0( 0)= 0 , x i( 0)= 0 , ﹒ xi ( 0)= 0( i = 1 , 2 , …) . 由式( 2. 8) 可解得 ω ω 0 = ω -ε 1 -εω 2 -… . 将式( 2. 7) 和( 2. 11) 代入方程( 1. 1) ,令 ε 的各次幂的系数分别为零 , 得 x 0 + ωx 0 =0 , ¨ x 1 + ωx 1 = ω ¨ x 0) , 1 x 0 -g ( x 2 + ωx 2 = ω ¨ x0 ) x1 , 2x0 +ω 1 x 1 -g x (
2 L-P 摄动法及 Krylov 展开法
2. 1 L-P 摄动法 引入新的变量 τ= ω t , 则方程( 1. 1) 化为 ω x″ +ω g( x )= 0 , x′ ( 0)= 0 , x ( 0)= A , 0 x +ε
收稿日期 : 2007-05-17 作者简介 : 周红庆( 1976 ), 男 , 助教 , 主要从事控制理论 、非线性力学研究 ; 高福顺( 1962 ), 男 , 教授 , 主要从事计算机辅助几何设计研究 .
2 ω 0 2 2 2 2
( 2. 2) ( 2. 3) ( 2. 4) ( 2. 5) ( 2. 6a) ( 2. 6b) ( 2. 6c)
x″ 0-
ω 1 ω 0
2
1 x″ x 0) x1 , 1 - 2 gx( ω 0
这里省略了 x i( i > 2)的高次方程 . 这些方程依次求解后即可建立方程( 1. 1) 的解析逼近频率和相应的周 期解 . 2. 2 Krylov 展开法 基于 Krylov 展开法[ 3-5] , 将方程( 1. 1) 的解 x ( τ )和频率的平方 ω 展成 ε 的幂级数 , 即
[3 -5] 2
. 我们首先介绍解非线性振
1 问题描述
考虑下面的非线性振动系统 x″+ω g( x )= 0 , x ′ ( 0)= 0 , x ( 0)= A ( ε≠ 0) . 0 x +ε 相应的势能函 数为 V ( x )=
2 2
( 1. 1)
ω 0x + 2
2
2
ε g( x) d x , 设其在平衡点 x ∫
Ⅱ xK ( t)= Ⅱ Ⅰ
( 3. 3)
4 +3 ε A Ⅰ Ⅰ A ε Ⅰ Ⅰ , x K ( t)= A cos ω cos3 ω K t + K t -cos ω K t) Ⅰ( 2 32 ω K
2
3
( 3. 4)
3A ε 3 A ε + + 64 4
3 5 2
2
4 2
1+
3A ε 3 A ε + 4 64
5 2
另一方面 , 直接积分方程( 3. 1) , 得精确频率[ 6] 为 ω e = π 1 +ε A ε A 2 , E( m ) , m = 2( 1 +ε A )
2 2
( 3. 6)
式中 , E ( m) 是第一类完全椭圆积分 . 将精确频率 ω 式( 3. 6) ) , 各解析逼近频率与精确频率的 ω ω / Te ( 式( 3. 2) ,( 3. 4) ) , ω 式 e( LP( K) LP/ Te ( ( 3. 3) ) 和ω 式( 3. 5) ) 列于表 1 . 表 1 中不完全列表明 L-P 摄动法在振幅较大时失效 . 需要指出的是 : K / Te( 当 ε< 0 时 , 振幅 A 应满足 A < 表 1 表明解析逼近频率
Ⅱ ω K Ⅱ Ⅰ Ⅰ Ⅱ
-1/ ε , 因为当 A =
-1/ ε 时方程( 3. 1)有周期是 + ∞ 的同宿轨 .
在振幅的全部取值范围内都有较高的逼近精度 .
