二级倒立摆
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系统在θ1，θ2广义坐标下没有外力作用，所以有： L d L 0 dt 1 1 d L L 0 dt 2 (4) 2 将其在平衡位置附近进行泰勒级数展开，并线性化，有： (3)
ux
(5)
带入参数值，系统的状态方程为：
x 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 x 0 0 86.69 21.62 1 0 40.31 39.45 2 x 1 0 0 0 0 y 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 x 0 0 1 0 1 2 0 u 0 x 1 6.64 0 1 0 2 0.08
通过如下公式可以求得综合误差E和综合误差率EC 表达式：
K1 K 2 Kr 0 K2 K2 K2 E EC f1 ( x) K r 0 0 0 K2 0 0 0.1 0.53 1 0 0 0.63 0.06 0 0 K1 K
二级倒立摆自动起 摆[标清版].mp4
20
x 1 0 0 2 u 0 0 x 0 0 1 2
模糊控制器的设计
二级倒立摆系统有6个状态变量，直接进行模糊控制器设计， 模糊控制规则会很多，而过多的控制规则，会使控制器的设计 和系统的实时性都难以达到要求，所以需要对状态变量进行适 当的处理，以减少模糊控制器输入变量，同时又能更好的控制 倒立摆系统。 根据各个状态变量的特点和作用，引入两个综合变量E和 EC,其中E表示综合误差(小车的位移 x 、上摆的摆角 1、下摆的 、上摆的角速 摆角 2)，EC表示综合误差变化率（小车的速度 x ）。 、下摆的角速度 x1 度 2 1
（2）
其中TM，Tm1 ，Tm2 ，Tm3分别为小车的动能， 摆杆1 的动能，摆杆2 的动能和质量块的动能。
系统的势能为：
V Vm1 Vm2 Vm3 m1 y1 m2 y2 m3 y3 m1l1 cos1 m2 (2l1 cos1 l2 cos 2 ) 2m3l1 cos1
三、仿真结果
经过多次仿真，选定了合适的模糊控制器的参数，得到了比 较理想的曲线，当Ke=1.5，Kec=1.5，Ku=6时的效果比较好。 根据仿真结果，在实际的倒立摆实验装置上进行实时控制， 设计的二级倒立摆实时控制程序如图所示。
状态空 间方程
模糊控 制器
结论分析
从二级倒立摆的实时控制曲线上可以看出，小车位 移的平衡位置的大约在10 cm的地方， 摆角1的振动幅 值在0.08rad 范围内，摆角2振动幅值在0.05rad 以内， 控制的效果比较理想，系统稳定的响应时间在4s 之内。 实时控制结果证明模糊控制控制二级倒立摆系统具有很 好的稳定性和鲁棒性。
为了进行模糊化的处理，需要把变量E和EC的基本 论域利用量化因子转换到模糊集的论域。同样的，控制 量也必须转换到控制对象的基本论域这个过程利用比例 因子实现。输入变量E和EC的量化因子分别用Ke和Kec 表示，控制量的比例因子用Ku表示。二级倒立摆中先将 Ku取为定值，根据相关公式求得Ke和Kec，再根据曲线 进行调整。
2
0 X K2 K 2
0 X 1
E、EC、u 隶属度函数的设计
E和EC隶属度函数曲线
u的隶属度函数曲线
采用Mamdani 最小运算规则，根据输入/输出论域 上的模糊语言变量划分NB （负大），NM（负中）， NS（负小），ZO（零），PS（正小），PM（正中）， PB（正大），采用重心法解模糊，设计模糊推理规则如 下表所示。
状态空间表 达式已知
其中 K T Kr K K Kr K K 表示状态反馈增益矩阵， 1 2 1 2 通过求系统二次性能指标可得。性能指标：
1 T T J [ X QX U RU ] 2 0
求解Riccati可得最优性能。
PA AT P PBR1BT PT Q 0
14721472 马韶东
1
目录12 3二级倒立摆背景简介数学建模与模糊控制
仿真结果分析
一、技术背景简介
倒立摆是一种典型的高阶非线性、多变量、强耦合、 绝对不稳定的实验装置，它具有结构简单、成本低廉、 易于调整等特点，作为这样一个被控对象，只有有效 的控制策略才能够使其稳定，同时它也是检验各种控 制理论的实验平台。倒立摆系统涉及控制理论、计算 机控制、机器人技术等多个领域，并且结合了多种技 术，因此可以看作是典型的被控对象供科研人员研究。 倒立摆系统被广泛应用于双足机器人行走及火箭稳定 发射及飞行方面，对于多级倒立摆和复杂结构的倒立 摆进行控制更是近年来各科学领域不断研究，创新的 问题之一，所以对于倒立摆系统的研究具有深远的意 义。
