第3章有限变形讲解

第3章 有限变形
§3.1 有限变形
这时说的变形，除连续性条件外，没有其余任何条件。

小变形：小位移，小转动，小应变，
)
(2
1
)
(2
1,,,,i j j i ij i j j i ij u u u u +=-=εω
有限变形：大位移，大转动，大应变
对于一个微小六面体：小变形下变为一个平行六面体 有限变形下仍变为一个平行六面体 这一条件不变
变形几何学方面来研究变形 四个问题： 1）记录
2）什么办法来描述 3）怎么度量
4）有没有办法将变形分解
§3.2 物体的构形和坐标系
物体：连续介质，变形前用0K 代表，变形后物体用t K 代表
0K ：物体，物质点的集合,被始构形(material configuration)； t K ：变形后的物体,现时构形(spatial configuration)，
P ：物质点
p ：空间点，物质点在空间所占的位置。

初始坐标系 ⅢⅡⅠX X X O -
k 1现时构形
ⅠX
ⅡX
ⅢX
)(K X P
)(k
x p
X
O
o
d
2x
x 3x
1x
u
现时坐标系 321x x x o -
构形：每一瞬时与物质点对应的空间点的集合。

0=t 瞬时，初始构形 0K
0K ：初始构形，X 点的坐标（K X ）
t K ：现时构形，（瞬时t 的构形），x 点的坐标（k x ） 全部采用直角坐标系
§3.3 描写物体运动和变形的方法
1． Lagrange 描述法
用物质坐标k X 作自变量（描述物体的运动和变形）
(,) (,)k k K t x x X t ==x x X
研究物质点在不同时刻所对应的空间点（着眼点：跟踪物质点运动状况）
2． Euler 描述法
用空间坐标k x 作自变量（描述物体的运动和变形）
(,) (,)K K k t X X x t ==X X x
研究空间点x 处对不同时刻流径这一空间的物质点（着眼点：跟踪在一个空间点上，不同时刻对应的物质点）
（前者跟踪同一个人，不同晚上睡不同的床位，后者跟踪同一张床，不同晚上由不同的人去睡）
位移点：u
=+-u d x X （其中d 不随时间而变，X 也与t 无关）
速度和加速度：分两种表述方法 1）Lagrange 法
22(,)
(,)
K K X t t
X t t ∂==
∂∂===
∂X v u x a v u
2）Euler 法：（研究流体的流动等）
(,)k x t =v v ——流场
(,)d
(,)d (,) k k k k k k
k
x t x x t t t x t x t v t x ∂∂∂==+∂∂∂∂∂=
+∂∂v v a v v v
物质导数=局部导数+迁移导数
§3.4 变形梯度
有限变形：记录（构形），描述⎩⎨⎧E
L
，度量（本节研究）
物体的有限变形的研究，离不开一点的领域，或取一个线元。

变形前线元：d d K K PQ X ==⋅X E 变形后线元：d d K k pq x ==⋅x e
x X d d →经历了一个长度的变化和方向的变化（它们的量都可能是很大的）
1）Lagrange 法：物质坐标K X ——自变量
p 点：),(t X x x K k k =
q 点：),d (d t X X x x x K K k k k +=+
求d x ：
K K
k
K k K K k k X X x t X x t X X x x d ),(),d (d ⋅∂∂=
-+= K K k k X X x x d d ∂∂=
表示d x 和d X 的关系（可见K
k X x
∂∂的重要性） K
k
X x ∂∂称为物质变形梯度张量F （称为“物质”的理由是物质坐标下的）。

