第一章-第三讲(电偶极子和电场)

q pi ri rp q pi rpQ p
i
i
qni ri rn qni rnQn
i
i
参考点O到正电荷重心的矢径，Qp为正电荷总量。 参考点O到负电荷重心的矢径，Qn为正电荷总量。
电矩和电偶极矩
• 对于总电量为零的系统
Qp Qn Q
Q(rp
rn )
rp
+
令
l l rp rn
c os3
3 2
cos）
实际偶极子的多极展开式——实际 偶极子的电场
➢ 一个在原点的实际偶极子是两个单极子（+q）和（-q）在处的电 位迭加
p
1
4 0
qr 'n r n1
Pn
(c
os
)
n
1
4 0
qr 'n r n1
[Pn
cos(
)]
1
4
0
qr 'n r n1
Pn
(
c
os
)
p
n
1
4 0
n
不同极子分类
➢ 多极子可用多极强度来衡量，多极强度是标量
1. 单极子的单极强度是电量q； 2. 偶极子的偶极强度是偶极矩的模ql ；
3. 四极子的强度是q：l1l2 ； 4. 八极子的强度是q：l1l2l3 ；
单极子的多极展开式——单 极子场
➢ 任何电荷系统可以看成是一个单极子（例如分子中的电
场），它所形成的电场。
K0 dv'
电荷系统的总电量或单极矩
分子或离子中电荷系统多极展开 式
K1 r ' cosdv' cosdu du (r ' )r 'dv'
是电荷系统的偶极电矩在 r方向的分量。
K 2
1 r3
r '2 ( 3 cos2 1 cos )(r' )dv'
2
2
K0,K1,K2只决定于电荷分布，与 r 无关
y
3yz r5
z )
Ez
1
4 0
(3xz r5
x
3yz r5
y
3z 2 r 2 r5
z )
当 与z轴平行 z x y 0
Ex
1
4 0
3xz r5
Ey
1
4 0
3 yz r5
Ez
1
4 0
3z 2 r 2 ( r5
)
不同极子分类
➢ 多极子（一个实际偶极子建立的电场可以用多极子来展开）
1. 单极子：一个电荷 20极子 2. 偶极子：两个电荷 21极子 3. 四极子：两个相同的反平行排列的偶极子，这是一个平行四边形 22极子 4. 八极子：两个相同的反平行排列的四极子，这是一个平行六面体 23极子
均匀电场中的偶极子
0
M 0 M 0
w q
w q
势能最低，稳定平衡 势能最高，不稳定平衡
当把偶极子从 0转到任意 需施外力矩，
外力矩必须克服外电场转矩M而作功外力矩作功为：
A Md E sind E(1 cos )
0
0
同理当偶极子从 1转到 2 时，外力矩作功：
2
A E sind E(cos1 cos2 ) 1
r
r
单极子的多极展开式——单 极子场
利用 1 1 1 x 1 3 x2 1 3 5 x3 1 3 5 7 x4 ......
1 x
2 24 246 2468
对 （[ r ' ）2 2r ' cos ] 展开按升幂排列，则
r
r
（r) 1 [q qr' cos qr'2 ( 3 cos2 1) qr'3 (5 cos3 3 cos) ......]
位于距原点O为r '的点电荷q在场点处产生的电位：
（r)
4
0
q | r
r'
|
| r r' | (r 2 r '2 2rr ' cos )1/ 2 r{1 [( r ' )2 2 r ' cos ]}1/ 2
r
r
当 r ' 0.414 r
有 （| r ' ）2 2r ' cos | 1
Ql
O
rn
-
1. 对于正负电荷总量相等的系统，电矩被称为电偶极矩；
2. 偶极矩对于带有+Q和-Q相距的点电荷组成的系统称电偶极子；
3. 数学表达式为：
Ql
++++++++++++
E
P Ec
-----------------
在外电场下发生极 化的电介质
--
---
-
注入电荷的绝缘体 --驻极体
电矩和电偶极矩
结论：电荷分布的原子、分子或离子场源，在远离场源地方建立 的电位主要取决于幂级数展开式中第一个系数不为零的项。
分子或离子中电荷系统多极展开 式
1. 对原子分子来说,K 0 0 ,其电位主要取决于在原点的一个点偶极子
建立的场
K1 4 0r
2
项
2. 对于离子来说，K 0 0，不论K1和K2多大在离原点足够远的地方，
偶极子电场
➢ 参考点P电位：
P
q ( 1 1 ) q rn rp 4 0 rp rn 4 0 rnrp
➢ 点偶极子 l 0
r p rn r
+
l
-
rn r p ~ l cos
ql cos r 4 0r 2 4 0r 3
其电场称偶极子电场，简称偶极电场
偶极子电场
➢ 参考点P电场：
不同极子分类
➢ 多极子电荷系统可定量地用多极矩来描述，多极矩是张量
