等比数列的前n项和裂项法
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http://wxc.833200.com wxckt@126.com
新疆奎屯
· 2007 ·
王新敞
奎屯
新疆
典例2
n
已知数列 a 的通项公式为
n
2 an (2 n 1)(2 n 1 1) 3
求 b 前项和 s n 。 3 2n 2n 解： bn a 2 (2n 1)(2n1 1)
本讲到此结束，请同学们 课后再做好复习. 谢谢！
再见！
王新敞 特级教师 源头学子小屋
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新疆奎屯
· 2007 ·
王新敞
奎屯
新疆
1 1 1 1 3 3 1 n n 3 1 3 1 2 3 1 2 3n 1
n
剩余项 前后对 称
思考：
是不是所有的裂项法 求和都是把一项裂为 两项的差呢？
典例3
已知等差数列 an 的通项公式 为 an 2n 1， 4n b (1) n 为偶数 ，求数列bn 的前 n 项和 Sn 。 令 ， a a 先裂项后还原配平 解：
人教A版必修五
第二章
数列
数列求和之裂项相消法求和(一)
宁夏中卫中学 张国峰
一、考情分析
数列求和是高考的重点和热点内容之一， 题型以解答题为主，主要考察等差、等比数列 的求和公式,以及应用错位相减法、裂项相消 法等方法求非等差、非等比数列的和。裂项法 是高考常考的一种重要求和法。 今天我们就一起探讨、学习如何利用裂项 相消法解决数列求和的问题。
3 1 1 3 1 1 2 21 1 2n 1 1 2 2n 1 1
n
3 2 1 2n 1 1
剩余项前 后对称
变式训练
∵ 解：
已知 前n 项和 s n 。
2 3n an ( n 2, n N )， n n 求数列 (3 3)(3 1)
三、微课小结 1、本节课学习的主要裂项形式有：
(1) 1 n (n 1)
1 n (n k ) 引申：
(2)
2n 1 1 (2n 1)(2n 1 1) 2 n 1 2 n 1 1
(3) ( 1) n 1
4n (2n 1)(2n 1)
( 1)
∴ Sn (1 3 ) ( 3 5 ) ( 5 7 ) ( 2n 3 2n 1) ( 2n 1 2n 1)
1
1
1
1
1
1
剩余项前 后对称
思考：若n为 奇数呢？
当n为奇数时，
∵ ∴
bn (1) n 1
1 1 4n 4n (1) n 1 ( 1) n 1 ( ) an an 1 (2n 1)(2n 1) 2n 1 2n 1
n
2n ， bn an
，
3 1 1 2 2n 1 2n 1 1
先裂项后还原配平
sn b1 b2 b3
bn
1 1 n n 1 1 2 1 2
3 1 1 1 1 1 2 2 3 2 2 1 2 1 2 1 2 1
n 1 n n n 1
∵
bn (1) n 1
1 1 4n 4n ( 1) n 1 ( ) (1) n 1 2 n 1 2 n 1 an an 1 (2n 1)(2n 1)
又 ∵ n 为偶数，
1 1 1
1 1 2n 2n 1 2n 1
ห้องสมุดไป่ตู้
二、典例剖析
典例1
求sn 1
an
1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4
1 1 2 3
n
, (n N * )
解：
1 2 1 1 2( ) 1 2 n n(n 1) n n 1
先裂项后 还原配平
1 1 1 1 1 1 1 Sn 2 1 2 2 3 n 1 n n n 1
1 2n 2 1 n 1 n 1
剩余项前后 对称
王新敞 特级教师 源头学子小屋
n 1
1 1 ( ) 2n 1 2n 1
微课小结
2、“裂项法”一般有两个特点： 一、是裂项后每个分式的分子相同； 二、是每项的分母都是两个数（也可能是三个 或更多）的乘积，且这两个数的第一个数是前 一项的第二个数，如果不具备这些特点，就要 进行转化。同时要明确消项的规律，一般情况 下剩余项是前后对称的。(续…)
Sn (1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( )( ) 3 3 5 5 7 2n 3 2n 1 2n 1 2n 1
1 2n 2 2n 1 2n 1
本题是正负相间裂项成两项 和的形式，要特别注意前后 项之间的关系！
an 的
先裂项后还原配平
2 3n 2 3n 1 1 1 an (3n 3)(3n 1) (3n 1 1)(3n 1) 3n 1 1 3n 1
1 1 n 1 n 1 3 1 3
∴