表 1 各解析逼近频率与精确频率的比较 Tab. 1 Comparison of approximate frequencies with exact frequency ε A
2 2 4
2
3
( 3. 2)
和 ω LP =
Ⅱ x LP( t)= Ⅱ
3ε A 3 εA 1+ , 4 128
3 5 2 3 5 2 5 2
A ε 25 A ε Ⅱ A ε 3A ε Ⅱ A ε Ⅱ A + cos ω cos3 ω cos5 ω LP t + LP t LP t . 32 1024 32 128 1024 由 Krylov 展开法求得的前两阶解析逼近频率和周期解分别为 ω K = 和 ω K = 1+
2
ω e 0 . 506 353 0 . 670 733 0 . 784 553 0 . 878 790 0 . 961 637 1 . 036 72 1 . 138 91 1 . 231 85 1 . 317 78 1 . 976 02 2 . 462 17 2 . 866 64 5 . 454 81 7 . 161 61 8 . 533 59
2 ω 0
3
( 3. 1)
=1 , g ( x )= x . 利用 L-P 摄动法求得的前两阶解析逼近频率和周期解分别为 ω LP =
Ⅰ
3
4 +3 ε A Ⅰ Ⅰ ε A Ⅰ Ⅰ , x LP( t)= A cos ω ( cos 3 ω LP t + LP t -cos ω LP t) 2 32
( 2. 1)
第6期
周红庆 , 等 : 解非线性振动方程的两种摄动法的 比较
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式中 “′ ” 表示对变量 τ 求导 . 变量 τ 的引进使得方程( 2. 1) 的解是关于 τ 的以 2π为周期的周期函数 , 原方 程( 1. 1)的周期 T = 2π /ω . 2 [1 -2 ] 利用 L-P 摄动法 , 方程( 2. 1) 的解 x ( τ ) 和频率的平方 ω 可展成如下的幂级数 x =x 0 + x 1 ε + x 2 ε +… , ω =ω ω 0 +ε 1 +ε ω 2 + …. 相应的初始条件为 x 0( 0)= A , x′ ( 0)= 0 , 0 xi ( 0)= 0 , x′ 0)= 0( i = 1 , 2 , …) . i( 将式( 2. 2) 和式( 2. 3) 代入方程( 2. 1) ,令 ε 的各次幂的系数分别为零 , 得 x″ 0 +x 0 = 0 , x″ 1 + x 1 =x″ 2 + x 2 =ω 1 1 x 0) , 2 x″ 0- 2 g ( ω ω 0 0 ω 2
周红庆1 , 高福顺2
( 1. 中原工学院 信息商务学院 , 河南 郑州 450007 ; 2. 北华大学 数学学院 , 吉林 吉林 132033 )
摘要 : 首先介绍了解非线性振动方程的 L -P 摄动法和 K ry lov 展开法 , 然后对两种 方法进行 了比较 . 比较可知 , 对 恢复力是位移奇函数的单自由度保守振动系统 Kry lov 展开 法适用范围比 L -P 摄动法广 泛 ; 对恢复力是位移一般 函数的单自由度保守振动系统两者都仅适用于弱非线性系统 . 两个典型例子验证了结论的正确性 . 关键词 : 摄动法 ; 奇非线性振动系统 ; 一般非线性振动系统 中图分类号 : O322 文献标识码 : A
Ⅰ
Ⅰ
ω LP/ Te 1 . 092 49 1 . 015 04 1 . 002 93 1 . 000 40 1 . 000 01 0 . 999 992 0 . 999 668 0 . 998 705 0 . 997 125 0 . 963 526 0 . 917 349 0 . 865 536
第8卷 第6期 2007 年 12 月
北华大学学报( 自然科学版) JOU RNA L OF BEIHUA U NI VERSIT Y( Na tural Science)
Vol . 8 No . 6 Dec . 2007
文章编号 : 1009-4822( 2007) 06-0488 -05
解非线性振动方程的两种摄动法的比较
2 2 2 2 2 2 2 2 =ω 0
2
( 2. 7) ( 2. 8) ( 2. 9) ( 2. 10) ( 2. 11) ( 2. 12a) ( 2. 12b) ( 2. 12c)
+ε ω 1 +ε ω 2 + ….
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这里省略了 x i( i > 2)的高次方程 . 同样 , 依次求解这些方程即可建立方程( 1. 1) 的解析逼近频率和相应 的周期解 . 2. 3 两种方法的比较 比较而言 , L-P 摄动法和 Krylov 展开法都需要系统含有小参数 ; L-P 摄动法还需要恢复力含有位移线 性项 , 而 Kry lov 展开法不要求系统含有位移的线性项 ; 此外 , 两种方法得到的第一个解析逼近解相同 . 尤 其值得注意的是 Krylov 展开法的高阶解析逼近频率需解非线性代数方程才可建立 , 而 L-P 摄动法则不 需要 .
