基于马尔科夫链模型的沪综指数预测_陈增辉

F I N ANC E&ECONOM Y　金融经济

基于马尔科夫链模型的沪综指数预测

□陈增辉

摘要:面临大盘的剧烈波动和调整,大盘的走势也越来越难判断,本文在当前股票市场的背景下,采用马尔科夫链的方法对沪综合指数的走势进行预测,通过马尔科夫的平稳分布和最终的稳态条件,计算出大盘涨、平、跌三个状态的概率分布,并对投资者提出一定的借鉴性建议。

关键字:股指预测;马尔科夫链;转移概率矩阵;稳态分布

一、引言

股票指数即股票价格指数。是由证券交易所或金融服务机构编制的表明股票行市变动的一种供参考的指示数字。由于股票价格起伏无常,投资者必然面临市场价格风险。

通常,大多数投资者或股民参考的均是上证指数,通过上证指数的波动来判断大盘的行情或板块的行情。上证股票指数系由上海证券交易所编制的股票指数,1990年12月19日正式开始发布。该股票指数的样本为所有在上海证券交易所挂牌上市的股票,其中新上市的股票在挂牌的第二天纳入股票指数的计算范围。该股票指数的权数为上市公司的总股本。由于我国上市公司的股票有流通股和非流通股之分,其流通量与总股本并不一致,所以总股本较大的股票对股票指数的影响就较大,上证指数常常就成为机构大户造市的工具,使股票指数的走势与大部分股票的涨跌相背离。上海证券交易所股票指数的发布几乎是和股市行情的变化相同步的,它是我国股民和证券从业人员研判股票价格变化趋势必不可少的参考依据。

以往对股票指数的研究大多以计量经济学为基础,国内外学者相继提出了G ARCH、ARF I M A、F I G ARCH、模糊算法、遗传算法等预测模型,这些非线性模型的提出,能够很好地反应经济现象中各因素的之间的内在关系,为决策者或投资者提供依据。但我国证券市场在功能上以筹资为主,优化资源功能相对较弱,上市公司普遍存在重筹资请转制的倾向,多数公司还没有形成有效的内部制衡机制,市场规模较小,相对法规不完善,监督力量薄弱和监管滞后等,因此中国的股票市场呈现出独特的规律。尤其是近几个月来大盘的疯狂调整使得投资者信心不足,无法判断大盘的最终走势。在此种情况下,本文意在通过随即过程的相关理论,运用马尔可夫链的相关方法,对我国股票市场进行实证研究,探讨我国股票市场的股票价格涨跌趋势,寻找我国股市行情变化的规律,为投资者提供相关的参考模型。

二、马尔科夫链的数学原理

(一)马尔科夫链的概念

假设随机过程{X(t),t∈T}其中时间T={0,1……},状态空间I={0,1……},若对任意的时刻n,以及任意状态i

,i1, i2,…,i n-1,i n,j,有:P{X(n+1)=j|X(n)=i n,X(n -1)=i n-1,…X(0)=i0}=P{X(n+1)=j|X(n)=

i n},上式说明随机变量X(n+1)的状态仅与X(n)的状态相关,而与前期的状态无关,这种特性称之为马尔科夫性或马氏性,具有马尔科夫性的随机过程称为马尔科夫链。所以若随机过程{X (t),t∈T}满足马尔科夫性,则称{X(t),t∈T}为马尔科夫链。

(二)马尔科夫链的特性

11马尔科夫性

从上式可以看出,预测X(n+1)时刻的状态仅与随机变量当前的状态X(n)有关,与前期状态无关,n+1时刻的状态的条件概率只依存当前时刻n的的状态。

21平稳分布性:

假设马尔科夫链的状态概率分布为{η(i),i∈I},I为状态空间,矩阵P=(P

ij

)为状态转移矩阵,其中i∈I,j∈I,I为状态空间。则此概率分布与转移矩阵一定满足:η(i)=∑

∞

j=1

η(j)P

ij ,我们称此种特性为马尔科夫链的平稳分布性。

31遍历性:

遍历性即指系统无论从哪个状态出发,经过足够长的时间,系统处于状态j的的概率一定稳定在η(j),j=0,1,…。用数学公式表达就是:li m

n→∞

P ij=η(j)。遍历性也可以理解为,无论系统从哪个状态出发,经过足够大步数的转移,达到状态j的概率η(j)接近于一个固定的常数。

由此我们可以得到:具有马尔科夫性的随机过程{X(t),t∈T},状态转移概率η(j)是方程组η(j)=∑

∞

j=1

η(j)P

ij

在满足条件η(j)≥0,∑η(j)=1下的唯一解。

41状态相通性:

即系统无论从哪个状态出发,经过有限步的转移一定可以达到相同的状态。

三、沪指马尔科夫链预测模型的构建

(一)假设

11自1997年以来我国沪市符合弱有效假定,当前股市走势包含和反映了历史信息。

21股指的变化过程为时间离散、状态离散的次马尔可夫过程。

(二)沪综指的状态空间的划分

将沪综指分为涨、平、跌三种状态进行分析,由于近期大盘调整趋势明显,大盘走势波动较大,所以将每日收盘价按照上下30个点的波动范围来界定沪指是否为涨、平、跌状态。其状态空间仅为3种,即I={1,2,3},分别代表涨、平、跌。本文采用较大大范围界定“平”状态,一方面是为了适应大盘当前的调整态势,

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理论探讨

便于建模,另一方面,计算的结果对于较为极端的走势反映会更加

明显,

(三)时间长度或转移步数的选择

在此模型种,状态转移步数为天数,所以在模型构建或数据的

选择时可根据具体情况选择数据区间,根据前人的研究,一般选择

40天以上的数据即可较准确的反映出单步转移概率。

(四)转移概率矩阵的设定

因为此状态空间只有3个状态,所以其状态转移矩阵为3阶矩

阵,设其n步转移概率矩阵为

P n=

11

P12P13

P21P22P23

P31P32P33

,根据马尔科夫性,可以得到下面的结

论:P

n

=P n1。则第n期的状态概率为π(n)=π(0)P n=π(0)

P n1

四、马尔科夫链模型的实证分析

(一)数据的选择

本文选择2008年6月6日前的40个交易日上证指数收盘价为

样本数据,并依据上面的模型来确定各个交易日的所处的状态。如

下表

4110涨4122涨5106平5116平5128涨

4111平4123涨5107跌5119平5129跌

4114跌4124涨5108涨5120跌5130涨

4115涨4125平5109跌5121涨602平

4116跌4128跌5112平5122跌6103平

4117跌4129涨5113跌5123平6104跌

4118跌4130涨5114涨5126跌6105平

4121平515涨5115平5127平6106平

(二)状态转移概率矩阵的计算

从上表可以看出,最后一期为,40个交易日内,x

1

=14,x2=

13,x3=13。因为最后一期状态为平,无后续状态,所以平即x2=

12。本文中,笔者采用频率的计算方法来计算各个状态之间的转移

概率矩阵,从而得出各个状态之间的转移概率矩阵为

P1=P11P12P13

P21P22P23

P31P32P33

=

4/144/146/14

2/124/126/12

6/135/132/13

=012860128601428 0116701333015 014620138501153

(三)依据转移概率矩阵的各期指数走势预测

根据马氏链过程,不同时期的状态概率可以由π(i)来表示,则π(i)=π(0)P

i

=π(0)P i1,其中π(0)为初始状态概率。因为最后一期状态为平,所以π(0)=(0,1,0)。

从而π(1)=π(0)P

1

=(01167,01333,015),依次可以求出π(2),π(3)…

π(n)=π(0)P

n

=(01293,01375,01332),n→∞可见,在未来短期内沪指以3715%的概率在30点内调整,最终将以调整下跌的趋势为主。

(四)依据稳态条件的模型求解模型求解

依据马尔科夫链系统稳定条件,

η=ηP

1

,η=(x1,x2,x3)

∑x i=1

,所以有

(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)

012860128601428

0116701333015

014620138501153

∑x i=1

求得,x

1

=01293,x2=01375,x3=01332

(五)结论与分析

从上面的计算结果我们可以看出,两种预测方法结论一致,随着交易日增加到足够多,沪综指最终以2913%的概率上涨,以3715%的概率持平,以3312%的概率下跌。说明只要交易日足够多,各个状态都是相通的,而且上涨、持平、下跌的概率基本相同。从短期上,该模型可以比较准确地预测沪综指的走势。计算结果表明,在短期内下跌的概率逐渐增大,说明沪指有回调的压力,在以后沪市走势将验证这一点。此外,沪指以3715%的概率持平,在30点内波动,说明大盘在今后一段时间内仍然以调整为主,并伴随着向下趋势的股指下跌。由于马氏链具有“无后效性”,所以在市场有效的条件下,预测股指走势比较准确。但是,应该注意到使用该模型的条件,即假定对初始向量的认定和转移矩阵概率的不变,应根据实际情况对初始向量和转移矩阵做出调整,以符合变化规律,提高预测可信度。

投资者或股民在未来短期内应仍以观望为主,不要贸然建仓,可以少量建仓,抓住短线反弹。对于大规模建仓的投资者,应等到调整或下跌有明显结束的信号时再考虑大规模建仓。

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(作者单位:中南大学商学院)

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