二、数学建模
二级倒立摆示意图
二级倒立摆系统数学模型的建立基于以下假设： 1)每一级摆杆都是刚体． 2)驱动力与放大器输入成正比并无延迟的直接施加于小车 3)实验过程中的库仑摩擦、动摩擦等所有摩擦力足够小，在建模过 程中可忽略不计
根据牛顿力学、刚体动力学列写二级倒立摆的数学模 型，利用拉格朗日方程推导运动学方程： 拉格朗日方程为：
L ( q, q ) T ( q, q ) V ( q, q ) d L L fi dt q qi
i
（1）
其中L 为拉格朗日算子，q 为系统的广义坐标，T 为 系统的动能，V 为系统的势能，i=1，2，3…n，fi为 系统第i 个广义坐标上的外力。系统的广义坐标有3 个，分别为 x, 1 , 2 。
在matlab中用以下语句可得状态反馈增益阵K和满足黎 卡提方程的唯一对称正定解P。
Q 2 * eye(6), R 1.6,
T
P are( A, BB , Q), K inv( R) * B * P
可求得： K=[22.361 118.028 -223.62 22.947 2.179 -36.561] 至于Q和R矩阵的选取，则是根据LQR控制理论选取 的。因为Q和R阵与角速度大小以及跟随速度是耦合的, 所以一般情况下，如果增大R阵，则相应的控制力减小, 系统角速度减小，跟随速度变慢，变量响应速度相对减 慢。通过仿真试凑法最后再确定Q，R。
系统的动能为：
T TM Tm1 Tm2 Tm3
2 2 1 1 d ( x1 ) d ( y1 ) 1 2 m1l1 12 M x m1 6 2 2 dt dt 2 2 2 1 d ( x2 ) d ( y 2 ) 1 2 m2l2 m2 22 6 2 dt dt 2 2 1 d ( x3 ) d ( y3 ) m3 2 dt dt
E K1T X 1 k1
k2
k3 x 2 x3
T EC K 2 X 2 k 4
k5
x4 k6 x 5 x6
以E和EC作为模糊控制器的输入，基于Mamdani型 模糊推理规则设计一个双输入单输出模糊控制器，模糊 控制器的输出控制量u反馈给二级倒立摆系统，以实现 倒立摆系统的稳定控制，模糊逻辑控制框图如图1所示。
ux
(5)
带入参数值，系统的状态方程为：
x 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 x 0 0 86.69 21.62 1 0 40.31 39.45 2 x 1 0 0 0 0 y 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 x 0 0 1 0 1 2 0 u 0 x 1 6.64 0 1 0 2 0.08
通过如下公式可以求得综合误差E和综合误差率EC 表达式：
K1 K 2 Kr 0 K2 K2 K2 E EC f1 ( x) K r 0 0 0 K2 0 0 0.1 0.53 1 0 0 0.63 0.06 0 0 K1 K
二级倒立摆自动起 摆[标清版].mp4
20
x 1 0 0 2 u 0 0 x 0 0 1 2
模糊控制器的设计
二级倒立摆系统有6个状态变量，直接进行模糊控制器设计， 模糊控制规则会很多，而过多的控制规则，会使控制器的设计 和系统的实时性都难以达到要求，所以需要对状态变量进行适 当的处理，以减少模糊控制器输入变量，同时又能更好的控制 倒立摆系统。 根据各个状态变量的特点和作用，引入两个综合变量E和 EC,其中E表示综合误差(小车的位移 x 、上摆的摆角 1、下摆的 、上摆的角速 摆角 2)，EC表示综合误差变化率（小车的速度 x ）。 、下摆的角速度 x1 度 2 1
（2）
其中TM，Tm1 ，Tm2 ，Tm3分别为小车的动能， 摆杆1 的动能，摆杆2 的动能和质量块的动能。
系统的势能为：
V Vm1 Vm2 Vm3 m1 y1 m2 y2 m3 y3 m1l1 cos1 m2 (2l1 cos1 l2 cos 2 ) 2m3l1 cos1
三、仿真结果
经过多次仿真，选定了合适的模糊控制器的参数，得到了比 较理想的曲线，当Ke=1.5，Kec=1.5，Ku=6时的效果比较好。 根据仿真结果，在实际的倒立摆实验装置上进行实时控制， 设计的二级倒立摆实时控制程序如图所示。
