数字滤波器的原理与设计

e⎝ 2 ⎠
=
1+
Ts 2
+L
≈
1+
Ts 2
⎜⎛ −Ts ⎟⎞
e⎝ 2 ⎠
1−
Ts 2
+
L
1− Ts 2
⇔
s
=
2 T
⋅
z z
− +
1 1
=
2 T
⋅
1 1
− +
z z
−1 −1
• 通过双线性变换,也可由Z传递函数求出模
拟环节的S传递函数
• 4.4.5 差分代换法:用于PID控制器的离散化
s = 1− z −1 T
• 脉冲不变法:[bz, az] = impinvar(b, a, fs);
– sysd = filt(bz, az, Ts), Ts=1/fs
第4章 数字滤波器的原理与设计
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Gbp (s) = G(s) s= s2 +ωc2 ωc : 带通滤波器的中心频率, B : 带宽 B⋅s
第4章 数字滤波器的原理与设计
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4.4 IIR数字滤波器
• 先确定模拟滤波器的传递函数,然后确定与 模拟滤波器特性相近的数字滤波器的Z传递 函数,称为模拟滤波器的离散化.
• 4.4.1 冲击不变法性方法
G(
jω )
2
=
1+
(
1
ω
)2n
ωc
n : 传递函数阶次 ωc : 截止频率
第4章 数字滤波器的原理与设计
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• 滤波器的阶次越高,低通滤波特性越好 • 滤波器的极点可以解出为
jπ
⎢⎣⎡1+ 1+n2 k
⎤ ⎥⎦
s = ωc ⋅ e 2 : 分布在以ωc为半径的圆上
• 考虑到稳定性,只取左半平面的极点 • 例题(略)
=
T ⋅ (e−T − e−2T )z −1 (1 − e−T z −1)(1− e−2T z −1)
• 4.4.2 阶跃不变法性方法
– 要求在采样时刻,模拟滤波器的单位阶跃响应和 数字滤波器的单位阶跃响应相等.
G(z)
=
Z
⎡ ⎢⎣
G(s) s
⎤ ⎥⎦
÷
Z
⎡1 ⎢⎣ s
⎤ ⎥⎦
=
(1 −
z
−1
)
⋅
Z
– 要求在采样时刻,模拟滤波器的输出和数字滤波 器的输出是一样的.
G(z) = T ⋅ Z[G(s)]
第4章 数字滤波器的原理与设计
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[例题]已知 D(s) = 1
(s + 1)(Байду номын сангаас + 2)
用冲激不变法求 D(z)
D(z)
=
T
⋅
Z[D(s)]
=
T
⋅Z
⎡ ⎢⎣ (s
1 + 1)( s
+
⎤ 2) ⎥⎦
第4章 数字滤波器的原理与设计
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• 模拟滤波器D(s)离散为数字滤波器D(z)，不 同的方法有不同的离散化结果，那么到底 应采用哪一种离散化方法呢？
• 有人专门研究了这个问题，得出了三个结 论：
• 1、当采样频率Ws≥100Wmax，所有的离散 化方法都能具有理想的结果；
• 2、要使D(z)具有较好效果，采样频率
• 软件实现数字滤波器的优点
– 提供了多方面的适用性 – 系统更加可靠,避免模拟元件的老化和变质问题 – 能够得到较高的精度
第4章 数字滤波器的原理与设计
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4.2 数字滤波器的原理
• 本质上是差分方程
n
n
X(z)
y(k) = ∑ bi x(k − i) − ∑ ai y(k − i)
Y(z)
G(z)
第4章 数字滤波器的原理与设计
1. 几种常用的模拟滤波器 2. 模拟滤波器的离散化方法
第4章 数字滤波器的原理与设计
1
4.1 引言
• 滤波器
– 在信号中提取有用信号,屏蔽无用噪声的装置 – 收音机,电视机是典型的例子
• 控制器和控制系统也可以看成滤波器
– 从频率响应特性可以知道,它们是低通滤波器 – 可以用模拟装置实现,也可以用数字方式实现
i=0
i =1
数字滤波器的方框图
等效的Z传递函数为
G(z)
=
Y (z) X (z)
=
b0 + b1z −1 + ... + bn z−n 1+ a1z −1 + ... + an z −n
