数学归纳法(公开课教学PPT课件)
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n=k+1时应增加的式子； 3、第二步中证明n=k+1命题成立是全局的主体，主要注意两个
“凑”：一是“凑”n=k时的形式（这样才好利用归纳假设），二 是“凑”目标式。
.
11
课后作业
1、阅读作业：通读教材 2、书面作业：习题2.3A组第1，2题 3、弹性作业：简析我国古代烽火传递军情的
合理性 (可以上网查阅)
问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得 a1＝1,a2＝1, a3 ＝1, 于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。
问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2•180°，五边形的内 角和为3•180°，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) • 180°。
问题4：这是一盒白色粉笔，怎么证明他们是白的？一一检查 。
归纳基础；第二步是归纳假设，是推理的依据，是判断命题的正确性能
否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立”
称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步，
第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。
.
12
.
13
则 当n=k+1时，ak+1 = ak + d
= =
a
a
1 1
+(k-1)d+d +[(k+1)-1]d凑结论
∴当n=k+1时，结论也成立。
由(1)和(2)知,等式对于任何n∈ N *都成立。
.
7
注意
由以上可知，用数学归纳法需注意：
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为
“凑”：一是“凑”n=k时的形式（这样才好利用归纳假设），二 是“凑”目标式。
.
11
课后作业
1、阅读作业：通读教材 2、书面作业：习题2.3A组第1，2题 3、弹性作业：简析我国古代烽火传递军情的
合理性 (可以上网查阅)
问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得 a1＝1,a2＝1, a3 ＝1, 于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。
问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2•180°，五边形的内 角和为3•180°，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) • 180°。
问题4：这是一盒白色粉笔，怎么证明他们是白的？一一检查 。
归纳基础；第二步是归纳假设，是推理的依据，是判断命题的正确性能
否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立”
称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步，
第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。
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12
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13
则 当n=k+1时，ak+1 = ak + d
= =
a
a
1 1
+(k-1)d+d +[(k+1)-1]d凑结论
∴当n=k+1时，结论也成立。
由(1)和(2)知,等式对于任何n∈ N *都成立。
.
7
注意
由以上可知，用数学归纳法需注意：
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为
数学归纳法PPT教学课件
数学归纳法的未来发展
不断完善理论
随着数学理论的发展，数学归 纳法的理论和应用将不断完善
和丰富。
应用领域拓展
随着科技的发展，数学归纳法的 应用领域将不断拓展，应用于更 多领域。
创新教学方法
随着教育理论的发展，将不断创新 教学方法，提高数学归纳法的教学 效果。
在实际生活中的应用
数据分析
在商业、金融等领域，数学归 纳法被广泛应用于数据分析， 帮助企业做出正确的决策。
组合数学的应用
总结词
数学归纳法在组合数学中的应用非常广泛，通过验证 n=1时结论是否成立，再假设n=k时结论成立，推理出 n=k+1时结论也成立，从而得出所有正整数n的结论都 成立。
详细描述
数学归纳法在组合数学中的应用可以通过以下步骤来体 现：首先，验证n=1时结论是否成立，通常取1作为起 始值；接着，假设n=k时结论成立，即已经得出前k个 组合数的结论；最后，推理出n=k+1时结论也成立， 即通过前k个组合数的结论推导出前k+1个组合数的结 论，从而得出所有正整数n的结论都成立。这种方法通 常用于求解组合数的性质和公式，如C(n,k)、P(n,k)等 。
总结与展望
数学归纳法的优缺点
• 优点总结 • 直观易懂：数学归纳法是一种直观易懂的方法，易于学生理解和掌握。 • 严谨性强：数学归纳法是一种严谨的证明方法，可以有效地避免证明过程中的漏洞和错误。 • 应用广泛：数学归纳法在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。 • 缺点总结 • 使用条件限制：数学归纳法在使用上存在一定的限制，不适用于所有问题。 • 理解难度大：对于初学者来说，数学归纳法的理解难度较大，需要花费更多的时间和精力去掌握。 • 容易出错：在应用数学归纳法时，如果处理不当，容易出现错误和漏洞。
《数学归纳法》课件PPT
探究？
归纳奠基必不可少
1. 判断下列证明方法对不对？
假设n=k时，等式2+4+6+…+2n = n2+n+1成立，
就是 2+4+6+…+2k = k2+k+1. 那么n=k+1时，
2+4+6+…+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)
等式也成立.