状态空 间方程
模糊控 制器
结论分析
从二级倒立摆的实时控制曲线上可以看出，小车位 移的平衡位置的大约在10 cm的地方， 摆角1的振动幅 值在0.08rad 范围内，摆角2振动幅值在0.05rad 以内， 控制的效果比较理想，系统稳定的响应时间在4s 之内。 实时控制结果证明模糊控制控制二级倒立摆系统具有很 好的稳定性和鲁棒性。
为了进行模糊化的处理，需要把变量E和EC的基本 论域利用量化因子转换到模糊集的论域。同样的，控制 量也必须转换到控制对象的基本论域这个过程利用比例 因子实现。输入变量E和EC的量化因子分别用Ke和Kec 表示，控制量的比例因子用Ku表示。二级倒立摆中先将 Ku取为定值，根据相关公式求得Ke和Kec，再根据曲线 进行调整。
2
0 X K2 K 2
0 X 1
E、EC、u 隶属度函数的设计
E和EC隶属度函数曲线
u的隶属度函数曲线
采用Mamdani 最小运算规则，根据输入/输出论域 上的模糊语言变量划分NB （负大），NM（负中）， NS（负小），ZO（零），PS（正小），PM（正中）， PB（正大），采用重心法解模糊，设计模糊推理规则如 下表所示。
状态空间表 达式已知
其中 K T Kr K K Kr K K 表示状态反馈增益矩阵， 1 2 1 2 通过求系统二次性能指标可得。性能指标：
1 T T J [ X QX U RU ] 2 0
求解Riccati可得最优性能。
PA AT P PBR1BT PT Q 0
14721472 马韶东
1
目录12 3二级倒立摆背景简介数学建模与模糊控制
仿真结果分析
一、技术背景简介
倒立摆是一种典型的高阶非线性、多变量、强耦合、 绝对不稳定的实验装置，它具有结构简单、成本低廉、 易于调整等特点，作为这样一个被控对象，只有有效 的控制策略才能够使其稳定，同时它也是检验各种控 制理论的实验平台。倒立摆系统涉及控制理论、计算 机控制、机器人技术等多个领域，并且结合了多种技 术，因此可以看作是典型的被控对象供科研人员研究。 倒立摆系统被广泛应用于双足机器人行走及火箭稳定 发射及飞行方面，对于多级倒立摆和复杂结构的倒立 摆进行控制更是近年来各科学领域不断研究，创新的 问题之一，所以对于倒立摆系统的研究具有深远的意 义。
二、数学建模
二级倒立摆示意图
二级倒立摆系统数学模型的建立基于以下假设： 1)每一级摆杆都是刚体． 2)驱动力与放大器输入成正比并无延迟的直接施加于小车 3)实验过程中的库仑摩擦、动摩擦等所有摩擦力足够小，在建模过 程中可忽略不计
根据牛顿力学、刚体动力学列写二级倒立摆的数学模 型，利用拉格朗日方程推导运动学方程： 拉格朗日方程为：
L ( q, q ) T ( q, q ) V ( q, q ) d L L fi dt q qi
i
（1）
其中L 为拉格朗日算子，q 为系统的广义坐标，T 为 系统的动能，V 为系统的势能，i=1，2，3…n，fi为 系统第i 个广义坐标上的外力。系统的广义坐标有3 个，分别为 x, 1 , 2 。
在matlab中用以下语句可得状态反馈增益阵K和满足黎 卡提方程的唯一对称正定解P。
Q 2 * eye(6), R 1.6,
T
P are( A, BB , Q), K inv( R) * B * P
可求得： K=[22.361 118.028 -223.62 22.947 2.179 -36.561] 至于Q和R矩阵的选取，则是根据LQR控制理论选取 的。因为Q和R阵与角速度大小以及跟随速度是耦合的, 所以一般情况下，如果增大R阵，则相应的控制力减小, 系统角速度减小，跟随速度变慢，变量响应速度相对减 慢。通过仿真试凑法最后再确定Q，R。
系统的动能为：
T TM Tm1 Tm2 Tm3
2 2 1 1 d ( x1 ) d ( y1 ) 1 2 m1l1 12 M x m1 6 2 2 dt dt 2 2 2 1 d ( x2 ) d ( y 2 ) 1 2 m2l2 m2 22 6 2 dt dt 2 2 1 d ( x3 ) d ( y3 ) m3 2 dt dt
E K1T X 1 k1
k2
k3 x 2 x3
T EC K 2 X 2 k 4
k5
x4 k6 x 5 x6
以E和EC作为模糊控制器的输入，基于Mamdani型 模糊推理规则设计一个双输入单输出模糊控制器，模糊 控制器的输出控制量u反馈给二级倒立摆系统，以实现 倒立摆系统的稳定控制，模糊逻辑控制框图如图1所示。