1. 单极子的单极矩是电量Q，标量，0阶张量； 2. 偶极子的偶极矩是矢量，一阶张量，在三维空间，3个分量； 3. 四极子的四极矩是二阶张量，32=9个分量； 4. 八极子的八极矩是三阶张量，33=27个分量； 5. 2n极子的2n极矩是n阶张量，有3n个分量；
理想偶极子（点偶极子）：
ql
nq
l
n
电荷配置 q nq
n
l l n
使保持常数
例 HCL就像一个点偶极子，若把H+和CL-各自看成离子，则q将等于电子电荷的
绝对值e，若把分子中所有电子的电荷集中考虑来决定负电荷重心
q ' 18e
l' l 18
它是把一个电子电量1.6 10-19C 与分子中正负电荷间距离1011 ~ 1010 m 的乘积数量级取作偶极矩单位的。
静电场中的电介质
电偶极子和电场
电矩和电偶极矩
• 点电荷q对某一定点O的电矩 ：
qr
与力矩对比
r
f
O点至q处的径向量
• 多点电荷系统，相对定点O的电矩：
qi ri
i
通常与参考点O位置有关
电矩和电偶极矩
若 qi 0 ，当参考点由O移至O’点时 i ri ri ro
系统电矩的变化量：
4 0 r r 2
r3 2
2 r4 2
2
写成通式：
（r) 1
4 0
qr 'n r n1
Pn
(cos
)
单极子的多极展开式——单 极子场
n=0 P0 = 1
n=1 P1 = cos
n=2
P2 =
3 2
cos2
1 2
n=3
P3 =
5 2
cos3
3 cos
2
1 由 r 的幂级数表示
（r)
1
4 0
[K0 r
r 4 0r 3
2. 点偶极子除原点外，全部空间均合适，实际偶极子 只有在远离原点的地方才适合，实际偶极子的远处
场才是偶极场，才被看成点偶极子。
偶极子电场
➢ 直角坐标系中，偶极电场的分解：
Ex
1
4 0
(3x2 r 2 r5
x
3xy r5
y
3xz r5
z )
Ey
1
4 0
3xy ( r5
x
3y 2 r2 r5
K1 r2

K2 r3
K3 r4
......]
0
1
2
3
......
单极子的多极展开式——单极子 场
第一项
0
1
4 0
q r
K0 q
第二项
1
K1
4 0r 2
K1
qr '
cos
cos
r0
第三项
2
K2
4 0r 3
K2
qr'2( 3 2
cos2
1) 2
第四项
3
K3
4 0r 4
K3
qr（ '3 5 2
r2
点偶极子
1
1
4 0
2qr '3 r4
(5 cos3
2
3 cos）
2
点八极子
2
1
4 0
2qr '5 r6
1 (63cos5
8
70cos3 15cos）
点三十二极子
可见实际偶极子的电场不等于点偶极子电场， 而是无数个点多极子电场的迭加
分子或离子中电荷系统多极展开 式
➢ 分子或离子中电荷系统的电场把原子，分子或离子作为场源， 在自身以外很远的地方建立电场，电荷连续分布：
电位主要取决于原点的一个点电荷，其电位 K0 对电介质来说， 4 0r
单极强度和偶极强度起主要作用，而其它电矩可以忽略。
均匀电场中的偶极子
➢ 偶极子放在均匀外电场时
ql
受到的合力为零
M
E
但力矩M不为零
-
+
E
偶极子在电场中的势能：
w
q1
q2
q(2
1 )
E
力矩的作用将偶极子 转到与电场一致的方向，且使势能最小
E
1
[ r 1 1 ( r)]
4 0
r3 r3
1 3r r3 r5
( r)
1
3
rr
E
[
]
4 0 r 5
r3
➢ 点偶极子的电场强度由两分量 ：
r 1. 一个分量沿 方向；
点偶极子产生的电位和电场随距离衰减比电荷要快
2. 一个分量沿 方向；
？
偶极子电场
➢ 实际偶极子 ：
1. 与点偶极子比较，场点P很远，r很大，则它们的电 场与电位表达式一样
q（i ri
ro
)
qi ri
qi ro ro
qi 0
i
i
i
i
值不随
ro
变化，为一恒定值。
此时电荷系统的电矩与参考点位置无关
电矩和电偶极矩
• 电荷重心
1. 正电荷重心：
2. 负电荷重心：
其中：
rp q pi r / q pi
i
rn qni ri / qni
i
qr 'n r n1
[Pn
(cos
)
Pn
(
c
os
)]
对于勒让德多项式
P 2
n
'
1
(
cos
)
P 2
n'
1
(cos
)
P2n' (cos ) P2n' ( cos )
实际偶极子的多极展开式——实际 偶极子的电场
（r)
1
2 0
n0
qr '2n1 r 2n2
P2n1
(c
os
)
0
1
4 0
2qr ' cos
1 dv'
4 0 R
在场点很远处 r r'
R (r 2 r '2 2rr ' cos )1 2
（r） 1 [1
4 0 r
dr '
1 r2
r
'
cosdv '
1 r3
r '2 ( 3 cos2 1 cos )dv' ......]
2
2
1 ( K0 K1 K 2 ......) 4 0 r r 2 r 3