=(k+1)2+(k+1)+1
故，等式 2+4+6+…+2n=n2+n+1对任意的 n N * 都成立.
(1)在第一步中的初始值n0不一定从1取起，证明时应 根据具体情况而定.
(2)在证明递推步骤时，必须使用归纳假设. 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k” 时命题形式的差别, 弄清左端应增加的项.
(3)两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立.
递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉.
12 23
k(k 1) k 1
则n k 1时，
111 1
1
12 23 34
k(k 1) (k 1)(k 2)
k
1
k 1 (k 1)(k 2)
k 1 k 1 k 2 (k 1) 1
即n)知，对一切正整数 n, 等式均成立.
练习： 1.用数学归纳法证明
数学归纳法
第一步 第n0块骨牌倒下 证明n=n0时命题成立
第二步
第k块倒下时， 第K+1块也会倒下
假设n=k(k≥n0)时命题 成立，证明n=k+1时 命题也成立
数学归纳法【公开课教学PPT课件】
因为(3k+1)·7k-1和9·(2k+3)·7k都能被9整除,所以(3k+1)·7k1+9·(2k+3)·7k能被9整除,即当n=k+1时,命题也成立,综合(1)(2)可 知,(3n+1)·7n-1(n∈N+)能被9整除.
反思感悟 用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中 拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除. 其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法 分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
点拨 数学归纳法一般被用来证明某些涉及正整数n的命题,n可 取无限多个值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用 数学归纳法证明。一般来说,从n=k到n=k+1时,如果问题中存在可 利用的递推关系,则可以用数学归纳法,否则使用数学归纳法就有 困难.
在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取1,也可能取0,2等
(2)数学归纳法:
数学归纳法可以用于证明与正整数 n 有关的命题.证明需要经
过三个步骤:
①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时命题成立. ②假设当n=k时(k∈N+,k≥n0)命题成立,
证明当n=k+1 时命题也成立.在完成了上述两个步骤之后,
就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都成立.
正解当 n=1 时,a1=3,当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=12an.
∵a1=3,
∴a2=12a1=32,a3=34,a4=38.
3,������ = 1,
猜想
an=
3 2������-1
反思感悟 用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中 拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除. 其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法 分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
点拨 数学归纳法一般被用来证明某些涉及正整数n的命题,n可 取无限多个值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用 数学归纳法证明。一般来说,从n=k到n=k+1时,如果问题中存在可 利用的递推关系,则可以用数学归纳法,否则使用数学归纳法就有 困难.
在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取1,也可能取0,2等
(2)数学归纳法:
数学归纳法可以用于证明与正整数 n 有关的命题.证明需要经
过三个步骤:
①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时命题成立. ②假设当n=k时(k∈N+,k≥n0)命题成立,
证明当n=k+1 时命题也成立.在完成了上述两个步骤之后,
就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都成立.
正解当 n=1 时,a1=3,当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=12an.
∵a1=3,
∴a2=12a1=32,a3=34,a4=38.
3,������ = 1,
猜想
an=
3 2������-1
数学归纳法(公开课教学PPT课件)
2
2
（2）假设当n k时等式成立，即
1 1 1 1 k
1 2 23 3 4
k(k 1) k 1
当n k 1时，
左边 (1 1) (1 1) ( 1 1 )
2 23
k 1 k 2
1 1 k 1 k 1 右边 k 2 k 2 (k 1) 1
即n k 1时等式成立。
a1 kd 右边 即当n k 1时，结论也成立。 结合（1）（2）可知，结论对一切正整数n都成立。
针对训练
练1.用数学归纳法证明等式
1 2
1 22
1 23
1 2n
1
1 2n
当n=k+1时， 左边
递推关系 归纳假设
右边
请你当个小老师
下面是一些同学用数学归纳法证明等式成立的解题过程， 请判断，它是否符合数学归纳法的证明要求？
3.数学归纳法证明命题的关键？ 在第二步归纳递推中要用到归纳假设。
课堂小结
4.数学归纳法体现的核心思想？ 递推思想. 用“有限”的推理，解决“无穷”的归纳。
作业布置
1.思考：已知数列an 满足an1
2
1 an
, a1
0, 试猜想并证明
an的通项公式。
2.课本P19，习题1-4.
