输入过程和服务时间分布
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与这两个问题相关的还包括排队系统的统 计推断问题。
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(1)通过研究主要数量指标在瞬时或 平稳状态下的概率分布及其数字特征， 了解系统运行的基本特征。
(2)统计推断问题，建立适当的排队 模型是排队论研究的第一步，建立模型 过程中经常会碰到如下问题：检验系统 是否达到平稳状态；检验顾客相继到达 时间间隔的相互独立性；确定服务时间 的分布及有关参数等。
是一批，每批顾客的数目n是一个随机
变量。
9
二、服务时间分布
主要服务时间分布有： 定长分布、负指数分布、爱尔朗分布
10
1．定长分布
每一个顾客的服务时间 都是常数 ，此时服务时间t的分布函数 为： 1 x B(x) P(t x) 0 x
（4-7）
11
2．负指数分布
即各个顾客的服务时间相互独立，具有相同 的负指数分布：
（4-4）
6
3.爱尔朗输入.
这是指相继顾客到达时间间隔相互独立，
具有相同的分布，其分布密度为
a(t) (t)K1 et
(K 1)!
t0
（4-5）
其中k为非负整数。
其分布密度为：
7
a(t) (t) K 1 et
(K 1)!
t0
例某排队系统有并联的k个服务台，顾
客流为泊松流，规定第i,K+i,2K+i…个顾客排 入第i号台(i=1,2,…,K)，则第K台所获得的顾
1 e x , x 0
B(x)
0,
x0
(4-8)
其中>0为一常数，服务时间t的数学期望称为
平均服务时间。显然，对于负指数分布
12
E(t)
xdB(x)
xemxdx
1
0
0
(4-9)
13
3.爱尔朗分布
即每个顾客的服务时间相互独立，具有 相同的爱尔朗分布。其密度函数为
b(x) k(kx)k1 ekx , x 0 (4-10)
客流，即为爱尔朗输入流，其他各台，从它 的第一个顾客到达以后开始所获得的流也为 爱尔朗输入流。
此外，爱尔朗分布中，当K＝1时将化为
负指数分布。
8
4.一般独立输入。即相继顾客到达 时间间隔相互独立、同分布，分布函数
F(t)是任意分布，因此，上面所述的所
有输入都是一般独立分布的特例。
5.成批到达的输入。这时排队系统 每次到达的顾客不一定是一个，而可能
其中>0为一(常k 数1，)!此种的平均服务时间为：
E(t)
xb( x)dx
1
0
(4-11)
K=1 时 爱 尔 朗 分 布 化 归 为 负 指 数 分 布 ， 当 K→∞时，得到长度为1/的定长服务。
14
4.一般服务分布。所有顾客的服务 时间都是相互独立具有相同分布的随机
变量，其分布函数记B(X)，前面所述的
Vk
(t)
e t
(t) K
K!
K 0,1,2, （4-3）
其中参数>0为一常数，表示单位时间内
到达顾客的平均数，又称为顾客的平均到 达率。
5
对于泊松流，不难证明其相继顾客
到达时间间隔i，i=1,2,…是相互独立同
分布的，其分布函数为负指数分布：
1 et , t 0
Fi
(t
)
0,
t0
(i 1,2, )
第二节 输入过程和服务时间分布
一、输入过程
输入过程是描述各种类型的顾客以怎样的规律 到达系统，一般用相继两顾客到达时间间隔来描述 系统输入特征。
主要输入过程有：
定长输入、泊松输入、爱尔朗输入
1
1．定长输入
这是指顾客有规则地等距到达，每隔时间 到达一个顾客。这时相继顾客到达间隔的分
布函数F(t)为：
(2)无后效性。指在任意几个不相交的时间 区间内，各自到达的顾客数是相互独立的。即 以前到达的顾客情况，对以后顾客的到来没有 影响。否则就是关联的。
(3)单个性又称普通性。指在充分小的时段 内最多到达一个顾客。
因为泊松流实际应用最广，也最容易处理， 因而研究得也较多．
4
对于泊松流，在长度为t的时间内到达 K个顾客的概率vk(t)服从泊松分布，即
F (t)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
P{
t}
1, 0,
t t
(4-2)
例如，生产自动线上产品从传送带上进入包装 箱就是这种情况．
2
2、泊松(poisson)输入---最简单流
平稳性 无后效性
单个性
泊松输入 的三条件
3
(1) 平稳性。又称作输入过程是平稳的。 指在长度为t的时段内恰好到达k个顾客的概率 仅与时段长度有关，而与时段起点无关。
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(3)系统优化问题，又称为系统控制问题 或系统运营问题，其基本目的是使系统处于 最优或最合理的状态。系统优化问题包括最 优设计问题和最优运营问题，其内容很多， 有最少费用问题、服务率的控制问题、服务 台的开关策略、顾客(或服务)根据优先权的 最优排序等方面的问题。
18
结束放映
19
各种服务分布都是一般服务分布的特例。
5.多个服务台的服务分布。可以假 定各个服务台的服务分布参数不同或分 布类型不同。
6.服务时间依赖于队长的情况。指 服务员排队的人愈多，服务的速度也就 愈快。
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三、排队论研究的基本问题
排队论研究的首要问题是排队系统主要数 量指标的概率规律，即研究系统的整体性质， 然后进一步研究系统的优化问题。
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(1)通过研究主要数量指标在瞬时或 平稳状态下的概率分布及其数字特征， 了解系统运行的基本特征。
(2)统计推断问题，建立适当的排队 模型是排队论研究的第一步，建立模型 过程中经常会碰到如下问题：检验系统 是否达到平稳状态；检验顾客相继到达 时间间隔的相互独立性；确定服务时间 的分布及有关参数等。
是一批，每批顾客的数目n是一个随机
变量。
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二、服务时间分布
主要服务时间分布有： 定长分布、负指数分布、爱尔朗分布
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1．定长分布
每一个顾客的服务时间 都是常数 ，此时服务时间t的分布函数 为： 1 x B(x) P(t x) 0 x
（4-7）
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2．负指数分布
即各个顾客的服务时间相互独立，具有相同 的负指数分布：
（4-4）
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3.爱尔朗输入.