即 K k K
k kK
x X x F ,简写=∂∂= d d d d k kK K x F X ==x F X 变形前后线元之间的关系（包含了长度和方向） （*）
x Ⅰ2
变形前d x （方向、长度）
变形后d x （方向、长度）
下面验证F 是一个二阶张量
km lm kl m l kl m l kl m k K
M M m m k K k q q x x
q x x q x x X X X x x x X x ==∂∂=∂∂=∂'∂'∂∂⋅∂∂⋅∂'∂='∂'∂δ
类似
KM K
M
Q x X ='∂∂ 即 T
'=⋅⋅F q F Q
∴F 为二阶张量，关系到两个坐标系，称为两点张量。

k
k K K
x X ∂=
⊗∂F e E F 对应于一个线性变换，（从（*）式看），包含了方向和长度的变换。

由此可见，F 包含了全部的有限变形信息。

Grad ∂=
=∂x
F x X
（所以称为变形“梯度”） kK k K F =⊗e E k
k K K
x X ∂=
⊗∂e E （各种不同的写法） r '=F qFQ
2）Euler 法：用空间坐标k x ——自变量，t 作参变量。

P 点（与p 对应的物质点）：),(t x X X k K K =
Q 点（与q 对应的物质点）
：),d (d t x x X X X k k K K K +=+ k k
K
K x x X X d d ⋅∂∂=
（知道现在线元，倒回去查原来的线元） 对应于一个由k x d 的线性变换。

空间变形梯度张量：1
-F
（ 以空间坐标为自变量）
1,grad K K k K k K k k
X X
x -∂∂=
==⊗=⊗∂∂F X E e X E e x 其实，F 与1
-F
互逆，所以以1
-F
定义。

§3.5 变形张量
回顾变形梯度张量：,d d =F x F X 包含了全部信息
变形张量只研究其长度改变的信息（不包含方向改变） 1）Lagrange 描述法：K X 作为自变量 变形前d X 的长度2d :(d )d d K K L L X X =⋅ 变形后d x 的长度2d :
(d )d d d d k k kl k l l l x x x x δ=⋅=⋅
上述K X d 应该是已知的，k x d 可求出的。

则
L
K L l K k kl L K lL kK kl L lL K kK kl X X x x X X F F X F X F l d d d d )d )(d ()d (,,2⋅=⋅==δδδ
L K L k K k X X x x d d dl)(,,2=∴
变形张量C （称为Green 变形张量） C 为正定的（0)d (2≥c ）
,,KL k K k L C x x =→C 为对称张量。

T ,,k K k L K L
x x ==⊗C F F
C E E
已知变形梯度张量可求出变形张量。

通过C 可直接算出长度的变化（优点）。

2）Euler 描述法：k x 作为自变量
变形后的长度l d ：k k x x l d d )d (2⋅= （作为已知的） 变形前的长度L d ：
2,,,,(d )d d d d d d d d K K KL K L KL K k L l k l K k L l k l L X X X X X X x x X X x x δδ=⋅=⋅==
Cauchy 变形张量1
-B
1,,1
11
()()
K k K l k l T
X X ----=⊗=B e e B F F
通过变形梯度张量可求出变形张量。

§3.6 变形梯度张量的极分解
变形梯度张量F 。

（若）F 是一个可逆张量，即1
-F
存在，则F 可写为：
=⋅F R U 或 =⋅F V R
右极分解 左极分解
上述分解存在且唯一的，R 是正常正交张量，表示转动，所以记为R ，U 和V 是对称、正定张量。

1．右极分解的证明
若 =⋅F R U 成立，且R 为正交张量，U 为对称正定张量。

T T T T T ()=⋅=⋅=⋅F R U U R U R
则 T T ()()=⋅⋅=⋅F F U R R U U U 又 T
=F F C 为正定的，对称轴，
∴ 由F 可找到U ，且U 为正定、对称的。

又 1
-=⋅R F U
T 1T
T
1
T
1
1
1
U
-----=⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=R U F R R U F F U U U U I
∴R 为正交张量。

2．右极分解的唯一性
设 ''=⋅=⋅F R U R U
T T 2
T
T
T
2
()()'''==⋅⋅'''''''==⋅=⋅⋅=U R F R R U
U U U U U UR R R R U U
'∴=U U ，由此可推得 '=R R
3． 左右极分解中的R 是相同的。