数学归纳法（说课）
刘斌伟 2018.12.11
教材分析
教学方法
教学过程
教学反思
教学目标 教学重难点
设计思路 多媒体工具应
1 体会递推思想，理解数学归纳法的原理
逻辑核素推心养理
2 掌握数学归纳法证明数学命题的 两个步骤、一个结论
3 会运用数学归纳法证明一些与正整数有关 的简单恒等式
围 绕
反馈 练习
4-4数学归纳法 课件【共44张PPT】
检测篇·达标小练
1．一个关于自然数 n 的命题，如果证得当 n＝1 时命题成立，并在假设当 n＝ k(k≥1 且 k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当 n＝k＋2 时命题成立，那么综合上 述，对于( B )
A．一切正整数命题成立 B．一切正奇数命题成立 C．一切正偶数命题成立 D．以上都不对
解析：本题证明了当 n＝1,3,5,7，…时，命题成立，即命题对一切正奇数成立．A， C，D 不正确．故选 B.
检测篇·达标小练
课时作业
展视野•思维升华
课前篇·自主预习
知识点 数学归纳法
一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 n＝n0 (n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“当 n＝k(k∈N*，k≥n0) 时命题成立”为条件，推出当 “ n＝k＋1 时命题也成立”． 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立， 这种证明方法称为数学归纳法．
＝1 时，等式左边是 1＋a＋a2
.
解析：根据数学归纳法的步骤可知，当 n＝1 时，等式的左边应为 1＋a＋a2.
3．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．
证明：(1)当 n＝1 时，左边＝12－22＝－3， 右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)． 当 n＝k＋1 时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k ＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1) ＋1]，所以 n＝k＋1 时等式也成立， 根据(1)和(2)可知，等式对任何 n∈N＋都成立．
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变种三
多级数学归纳法：适用于需要多级递推的数学问题，对每一级分别 进行归纳证明。
数学归纳法与其他数学方法的结合
与数列求和结合
利用数学归纳法证明数列求和公式时，需要将数 列求和的公式与数学归纳法相结合。
与不等式证明结合
在证明不等式时，可以利用数学归纳法结合放缩 法、构造函数等方法进行证明。
与几何知识结合
古希腊数学家欧几里德在 《几何原本》中提出了类 似的归纳思想。
17世纪的归纳法
莱布尼茨在17世纪末提出 了形式化的数学归纳法。
现代的数学归纳法
现代的数学归纳法已经发 展成为一种非常严谨的证 明方法，广泛应用于各个 数学分支。
02
数学归纳法的原理
归纳基础步骤
归纳基础步骤
确定初始值，即n=1时， 命题成立。
数学归纳法优秀PPT课件
目录
• 引言 • 数学归纳法的原理 • 数学归纳法的证明方法 • 数学归纳法的应用实例 • 数学归纳法的扩展与深化 • 总结与展望
01
引言
什么是数学归纳法
数学归纳法是一种证明与自然 数有关的命题的数学方法。
它包括两个步骤：基础步骤和 归纳步骤，通过这两个步骤， 可以证明一个给定的命题对所 有的自然数都成立。
数学归纳法的应用范围
适用于证明与自然数有关的恒等式、不等式、级数求和等数 学问题。
数学归纳法的变种与推广
变种一
倒序数学归纳法：适用于需要逆序证明的数学问题，先从最后一 项开始证明，逐步推导到第一项。
变种二
分治数学归纳法：将问题分解为若干个子问题，分别对子问题进行 归纳证明，最后综合子问题的结论得出原问题的结论。
这种方法广泛应用于数学、物 理、工程等领域。
多级数学归纳法：适用于需要多级递推的数学问题，对每一级分别 进行归纳证明。
数学归纳法与其他数学方法的结合
与数列求和结合
利用数学归纳法证明数列求和公式时，需要将数 列求和的公式与数学归纳法相结合。
与不等式证明结合
在证明不等式时，可以利用数学归纳法结合放缩 法、构造函数等方法进行证明。
与几何知识结合
古希腊数学家欧几里德在 《几何原本》中提出了类 似的归纳思想。
17世纪的归纳法
莱布尼茨在17世纪末提出 了形式化的数学归纳法。
现代的数学归纳法
现代的数学归纳法已经发 展成为一种非常严谨的证 明方法，广泛应用于各个 数学分支。
02
数学归纳法的原理
归纳基础步骤
归纳基础步骤
确定初始值，即n=1时， 命题成立。