1 1 1 1 sn 1 2 2 3 3 1 3 1 3 1 3 1
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王新敞
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新疆
典例2
n
已知数列 a 的通项公式为
n
2 an (2 n 1)(2 n 1 1) 3
求 b 前项和 s n 。 3 2n 2n 解： bn a 2 (2n 1)(2n1 1)
本讲到此结束，请同学们 课后再做好复习. 谢谢！
再见！
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新疆
1 1 1 1 3 3 1 n n 3 1 3 1 2 3 1 2 3n 1
n
剩余项 前后对 称
思考：
是不是所有的裂项法 求和都是把一项裂为 两项的差呢？
典例3
已知等差数列 an 的通项公式 为 an 2n 1， 4n b (1) n 为偶数 ，求数列bn 的前 n 项和 Sn 。 令 ， a a 先裂项后还原配平 解：
人教A版必修五
第二章
数列
数列求和之裂项相消法求和(一)
宁夏中卫中学 张国峰
一、考情分析
数列求和是高考的重点和热点内容之一， 题型以解答题为主，主要考察等差、等比数列 的求和公式,以及应用错位相减法、裂项相消 法等方法求非等差、非等比数列的和。裂项法 是高考常考的一种重要求和法。 今天我们就一起探讨、学习如何利用裂项 相消法解决数列求和的问题。
3 1 1 3 1 1 2 21 1 2n 1 1 2 2n 1 1
n
3 2 1 2n 1 1
剩余项前 后对称
变式训练
∵ 解：
已知 前n 项和 s n 。
2 3n an ( n 2, n N )， n n 求数列 (3 3)(3 1)
三、微课小结 1、本节课学习的主要裂项形式有：
(1) 1 n (n 1)
1 n (n k ) 引申：
(2)
2n 1 1 (2n 1)(2n 1 1) 2 n 1 2 n 1 1
(3) ( 1) n 1
4n (2n 1)(2n 1)
( 1)
∴ Sn (1 3 ) ( 3 5 ) ( 5 7 ) ( 2n 3 2n 1) ( 2n 1 2n 1)
1
1
1
1
1
1
剩余项前 后对称
思考：若n为 奇数呢？
当n为奇数时，
∵ ∴
bn (1) n 1
1 1 4n 4n (1) n 1 ( 1) n 1 ( ) an an 1 (2n 1)(2n 1) 2n 1 2n 1
n
2n ， bn an
，
3 1 1 2 2n 1 2n 1 1
先裂项后还原配平
sn b1 b2 b3
bn
1 1 n n 1 1 2 1 2
3 1 1 1 1 1 2 2 3 2 2 1 2 1 2 1 2 1
n 1 n n n 1
∵
bn (1) n 1
1 1 4n 4n ( 1) n 1 ( ) (1) n 1 2 n 1 2 n 1 an an 1 (2n 1)(2n 1)
又 ∵ n 为偶数，
1 1 1
1 1 2n 2n 1 2n 1
ห้องสมุดไป่ตู้
二、典例剖析
典例1
求sn 1
an
1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4
1 1 2 3
n
, (n N * )
解：
1 2 1 1 2( ) 1 2 n n(n 1) n n 1
先裂项后 还原配平
1 1 1 1 1 1 1 Sn 2 1 2 2 3 n 1 n n n 1
1 2n 2 1 n 1 n 1
剩余项前后 对称
王新敞 特级教师 源头学子小屋
n 1
1 1 ( ) 2n 1 2n 1
微课小结
2、“裂项法”一般有两个特点： 一、是裂项后每个分式的分子相同； 二、是每项的分母都是两个数（也可能是三个 或更多）的乘积，且这两个数的第一个数是前 一项的第二个数，如果不具备这些特点，就要 进行转化。同时要明确消项的规律，一般情况 下剩余项是前后对称的。(续…)
Sn (1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( )( ) 3 3 5 5 7 2n 3 2n 1 2n 1 2n 1
1 2n 2 2n 1 2n 1
本题是正负相间裂项成两项 和的形式，要特别注意前后 项之间的关系！
an 的
先裂项后还原配平
2 3n 2 3n 1 1 1 an (3n 3)(3n 1) (3n 1 1)(3n 1) 3n 1 1 3n 1
1 1 n 1 n 1 3 1 3
∴
1 1 1 1 sn 1 2 2 3 3 1 3 1 3 1 3 1