ω ω / Te LP( K) 1 . 125 87 1 . 027 54 1 . 007 67 1 . 001 77 1 . 000 14 1 . 000 10 1 . 001 11 1 . 002 49 1 . 003 87 1 . 012 14 1 . 015 37 1 . 017 04 1 . 020 71 1 . 021 33 1 . 021 59
2
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3A ε + , 32 ( 3. 5)
4 2
A ε + 3A ε Ⅱ A -32 A ε+2 Ⅱ 2 Ⅱ 4 cos ω K t + 1024( ω ) 1024 ( ω ) K K
5 2 32 A ε +3 A ε 3A ε Ⅱ 3A ε Ⅱ Ⅱ 2 Ⅱ 4 cos3 ω t cos5 ω K K t . 1024( ω 1024( ω 1024 K) K) 3 5 2 5 2
摄动法又称小参数法 , 源于天体力学 . “摄动” 原来是一个天文学上的名词 , 天体力学上将主星体以外 的天体引力的影响称为摄动 . 泊松和庞加莱等人较早地利用摄动法处理非线性问题 , 然而早期的摄动法给 出的解析逼近解是非一致有效的 , 原因是解中存在长期项 . 1882 年林滋泰德解决了摄动法的长期项问题 , 通过大量的观察 , 发现非线性系统自由振动的频率不再是常数 , 而与振幅有关 . 为此 , 引入新的时间变量 τ =ω t , 其中 ω 是小参数的函数 , 并把它也展成小参数的幂级数 , 再逐次调整这个级数的系数 , 就能逐一消 除长期项 , 从而建立起频率与振幅的关系 . 1892 年庞加莱证明了林滋泰德的展开技术是渐近的而且是一 致有效的 . 因此 , 该方法被称为 L indstedt-Poincaré( L-P)摄动法[ 1 -2] . 受林滋泰德的启发 , 克雷洛夫先将系 统频率的平方 ω 展开为小参数的幂级数 , 再从中反解出系统线性项系数并将之代入方程 , 然后逐步消除 长期项 , 得到一致有效的逼近频率和周期解 . 该方法被称为 Krylov 展开法 动方程的 L-P 摄动法及 Krylov 展开法 , 然后对两种方法进行了比较 .
0
x
= 0 处取得极小值 . 当恢复力 函数
- f( x )=- ω g( x) 是位移 x 的奇函数时 , 系统将在对称区间内振动 ; 当恢复力函数 - f ( x )是位 0 x -ε 移 x 的一般函数时 , 系统将在非对称区间内振动 . 系统( 1. 1) 的振动频率 、 周期和周期解都依赖于初始振幅 A . 下面我们分别介绍 L-P 摄动法和 Kry lov 展开法建立系统( 1. 1) 解析逼近周期解的过程 .
3 典型例子
下面以 Duffing 方程和耳膜振ov 展 开法 . 3. 1 Duff ing 方程 考虑下面的三次 Duffing 方程
490
北华大学学报( 自然科学版)
第8卷
x + x +ε ¨ ω = 0 , ﹒ x( 0)= 0 , x ( 0)= A , 相应地有 ,
2
x =x 0 + x 1 ε + x 2 ε +… , ω 相应的初始条件为 x 0( 0)= A , ﹒ x 0( 0)= 0 , x i( 0)= 0 , ﹒ xi ( 0)= 0( i = 1 , 2 , …) . 由式( 2. 8) 可解得 ω ω 0 = ω -ε 1 -εω 2 -… . 将式( 2. 7) 和( 2. 11) 代入方程( 1. 1) ,令 ε 的各次幂的系数分别为零 , 得 x 0 + ωx 0 =0 , ¨ x 1 + ωx 1 = ω ¨ x 0) , 1 x 0 -g ( x 2 + ωx 2 = ω ¨ x0 ) x1 , 2x0 +ω 1 x 1 -g x (
2 L-P 摄动法及 Krylov 展开法
2. 1 L-P 摄动法 引入新的变量 τ= ω t , 则方程( 1. 1) 化为 ω x″ +ω g( x )= 0 , x′ ( 0)= 0 , x ( 0)= A , 0 x +ε
收稿日期 : 2007-05-17 作者简介 : 周红庆( 1976 ), 男 , 助教 , 主要从事控制理论 、非线性力学研究 ; 高福顺( 1962 ), 男 , 教授 , 主要从事计算机辅助几何设计研究 .