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目录
• 引言 • 数学归纳法的原理 • 数学归纳法的证明方法 • 数学归纳法的应用实例 • 数学归纳法的扩展与深化 • 总结与展望
01
引言
什么是数学归纳法
数学归纳法是一种证明与自然 数有关的命题的数学方法。
它包括两个步骤：基础步骤和 归纳步骤，通过这两个步骤， 可以证明一个给定的命题对所 有的自然数都成立。
数学归纳法的应用范围
适用于证明与自然数有关的恒等式、不等式、级数求和等数 学问题。
数学归纳法的变种与推广
变种一
倒序数学归纳法：适用于需要逆序证明的数学问题，先从最后一 项开始证明，逐步推导到第一项。
变种二
分治数学归纳法：将问题分解为若干个子问题，分别对子问题进行 归纳证明，最后综合子问题的结论得出原问题的结论。
这种方法广泛应用于数学、物 理、工程等领域。
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归纳步骤的正确性
归纳步骤必须严谨、准确， 确保从$n=k$到 $n=k+1$的推理过程无误， 才能保证数学归纳法的正 确性。
03 数学归纳法的证明方法
直接证明法
总结词
通过直接验证n=1和归纳假设验证n=k+1，逐步推导归纳步骤。
详细描述
在直接证明法中，首先验证基础步骤（n=1），然后提出归纳假设，即假设对 于某个自然数k，结论成立。接着利用归纳假设推导n=k+1时的结论，从而完成 归纳步骤。
归纳基础的作用
归纳基础的作用是提供一个初始 的判断依据，为后续的归纳步骤 提供支撑和依据。
归纳步骤
01
02
03
归纳假设
归纳假设是数学归纳法的 核心，即在$n=k$时命题 成立的基础上，推导出 $n=k+1$时命题也成立。
归纳推理
在归纳假设的基础上，通 过逻辑推理和演绎，推导 出$n=k+1$时命题成立的 过程称为归纳推理。
反向证明法
总结词
通过证明结论的反面不成立，从而证明原结论成立。
详细描述
在反向证明法中，首先提出结论的反面，然后试图证明这个反面不成立。如果反 面不成立，那么原结论必然成立。反向证明法常常用于解决一些不易直接证明的 问题，通过反证发现矛盾，从而得出原结论的正确性。
04 数学归纳法的应用实例
数列求和
详细描述
数学归纳法的变种包括但不限于超数 学归纳法、双数学归纳法和反向数学 归纳法等。这些变种可以使得证明更 加简洁、直观和易于理解。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
详细描述
二项式定理的证明过程可以通过数学归纳 法进行推导。通过归纳法的应用，我们可 以逐步推导出二项式定理的各项展开式， 从而证明了二项式定理的正确性。
《数学归纳法》课件
数学归纳法
REPORTING
• 数学归纳法简介 • 数学归纳法的原理 • 数学归纳法的应用实例 • 数学归纳法的注意事项 • 数学归纳法的扩展与深化
目录
PART 01
数学归纳法简介
REPORTING
数学归纳法的定义
数学归纳法是一种证明数列、组合数学等数学问题的方法，通过递推的方式，将 问题从n-1的情形推广到n的情形，从而完成对所有情形的证明。
详细描述
在应用数学归纳法时，首先需要验证初始条 件是否满足。初始条件通常是数学表达式在 某个特定值或某些特定值下的结果。验证初 始条件是为了确保递推的基础是正确的，从 而保证整个证明的正确性。
归纳递推步骤的正确性
总结词
确保归纳递推步骤的正确性是数学归纳法的 核心。
详细描述
归纳递推步骤是将问题从n个情况简化为n1个情况的推理过程。这个步骤必须正确无 误，否则整个证明就会失败。在验证归纳递 推步骤的正确性时，需要仔细检查每个步骤 的逻辑推理和数学运算，确保它们是正确的
归纳步骤
使用归纳假设来证明下一个 整数的结论，并逐步推导到 所有正整数。
PART 03
数学归纳法的应用实例
REPORTING
等差数列求和公式的证明
总结词
通过数学归纳法证明等差数列求和公式
详细描述
首先，验证基础步骤，当$n=1$时，公式成立。然后，假设当$n=k$时公式成立，推导当$n=k+1$时公式的成 立。最后，根据归纳法原理，得出结论：等差数列求和公式对所有正整数$n$都成立。
VS
详细描述
首先，验证基础步骤，当$n=1$时，公式 成立。然后，假设当$n=k$时公式成立， 推导当$n=k+1$时公式的成立。最后， 根据归纳法原理，得出结论：几何级数求 和公式对所有正整数$n$都成立。
REPORTING
• 数学归纳法简介 • 数学归纳法的原理 • 数学归纳法的应用实例 • 数学归纳法的注意事项 • 数学归纳法的扩展与深化
目录
PART 01
数学归纳法简介
REPORTING
数学归纳法的定义
数学归纳法是一种证明数列、组合数学等数学问题的方法，通过递推的方式，将 问题从n-1的情形推广到n的情形，从而完成对所有情形的证明。
详细描述
在应用数学归纳法时，首先需要验证初始条 件是否满足。初始条件通常是数学表达式在 某个特定值或某些特定值下的结果。验证初 始条件是为了确保递推的基础是正确的，从 而保证整个证明的正确性。