这是指相继顾客到达时间间隔相互独立，
具有相同的分布，其分布密度为
a(t) (t)K1 et
(K 1)!
t0
（4-5）
其中k为非负整数。
其分布密度为：
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a(t) (t) K 1 et
(K 1)!
t0
例某排队系统有并联的k个服务台，顾
客流为泊松流，规定第i,K+i,2K+i…个顾客排 入第i号台(i=1,2,…,K)，则第K台所获得的顾
1 e x , x 0
B(x)
0,
x0
(4-8)
其中>0为一常数，服务时间t的数学期望称为
平均服务时间。显然，对于负指数分布
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E(t)
xdB(x)
xemxdx
1
0
0
(4-9)
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3.爱尔朗分布
即每个顾客的服务时间相互独立，具有 相同的爱尔朗分布。其密度函数为
b(x) k(kx)k1 ekx , x 0 (4-10)
客流，即为爱尔朗输入流，其他各台，从它 的第一个顾客到达以后开始所获得的流也为 爱尔朗输入流。
此外，爱尔朗分布中，当K＝1时将化为
负指数分布。
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4.一般独立输入。即相继顾客到达 时间间隔相互独立、同分布，分布函数
F(t)是任意分布，因此，上面所述的所
有输入都是一般独立分布的特例。
5.成批到达的输入。这时排队系统 每次到达的顾客不一定是一个，而可能
其中>0为一(常k 数1，)!此种的平均服务时间为：
E(t)
xb( x)dx
1
0
(4-11)
K=1 时 爱 尔 朗 分 布 化 归 为 负 指 数 分 布 ， 当 K→∞时，得到长度为1/的定长服务。
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4.一般服务分布。所有顾客的服务 时间都是相互独立具有相同分布的随机
变量，其分布函数记B(X)，前面所述的
Vk
(t)
e t
(t) K
K!
K 0,1,2, （4-3）
其中参数>0为一常数，表示单位时间内
到达顾客的平均数，又称为顾客的平均到 达率。
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对于泊松流，不难证明其相继顾客
到达时间间隔i，i=1,2,…是相互独立同
分布的，其分布函数为负指数分布：
1 et , t 0
Fi
(t
)
0,
t0
(i 1,2, )
第二节 输入过程和服务时间分布
一、输入过程
输入过程是描述各种类型的顾客以怎样的规律 到达系统，一般用相继两顾客到达时间间隔来描述 系统输入特征。
主要输入过程有：
定长输入、泊松输入、爱尔朗输入
1
1．定长输入
这是指顾客有规则地等距到达，每隔时间 到达一个顾客。这时相继顾客到达间隔的分
布函数F(t)为：
(2)无后效性。指在任意几个不相交的时间 区间内，各自到达的顾客数是相互独立的。即 以前到达的顾客情况，对以后顾客的到来没有 影响。否则就是关联的。
(3)单个性又称普通性。指在充分小的时段 内最多到达一个顾客。
因为泊松流实际应用最广，也最容易处理， 因而研究得也较多．
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对于泊松流，在长度为t的时间内到达 K个顾客的概率vk(t)服从泊松分布，即
F (t)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
P{
t}
1, 0,
t t
(4-2)
例如，生产自动线上产品从传送带上进入包装 箱就是这种情况．
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2、泊松(poisson)输入---最简单流
平稳性 无后效性
单个性
泊松输入 的三条件
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(1) 平稳性。又称作输入过程是平稳的。 指在长度为t的时段内恰好到达k个顾客的概率 仅与时段长度有关，而与时段起点无关。
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(3)系统优化问题，又称为系统控制问题 或系统运营问题，其基本目的是使系统处于 最优或最合理的状态。系统优化问题包括最 优设计问题和最优运营问题，其内容很多， 有最少费用问题、服务率的控制问题、服务 台的开关策略、顾客(或服务)根据优先权的 最优排序等方面的问题。
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结束放映
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各种服务分布都是一般服务分布的特例。
5.多个服务台的服务分布。可以假 定各个服务台的服务分布参数不同或分 布类型不同。
6.服务时间依赖于队长的情况。指 服务员排队的人愈多，服务的速度也就 愈快。
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三、排队论研究的基本问题
排队论研究的首要问题是排队系统主要数 量指标的概率规律，即研究系统的整体性质， 然后进一步研究系统的优化问题。