=F RU 又 *=⋅F V R
***T ***T *()()==⋅⋅=⋅⋅F VR R R V R R R V R
上式为一右极分解，因为右极分解是唯一的，则*
=R R 同时由上式可得：
T =⋅⋅U R V R U ：右伸长张量 V ：左伸长张量 U 和V 是相似张量。

则 T
=V RUR
§3.7 Lagrange 标架和Euler 标架
通过这两个标架的学习了解,,R U V 的几何意义。

=⋅⎧⎨
=⋅⎩F R U
F V R
d d =⋅x F X F 相当于一个变换。

变形后线元；变形前线元
1．右极分解
d d d =⋅=⋅⋅x F X R U X
将d X 先进行U 变换，再进行R 变换。

U 正定对称二阶张量， 对称张量，存在三个互相垂直的主方向，αM （1,2,3=α）
（ 正定）对应有三个主值（非负）
(111222333α)αα=Λ⊗=Λ⊗+Λ⊗+Λ⊗U M M M M M M M M
Lagrange 标架：123,,M M M 作为基矢 第一步：(d d α)αα⋅=Λ⊗⋅U X M M X
d d X αα=X M 也按Lagrang
e 标架分解。

()(d d d X X αααββα)αα
=Λ⊗⋅=ΛU X M M M M
第二步：d (d )⋅=⋅F X R U X 即 (d d X α)αα=Λx RM 又 (d d X α)αα=Λx m
则：αα=⋅m R M （变换后仍为矢量）
正交张量：有体内积性质，即，有αM 为单位矢量，正交变换后的αm 仍为单位矢量，但方向改变，且αM 仍为三个互为正交的。

αm 三个相垂直的方向——Euler 标架
根据前面两步可知：U 右伸长张量，R 转动张量。

２．左极分解
d d d ==⋅⋅x F X V R X
第一步：d d X αα⋅=⋅R X R M （保内性质）
d X αα=m （长度不变，但投影到Euler 标架上） 第二步：d ?⋅=V R X
令T
T
(α)αα==⋅Λ⊗⋅V RUR R M M R
d (α)α=Λ⊗m m
Euler 标架是V 的三个主方向，以123,,m m m 作为基矢。

设(α)αα=λ⊗V m m 则
)()Λ=ααλ(
∴U 和V 主方向不同，主值相等。

（∴U 和V 是相似张量） d d d d X (α)αα=⋅=⋅=λ⋅x F X V R X m
两个极分解是同样的结果，只是伸长与转动的顺序不同。

Lagrange 标架：U 主方向 αM Euler 标架：V 的主方向 αm
既不固定在空间，也不固定在物体上，由变形来确定的标架。

123,,e e e 与,,E E E Ⅰ
ⅡⅢ是分别固定在空间与物体上的。

§3.8 有限变形的应变张量
, , , , F C B U V 已学过不是应变张量。

小变形的应变张量 应变定义：
000
l l l l l l <<-1,-=-λ Hill 研究上述定义有三个含义：
①λ的递增函数（变形增加，则应变增加） ②1=λ时，应变=0
③应变对λ的导数=1 （1=λ时） 根据上述三条，推广 Hill 应变张量（有限变形）：
111222333()()()f f f f =λ⊗+λ⊗+λ⊗E M M M M M M
)(),(),(32λλλf f f 1为L 标架中的主应变，主应变是32,,λλλ1的函数。