归纳递推步骤的正确性
总结词
确保归纳递推步骤的正确性是数学归纳法的 核心。
详细描述
归纳递推步骤是将问题从n个情况简化为n1个情况的推理过程。这个步骤必须正确无 误，否则整个证明就会失败。在验证归纳递 推步骤的正确性时，需要仔细检查每个步骤 的逻辑推理和数学运算，确保它们是正确的
归纳步骤
使用归纳假设来证明下一个 整数的结论，并逐步推导到 所有正整数。
PART 03
数学归纳法的应用实例
REPORTING
等差数列求和公式的证明
总结词
通过数学归纳法证明等差数列求和公式
详细描述
首先，验证基础步骤，当$n=1$时，公式成立。然后，假设当$n=k$时公式成立，推导当$n=k+1$时公式的成 立。最后，根据归纳法原理，得出结论：等差数列求和公式对所有正整数$n$都成立。
VS
详细描述
首先，验证基础步骤，当$n=1$时，公式 成立。然后，假设当$n=k$时公式成立， 推导当$n=k+1$时公式的成立。最后， 根据归纳法原理，得出结论：几何级数求 和公式对所有正整数$n$都成立。
《数学归纳法》课件ppt
= （k +1)[1+(2k +1)] = (k+1)2 ?为什么？
2
例:用数学归纳法证明
12 + 22 + 32 + + n2 = n(n +1)(2n +1) 6
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可.
2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0
(2)(归纳递推)是递推的依据
的值都是质数，提出猜想得到的．半个世 纪后，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉
（Euler）发现 225 ＝41294 967 297＝
6700417×641，从而否定了费马的推
测．没想到当n＝5这一结论便不成立．
举例说明：
一个数列的通项公式是：
an= (n2－5n+5)2 请算出a1=1，a2= 1，a3=1 ，a4= 1
观 察 数 列{an },已 知a1
1, an1
an 1 an
,
二、数学归纳法的概念：
证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法
来证明它们的正确性:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。
｛ 归纳法
完全归纳法 不完全归纳法
特点: 由特殊
一般
a2=a1+d a3=a1+2d a4…=a…1+3d
an=a1+(n-1)d
如何证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2 (n∈N*)
2
例:用数学归纳法证明
12 + 22 + 32 + + n2 = n(n +1)(2n +1) 6
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可.
2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0
(2)(归纳递推)是递推的依据
的值都是质数，提出猜想得到的．半个世 纪后，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉
（Euler）发现 225 ＝41294 967 297＝
6700417×641，从而否定了费马的推
测．没想到当n＝5这一结论便不成立．
举例说明：
一个数列的通项公式是：
an= (n2－5n+5)2 请算出a1=1，a2= 1，a3=1 ，a4= 1
观 察 数 列{an },已 知a1
1, an1
an 1 an
,
二、数学归纳法的概念：
证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法
来证明它们的正确性:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。
｛ 归纳法
完全归纳法 不完全归纳法
特点: 由特殊
一般
a2=a1+d a3=a1+2d a4…=a…1+3d
an=a1+(n-1)d
如何证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2 (n∈N*)
数学归纳法说课课件PPT
数学归纳法说课课件
目录
• 引言 • 数学归纳法基本概念 • 数学归纳法证明方法 • 数学归纳法解题技巧与实例分析 • 数学归纳法在数学竞赛中应用与拓展 • 数学归纳法教学设计与实施建议
01
引言
说课背景与目的
背景
介绍数学归纳法的起源、发展以 及在数学领域中的重要地位。
目的
阐述本次说课的目标，包括知识 传授、方法指导和能力培养等方 面。
当n=1时，左边=1，右边 =1(1+1)/2=1，命题成立。
数学归纳法应用举例
01
02
例2