⎩⎨⎧所a有i不a全i =为00,非,递递归归型型
开环控制 闭环控制
第4章 数字滤波器的原理与设计
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• 从功能上分,滤波器分以下几种
用特征频率 确定增益
⎪⎧低频等效 : D(s) = s=0 = D(z) z=1 ⇒ kz
⎪⎩⎨高频等效 :
G(s)
s→∞
=
G(z)
=
z →1
G(eTs
)
s→
j ws 2
第4章 数字滤波器的原理与设计
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• 4.4.4 双线性变换法
– 从Z变换的定义出发,Z-S有近似代换
z = eTs =
⎜⎛ Ts ⎟⎞
按z = eTs映射
零点 : s − zi → z − eziT 0 ⋅ s +1 → (z +1)
极点 : s − pi → z − e piT (s + a)2 + b2 → 1 − 2e−aT z −1 cos bT + e−2aT z −2
D(z)
=
kz
(z
− e z1T )(z − e z2T )L(z − e zmT ) ⋅ (z + 1)n−m (z − e p1T )(z − e p2T )L(z − e pnT )
⎡G(s) ⎢⎣ s
⎤ ⎥⎦
第4章 数字滤波器的原理与设计
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• 4.4.3 零极点匹配法
– 从Z变换的定义出发,把S传递函数的极点映射 为Z传递函数的极点,并考虑到增益匹配
D(s)
=
ks
(s − z1)(s − (s − p1)(s −
z2)L(s − zm) p2 )L(s − pn )
⋅ (10s4+41)2 L4(0s4+31) n−m个（ 0⋅s+1)
– 低通滤波器：低于某频率的信号可以通过 – 高通滤波器：高于某频率的信号可以通过 – 带通滤波器：两个频率之间的信号可以通过 – 带阻滤波器：两个频率之间的信号不能通过
• FIR滤波器：有限冲击响应滤波器 • IIR滤波器：无限冲击响应滤波器 • 两种设计方法
– 模拟化设计：先设计模拟滤波器,再离散化 – 离散化设计：直接推导数字滤波器
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• 4.3.2 二项式滤波器
– 所有的极点位于剪切频率,都是实数极点,动态
响应比较慢
G(s)
=
(s
ωcn + ωc
)n
• 4.3.3 ITAE和贝塞尔滤波器
– ITAE:时间乘误差绝对值积分,指标取极小值的 传递函数,为ITAE滤波器
∫ J =
∞
t ⋅ e(t) dt
• 传递函数见表4.3-3
0
• 贝塞尔滤波器的传递函数见表4.3-4
第4章 数字滤波器的原理与设计
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4.3.4 其它类型的模拟滤波器
• 从低通滤波器的传递函数,通过适当的变换 关系,可以设计出其它类型的滤波器
• 高通滤波器:从低通滤波器导出
Ghp (s) = G(s) s=1 s
• 带通滤波器:从低通滤波器导出
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4.3 模拟滤波器
• 模拟滤波器是一种信号变换装置,它的特性 用S传递函数来描述，零位置误差系统为：
G(s)
=
Y (s) X (s)
=
sn
+
a1s n−1
an + L + an−1s
+
an
X(s)
Y(s)
G(s)
模拟滤波器的方框图
– 能以零稳态误差跟踪单位阶跃输入
• 4.3.1 巴特沃斯滤波器：最大平坦滤波器
Ws≥10Wmax；
• 3、双线性变换法是最好的离散化方法
第4章 数字滤波器的原理与设计
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4.5 用Matlab进行模型转换
• MatLab命令SYSD=c2d(SYS,T,Method)
– Method=‘zoh’，零阶保持器法，默认法 – Method=‘foh’，一阶保持器法 – Method=‘tustin’，双线性变换法 – Method=‘prewarp’，频率预扭曲双线性变换法 – Method=‘matched’，零极点匹配法