2 ω 0 2 2 2 2
( 2. 2) ( 2. 3) ( 2. 4) ( 2. 5) ( 2. 6a) ( 2. 6b) ( 2. 6c)
x″ 0-
ω 1 ω 0
2
1 x″ x 0) x1 , 1 - 2 gx( ω 0
这里省略了 x i( i > 2)的高次方程 . 这些方程依次求解后即可建立方程( 1. 1) 的解析逼近频率和相应的周 期解 . 2. 2 Krylov 展开法 基于 Krylov 展开法[ 3-5] , 将方程( 1. 1) 的解 x ( τ )和频率的平方 ω 展成 ε 的幂级数 , 即
[3 -5] 2
. 我们首先介绍解非线性振
1 问题描述
考虑下面的非线性振动系统 x″+ω g( x )= 0 , x ′ ( 0)= 0 , x ( 0)= A ( ε≠ 0) . 0 x +ε 相应的势能函 数为 V ( x )=
2 2
( 1. 1)
ω 0x + 2
2
2
ε g( x) d x , 设其在平衡点 x ∫
Ⅱ xK ( t)= Ⅱ Ⅰ
( 3. 3)
4 +3 ε A Ⅰ Ⅰ A ε Ⅰ Ⅰ , x K ( t)= A cos ω cos3 ω K t + K t -cos ω K t) Ⅰ( 2 32 ω K
2
3
( 3. 4)
3A ε 3 A ε + + 64 4
3 5 2
2
4 2
1+
3A ε 3 A ε + 4 64
5 2
另一方面 , 直接积分方程( 3. 1) , 得精确频率[ 6] 为 ω e = π 1 +ε A ε A 2 , E( m ) , m = 2( 1 +ε A )
2 2
( 3. 6)
式中 , E ( m) 是第一类完全椭圆积分 . 将精确频率 ω 式( 3. 6) ) , 各解析逼近频率与精确频率的 ω ω / Te ( 式( 3. 2) ,( 3. 4) ) , ω 式 e( LP( K) LP/ Te ( ( 3. 3) ) 和ω 式( 3. 5) ) 列于表 1 . 表 1 中不完全列表明 L-P 摄动法在振幅较大时失效 . 需要指出的是 : K / Te( 当 ε< 0 时 , 振幅 A 应满足 A < 表 1 表明解析逼近频率
Ⅱ ω K Ⅱ Ⅰ Ⅰ Ⅱ
-1/ ε , 因为当 A =
-1/ ε 时方程( 3. 1)有周期是 + ∞ 的同宿轨 .
在振幅的全部取值范围内都有较高的逼近精度 .
表 1 各解析逼近频率与精确频率的比较 Tab. 1 Comparison of approximate frequencies with exact frequency ε A
2 2 4
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( 3. 2)
和 ω LP =
Ⅱ x LP( t)= Ⅱ
3ε A 3 εA 1+ , 4 128
3 5 2 3 5 2 5 2
A ε 25 A ε Ⅱ A ε 3A ε Ⅱ A ε Ⅱ A + cos ω cos3 ω cos5 ω LP t + LP t LP t . 32 1024 32 128 1024 由 Krylov 展开法求得的前两阶解析逼近频率和周期解分别为 ω K = 和 ω K = 1+
2
ω e 0 . 506 353 0 . 670 733 0 . 784 553 0 . 878 790 0 . 961 637 1 . 036 72 1 . 138 91 1 . 231 85 1 . 317 78 1 . 976 02 2 . 462 17 2 . 866 64 5 . 454 81 7 . 161 61 8 . 533 59
2 ω 0
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=1 , g ( x )= x . 利用 L-P 摄动法求得的前两阶解析逼近频率和周期解分别为 ω LP =
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4 +3 ε A Ⅰ Ⅰ ε A Ⅰ Ⅰ , x LP( t)= A cos ω ( cos 3 ω LP t + LP t -cos ω LP t) 2 32