基础步骤
证明n^3-n能被6整除，对于一切自 然数n都成立。
当n=1时，左边=1^3-1=0，能被6 整除，命题成立。
03
归纳步骤
假设当n=k时命题成立，即k^3-k能 被6整除，则当n=k+1时，左边 =(k+1)^3(k+1)=k^3+3k^2+3k+1-k1=k^3-k+3k(k+1)，由于k^3-k能被 6整除，且3k(k+1)能被6整除（因为k 和k+1中至少有一个是偶数），因此 当n=k+1时命题也成立。
思维能力和数学素养。
重点
数学归纳法的基本思想和步骤，如 何运用数学归纳法证明数学命题。
难点
归纳假设的提出和运用，如何从归 纳假设推导出结论。
教学方法选择和手段运用
教学方法
采用启发式教学法、讨论式教学法和案例式教学法相结合，引导学生主动思考、 积极参与。
教学手段
运用多媒体教学课件、黑板演示和实物展示等手段，帮助学生理解和掌握数学归 纳法的知识要点。
说课内容与结构
内容
目录
• 引言 • 数学归纳法基本概念 • 数学归纳法证明方法 • 数学归纳法解题技巧与实例分析 • 数学归纳法在数学竞赛中应用与拓展 • 数学归纳法教学设计与实施建议
01
引言
说课背景与目的
背景
介绍数学归纳法的起源、发展以 及在数学领域中的重要地位。
目的
阐述本次说课的目标，包括知识 传授、方法指导和能力培养等方 面。
当n=1时，左边=1，右边 =1(1+1)/2=1，命题成立。
数学归纳法应用举例
01
02
例2
基础步骤
证明n^3-n能被6整除，对于一切自 然数n都成立。
当n=1时，左边=1^3-1=0，能被6 整除，命题成立。
03
归纳步骤
假设当n=k时命题成立，即k^3-k能 被6整除，则当n=k+1时，左边 =(k+1)^3(k+1)=k^3+3k^2+3k+1-k1=k^3-k+3k(k+1)，由于k^3-k能被 6整除，且3k(k+1)能被6整除（因为k 和k+1中至少有一个是偶数），因此 当n=k+1时命题也成立。
思维能力和数学素养。
重点
数学归纳法的基本思想和步骤，如 何运用数学归纳法证明数学命题。
难点
归纳假设的提出和运用，如何从归 纳假设推导出结论。
教学方法选择和手段运用
教学方法
采用启发式教学法、讨论式教学法和案例式教学法相结合，引导学生主动思考、 积极参与。
教学手段
运用多媒体教学课件、黑板演示和实物展示等手段，帮助学生理解和掌握数学归 纳法的知识要点。
说课内容与结构
内容
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a1 kd 右边 即当n k 1时，结论也成立。 结合（1）（2）可知，结论对一切正整数n都成立。
针对训练
练1.用数学归纳法证明等式
1 2
1 22
1 23
1 2n
1
1 2n
当n=k+1时， 左边
递推关系 归纳假设
右边
请你当个小老师
下面是一些同学用数学归纳法证明等式成立的解题过程， 请判断，它是否符合数学归纳法的证明要求？
围 绕
反馈 练习
教 学
目
练
标
1
例
教学反思
教
学
教学重难点
重点
借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，
1
掌握数学归纳法的基本步骤。
运用数学归纳法证明一些有正整数有关的 2 简单恒等式。
教学重难点
1 理解数学归纳法证题的严密性和有效性。
难点
递推步骤中归纳假设的运用，即如何利用
2
假设证明当n=k+1时结论正确。
教学方法
启发探究式
多媒体工具应用
更为高效的查阅学生的解答过 程，覆盖面广，针对性强
an a1 (n 1)d
例1.证明首项为 a1，公差为d的等差数列an的通项公式为 an a1 n 1d
证明：（1）当n 1时，左边 a1,右边 a1,左边 右边，结论成立；
（2）假设n k(k 1)时命题成立，即ak a1 k 1d； 则当n k 1时，左边 ak1 ak d a1 k 1d d
数学归纳法
我们来玩游戏吧
一起看个小视频
“牌九”
课堂探究
1
第一个骨牌要倒下 （游戏开始的基础）
k
k+1
前一块骨牌倒下必会导致后一块骨牌也倒下 即第k（k≥1）块骨牌倒下，一定导致第k+1块骨牌倒下
（游戏继续的条件）
等差数列通项公式：an a1 n 1d
等差数列求和公式：Sn
na1
nn 1 d
统计结果直观呈现，有利于 形成教学反馈，了解学生对 知识的掌握程度
智慧课堂（平板）
教学过程
5.课堂引入 （创设情境）
1.课堂引入 （创设情境）
2.课堂探究 （启动思维）
3.方法形成 （类比联想）
4.典例剖析 （指导规范）
5.针对训练 （巩固提高）
6.教学反馈 （深化认识）
课堂环节
例习题设置
课外 延伸
3.数学归纳法证明命题的关键？ 在第二步归纳递推中要用到归纳假设。
课堂小结
4.数学归纳法体现的核心思想？ 递推思想. 用“有限”的推理，解决“无穷”的归纳。
作业布置
1.思考：已知数列an 满足an1
2
1 an
, a1
0, 试猜想并证明
an的通项公式。
2.课本P19，习题1-4.
