高中数学(导数)学案
导数（复习01）
一．导数的概念
1.函数y =f (x )，如果自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量y ?=f (x 0+Δx )－f (x 0)，比值
y x ??叫做函数y =f (x )在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率，即y x ??=00()()f x x f x x +?-?。
2.如果当Δx →0时，
y x
??有极限，我们就说函数y =f (x )在点x 0处可导，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作f’(x 0)或y’|0x x =。即f (x 0)=0lim →?x y x ??=0lim →?x 00()()f x x f x x +?-?。 说明：
(1)函数f (x )在点x 0处可导，是指Δx →0时，y x ??有极限。如果y x
??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
(2) Δx 是自变量x 在x 0处的改变量，Δx ≠0时，而Δy 是函数值的改变量，可以是零。
二．导数的几何意义
1.函数y =f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y =f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率。也就是说，曲线y =f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是f ’(x 0)。相应地，切线方程为y －y 0= f ’(x 0)(x －x 0)。
三．常见函数的导出公式．
'0C =（C 为常数）；1()',*;n n x nx n Q -=∈ (sin )'cos ;x x = (cos )'sin ;x x =-
()';x x e e = ()'ln (0,1);x x a a a a a =>≠ 1(ln )';x x
=
1(log )'(0,1)ln a x a a x a =>≠. 四．两个函数的和、差、积的求导法则
法则1：[()()]''()'();u x v x u x v x ±=±
法则2：[()()]'()()()'();u x v x u x v x u x v x =+
法则3：2()'()()()'()'(()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x ??-=≠????
.
五．复合函数的导数
复合函数f(g(x))y =的导数和函数(x)u (u),y g f ==的导数之间的关系为
'''
y x u x u f ?=，即y 对x 的导数等于
)(u f 的导数与)(x u 的导数的乘积。
六．导数的应用
1. 一般地，设函数y =f (x )在某个区间可导，如果f ’(x )>0，则f (x )为增函数；如果f ’(x)<0，则f (x )为减函数；如果在某区间内恒有f ’(x )=0，则f (x )为常数；
2. 曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；
3. 一般地，在区间[a ,b ]上连续的函数f (x )在[a ,b ]上必有最大值与最小值。
①求函数f (x )在(a ,b )内的极值；
②求函数f (x )在区间端点的值?(a )、?(b )；
③将函数f (x )的各极值与?(a )、?(b )比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
练习
1.导数的概念
例题：
1.求曲线y ＝x 2在点(2，4)处的切线方程·
2.利用导数的定义求函数y
x =1处的导数。
3.已知函数f (x )=21(1)121(1)12
x x x x ?+????+>??≤, 判断f (x )在x ＝1处是否可导？
练习
1.已知函数 y ＝2x 3＋3，求 y ’．已知曲线上一点P ，P 点横坐标为x ＝1，求点P 处的切线方程和法线方程．
2．几种常见函数的导数
0.八个基本求导公式
)('C ＝ ； )('n x ＝ ；(n∈Q) )(sin 'x ＝ ， )(cos 'x ＝ ； )('x e ＝ ， )('x a ＝ ； )(ln 'x ＝ ， )(log 'x a ＝
基础例题
1.利用导数定义和导数公式两种方法求曲线y =1x
在点P (1，1)处的切线倾斜角及该点处的法线方程．
2.已知曲线y P (0，0)，求过点P 的切线方程.
3.函数和、差、积、商的导数
导数的四则运算 )('±v u ＝ ])(['x Cf ＝ )('uv ＝ ，)('v
u ＝ )0(≠v
习题
① y =3x 2＋x cos x ；② y =tan x x ； ③ y =x tan x －2cos x ；④ y =111x
+.
2.曲线y ＝x 3＋x －1上求一点P ，使过P 点切线与直线y =4x －7平行．
.
3.证明：过抛物线y ＝a (x －x 1)(x －x 2), (a ≠0，x 1＜x 2)上两点A (x 1，0)，B (x 2，0)的切线倾斜角互补．
4.复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数
设)(x u θ=在点x 处可导，)(u f y =在点)(x u θ=处可导，则复合函数)]([x f θ在点x 处可导， 且x u x u y y '?'='.
练习
1．函数y ＝(sin x 2)2
3是由函数y ＝ ，u ＝ ，v = 三个函数复合而成．
2．求下列函数的导数：
① y =(x 2+2x )3 ② y =2
54x e +
③y④y＝(sin x2)1 3
⑤y＝ln(x＋) ⑥y＝x3lig3x
⑦y=cos5
sin2
x
x
⑧y=x n, (x∈R+, n∈R).
3.若f(x)=x＋ln(x－5)，g(x)＝ln(x－1),解不等式f’(x)>g’(x).
5．函数的单调性和极值
1．求函数y＝e x－x＋1的单调区间。
2.讨论函数y =x －2sin x 在(0，2π)内的单调性.
3.已知函数f (x )＝lg(2)ax a -(a ＞0且a ≠1)在定义域(0，1)上是减函数，求a 的取值范围．
4.当x ＞0时，证明不等式ln(1)1x x x x
<+<+
5．设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，在x ＝1与x ＝－1处有极值，且f (1)＝－1，求f (x )表达式.