条件：
a ）)λ(f 是λ的递增函数
b ）1=λ时，0=)λ(f
c ）1=)'λ(f ，当1=λ
理由，当是小变形时，可与原来的理论相通。

Seth 应变张量：
)1((2-21=
)n
n
f λλ n 取任意数满足Hill 条件。

()2)1(1)2n n
n
(ααα=λ-⊗E M M
Green 应变张量：1=n 2
(1)
2((1)11
()()22
f 1λ)=λ-2=-=-E U I C I 工程应变张量：2
1
=
n 1-=)λλ(f
(1)((1)α)(α)(α)=-=λ-⊗E U I M M
对数应变张量：0=n
⎰
==)l
l
l f n d ( (ελλ推广） 0ln ln ()(α)αα==λ⊗E U M M
Swainger 应变张量；2
1-
=n λ
λ1
-
1=)(f
1()2
11()(1)-αα(α)
=-
=-⊗λE
I M M U Almansi 应变张量：1-=n
2(1)
2((1)11()(1)22
f ----2(α)αα1
λ)=-λ2
=-=-λ⊗E I U M M
有限变形中，应变的定义并不明确，都可用，到底用哪一个好？
§3.9 Green 应变张量和Almansi 应变张量
线元长度公式 Lagrange 描述法：
22,,(d )d d (d )d d KL K L KL K L KL k K k L
L X X l C X X C x x δ=== Euler 描述法：
21
21,,(d )d d (d )d d kl k l
kl k l kl K k K l
L B x x l x x B X X δ--===
1． Green 应变张量：（也叫做Lagrange 应变张量）
采用Lagrange 描述法。

22(d )(d )()d d 2d d KL KL K L KL K L
l L C X X E X X δ-=-=
)(2
1
,,KL L k K k KL x x E δ-=
——Green 应变张量分量 1
()2
=-E C I
2．Almansi 应变张量（也叫做Euler 应变张量）
采用Euler 描述法
l k kl kl x x B L l d d )()d ()d (1
22--=-δ
)(211--=
kl kl kl B e δ ——Almansi 应变张量分量 ,,1
()2
kl K k K l X X δ=- 21
()2
-=-e I U
§3.10 用位移表示的Green 应变张量和Almamsi 应变张量
位移矢：=
-+u x X d
Lagrange 描述法
K K U =⋅u E K K D =d E
K K k k K K K K U x x D ∴=-+E e E E
令物质坐标系和空间坐标系之间的转移张量
kK k K δ=⋅e E
则 k kK K =δe E
K K k k K K K K U x X D ∴=-+E e E E
故 K k kK K K U x X D δ=-+
M l lM M M U x X D δ=-+
对 K X 求导：MK lM K l K M x U δδ-=,, 两边乘Mk δ：
Kk
K k Kk lk K l Mk MK Mk lM K l Mk K M x x x U δδδδδδδδ-=-=-=,,,,
kK Mk K M K k U x δδ+=∴,,
L
M K M K L L K KL kN L N kL kM K M kK L k K k KL U U U U U U x x C ,.,,,,,, ))(( )
)((+++=++==δδδδδ )(2
1
KL KL KL C E δ-=
)(2
1
,,,,L M K M K L L K KL U U U U E ++=
同样，可得
)(2
1
,,,,l m k m k l l k kl u u u u e -+=
对于微小变形：
)(2
1,,i j j i ij u u +=ε 两者没有区别，一般用Lagrange 描述法
)1 ,1(,,<<<<l k L K u u
是一对称应变张量，有6个应变分量（三个线应变，三个角应变）
在有限变形中，应变张量也是对称的，也有6个应变分量，但不是直接对应3个线应变和3个角应变，要通过一定的计算才能得出对应值。