数学归纳法（说课）
作业2：用数学归纳法证明： 1 1 1 13 （n 2）
n 1 n 2 2n 24
证明：当n 1时，左边 1 13 ,所以命题不成立。
2 24
应验证初始值n=3 时命题是否成立
作业3：用数学归纳法证明： 1 1 1 n (n N )
1 2 23
n(n 1) n 1
证明：（1）当n 1时，左边 1 ，右边 1 ，左边 右边，等式成立；
2
等比数列通项公式：an a1qn1
等比数列求和公式：Sn
a1 1 qn 1 q
q 1
方法形成
数学归纳法
(1)证明当n取 第一个值n0(n0∈N+) 时命题成立； 【归纳奠基】 【
(2)假设 当n=k（k≥n0,k∈N+)时命题成立， ；
（归纳假设）
归 纳
证明当n=k+1时命题也成立.
（归纳证明）
递 推
】 结合（1）（2），命题对从n0开始的所有正整数n都成立.【结论】
k
k+1
（游戏开始的基础和继续的条件缺一不可）
方法形成
在证明与正整数有关的数学命题时，可按以下步骤进行推理：
(1)证明当n取 第一个值n0(n0∈N+) 时命题成立；【归纳奠基】 【
(2)假设 当n=k（k≥n0,k∈N+)时命题成立， ；（归纳假设）
2
2
（2）假设当n k时等式成立，即
1 1 1 1 k
1 2 23 3 4
k(k 1) k 1
当n k 1时，
左边 (1 1) (1 1) ( 1 1 )
2 23
k 1 k 2
1 1 k 1 k 1 右边 k 2 k 2 (k 1) 1
即n k 1时等式成立。
由（1）（2）可知，对一切正整数，等式均成立。
课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？ 用于证明某些与正整数有关的数学命题。
课堂小结
2.数学归纳法证明命题的步骤？ (1)证明当n取第一个值n0(n0∈N+)时命题成立； (2)假设当n=k ( k ≥ n0) 时命题成立，证明n=k+1时命题也成立.
刘斌伟 2018.12.11
教材分析
教学方法
教学过程
教学思路 多媒体工具应用
课堂环节 例、习题设置
收获 反思
教学目标
1 体会递推思想，理解数学归纳法的原理
逻辑核素推心养理
2 掌握数学归纳法证明数学命题的 两个步骤、一个结论
3 会运用数学归纳法证明一些与正整数有关 的简单恒等式
归 纳
证明当n=k+1时命题也成立.
（归纳证明）
递 推
】 结合（1）（2），命题对从n0开始的所有正整数n都成立.【结论】
用“有限”的推理，解决“无穷”的归纳。
典例剖析
首项为a1，公差为 d的等差数列an的通项公式为 an a1 n 1d
a1 a1, a2 a1 d , a3 a2 d a1 2d , a4 a3 d a1 3d ,
针对训练
练1.用数学归纳法证明等式
1 2
1 22
1 23
1 2n
1
1 2n
当n=k+1时， 左边
递推关系 归纳假设
右边
请你当个小老师
下面是一些同学用数学归纳法证明等式成立的解题过程， 请判断，它是否符合数学归纳法的证明要求？
围 绕
反馈 练习
教 学
目
练
标
1
例
教学反思
教
学
教学重难点
重点
借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，
1
掌握数学归纳法的基本步骤。
运用数学归纳法证明一些有正整数有关的 2 简单恒等式。
教学重难点
1 理解数学归纳法证题的严密性和有效性。
难点
递推步骤中归纳假设的运用，即如何利用
2
假设证明当n=k+1时结论正确。
教学方法
启发探究式
多媒体工具应用
更为高效的查阅学生的解答过 程，覆盖面广，针对性强
an a1 (n 1)d
例1.证明首项为 a1，公差为d的等差数列an的通项公式为 an a1 n 1d
证明：（1）当n 1时，左边 a1,右边 a1,左边 右边，结论成立；
（2）假设n k(k 1)时命题成立，即ak a1 k 1d； 则当n k 1时，左边 ak1 ak d a1 k 1d d
数学归纳法
我们来玩游戏吧
一起看个小视频
“牌九”
课堂探究
1
第一个骨牌要倒下 （游戏开始的基础）
k
k+1
前一块骨牌倒下必会导致后一块骨牌也倒下 即第k（k≥1）块骨牌倒下，一定导致第k+1块骨牌倒下
（游戏继续的条件）
等差数列通项公式：an a1 n 1d
等差数列求和公式：Sn
na1
nn 1 d
统计结果直观呈现，有利于 形成教学反馈，了解学生对 知识的掌握程度
智慧课堂（平板）
教学过程
5.课堂引入 （创设情境）
1.课堂引入 （创设情境）
2.课堂探究 （启动思维）
3.方法形成 （类比联想）
4.典例剖析 （指导规范）
5.针对训练 （巩固提高）
6.教学反馈 （深化认识）
课堂环节
例习题设置
课外 延伸
3.数学归纳法证明命题的关键？ 在第二步归纳递推中要用到归纳假设。
课堂小结
4.数学归纳法体现的核心思想？ 递推思想. 用“有限”的推理，解决“无穷”的归纳。
作业布置
1.思考：已知数列an 满足an1
2
1 an
, a1
0, 试猜想并证明
an的通项公式。
2.课本P19，习题1-4.
数学归纳法（说课）
作业2：用数学归纳法证明： 1 1 1 13 （n 2）
n 1 n 2 2n 24
证明：当n 1时，左边 1 13 ,所以命题不成立。
2 24
应验证初始值n=3 时命题是否成立
作业3：用数学归纳法证明： 1 1 1 n (n N )
1 2 23
n(n 1) n 1
证明：（1）当n 1时，左边 1 ，右边 1 ，左边 右边，等式成立；
2
等比数列通项公式：an a1qn1
等比数列求和公式：Sn
a1 1 qn 1 q
q 1
方法形成
数学归纳法
(1)证明当n取 第一个值n0(n0∈N+) 时命题成立； 【归纳奠基】 【
(2)假设 当n=k（k≥n0,k∈N+)时命题成立， ；
（归纳假设）
归 纳
证明当n=k+1时命题也成立.
（归纳证明）
递 推
】 结合（1）（2），命题对从n0开始的所有正整数n都成立.【结论】
k
k+1
（游戏开始的基础和继续的条件缺一不可）
方法形成
在证明与正整数有关的数学命题时，可按以下步骤进行推理：
(1)证明当n取 第一个值n0(n0∈N+) 时命题成立；【归纳奠基】 【
(2)假设 当n=k（k≥n0,k∈N+)时命题成立， ；（归纳假设）
2
2
（2）假设当n k时等式成立，即
1 1 1 1 k
1 2 23 3 4
k(k 1) k 1
当n k 1时，
左边 (1 1) (1 1) ( 1 1 )
2 23
k 1 k 2
1 1 k 1 k 1 右边 k 2 k 2 (k 1) 1
即n k 1时等式成立。
由（1）（2）可知，对一切正整数，等式均成立。
课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？ 用于证明某些与正整数有关的数学命题。
课堂小结
2.数学归纳法证明命题的步骤？ (1)证明当n取第一个值n0(n0∈N+)时命题成立； (2)假设当n=k ( k ≥ n0) 时命题成立，证明n=k+1时命题也成立.
刘斌伟 2018.12.11
教材分析
教学方法
教学过程
教学思路 多媒体工具应用
课堂环节 例、习题设置
收获 反思
教学目标
1 体会递推思想，理解数学归纳法的原理
逻辑核素推心养理
2 掌握数学归纳法证明数学命题的 两个步骤、一个结论
3 会运用数学归纳法证明一些与正整数有关 的简单恒等式
归 纳
证明当n=k+1时命题也成立.
（归纳证明）
递 推
】 结合（1）（2），命题对从n0开始的所有正整数n都成立.【结论】
用“有限”的推理，解决“无穷”的归纳。
典例剖析
首项为a1，公差为 d的等差数列an的通项公式为 an a1 n 1d
a1 a1, a2 a1 d , a3 a2 d a1 2d , a4 a3 d a1 3d ,