（参考：B.B.诺沃日洛夫：非线性弹性力学基础）
§3.11变形协调方程
给定应变张量分量：E 或?
−−
→e u 在线弹性理论中，有生文南方程（6个协调方程） 在有限变形中：
)(2
1
KL KL KL C E δ-=
变形协调方程：0)(=KL C f Green 变形张量：
kl L l K k KL x x C δ,,=
kl LM l K k K LM L KM M KL x x C C C δ,,,,,)(2
1
=-+ 又,,,,,,()()kl k K kr rl k K kr r P P l k K KP P l x x x X x C X δδδδ=== 则：
,,,,,1
()2
KL M KM L LM K KP P l l LM C C C C X x +-= 两边乘以s r m K m S x X X ,,,，有
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1
()2
()()()S m K m KL M KM L LM K r S S m K m KP P l r S l LM k K k P S m K m r S P l l LM km k P S m r S P l l LM m P S m r S P l l LM SP r S P l l LM r P P l l LM rl l LM r LM
X X C C C x X X C X x x x x X X x X x x X x X x x X x X x x X x x X x x x δδδ+-========
即：
LM r S r K LM L KM M KL m K m S x x C C C X X ,,,,,,,)(2
1
=-+ 定义：第二类Christoffel 符号
)(2
1
,,,,,K LM L KM M KL m K m S S LM C C C X X -+=
Γ 则：S r S
LM LM r x x ,,⋅Γ= 再求一次偏导数：
T
r N T LM T r T SN S LM S r N S LM SN r S LM N
S r S
LM LMN r x x x x x x ,,,,,,,,,)( )( )(Γ+ΓΓ=Γ+Γ=Γ=
则：T r N T
LM T SN S LM LMN r x x ,,,])([Γ+ΓΓ= 又 T r M T
LN T
SM S
LN LNM r x x ,,,])([Γ+ΓΓ= 在欧几里德空间中，应有：
LNM r LMN r x x ,,=
则：0)()(,,=Γ-Γ+ΓΓ-ΓΓM T
LN N T LM T SM S LN T SN S LM
简记为：0=T
LMN R 称为变形协调条件（充分必要的）
M T
LN N T LM T SM S LN T SN S LM T LMN L R ,,)()(Γ-Γ+Γ-ΓΓ=
称为第二类Riemann ——Christoffel 张量（4阶张量）
第一类Riemann ——Christoffel 张量：
0==T
LMN KT KLMN R C R 也是变形协调的充分必要条件。

81个协调方程中只有6个是独立的（为什么只有6个， 其具有对称性）
KLMN R 的对称性质：
MNKL KLMN R R =，KLMN LKMN R R -=，KLMN KLMN R R -=
0=++KNLM KMNL KLMN R R R
,00 ,0 ,0 ,0======ⅢⅠⅢⅡⅢⅠⅢⅠⅡⅢⅡⅠⅡⅢⅡⅢⅠⅡⅠⅢⅠⅡⅠⅡR R R R R R
§3.12 体元与面元的变化
C B A 、、三方向变形前的线元分别为：d ,d ,d A B C X X X
变形前体积：
d d (d d )
d d d d d d d d d A B C A
A A B
B B
C C C V X X X X X X X X X =⨯=X X X Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ
ⅡⅢⅠ
Ⅱ
Ⅲ
变形后体积：
123123123111222333d d (d d )
(d )(d d )
d d d d d d d d d d d d d d d d d d d a b C A B C A
A
A
K K
K K K K B
B
B
K K
K K K K C
C
C
K K
K K K K
A
A A B
B B C
C C v F X F X F X F X F X F X F X F X F X F F F X X X F F F X X X F F F X X X V
=⨯=⋅⋅⨯===⋅x x x F X F X F X F ⅠⅡ
ⅢⅠ
ⅡⅢⅠⅡⅢⅠ
ⅡⅢⅠⅡ
ⅢⅠ
Ⅱ
Ⅲ
令 J =F 则：
d det 0d v
J J V
==≠F ， （以前设：F 正定，可逆，这里得证）。

1变形前体积
变形后体积
x 2
面积变化
原始面积矢 d d A =A N （变形前）
其中任一线元d X ，其高与面积d A 构成初始体积
d d d V =⋅X A
现时面积矢d d =⋅a n a （变形后）
其中任一线元d x ，其高与面积矢d a 构成变形后体积
d d d v =⋅x a
d d d d v
J V
=
=⋅x F X 则：d d d d J ⋅=⋅a x A X d d d d J ⋅=⋅a F X A X 有： 1d d J -=a AF
1T d ()d J -∴=a F A ——Nanson 公式
,d d k K k K a JX A =
2
111
2T 2
d d a J J A ---⎛⎫== ⎪⎝⎭
N F F N N C N 或：2
21
d ()d a J A -⎛⎫= ⎪⎝⎭
nBn
回顾：引伸： 变形几何问题：
问题：是弹性变形还是塑性变形？ 小变形：e
P
=+εεε
有限变形中：可否进行上述分解？
有文献：E.H.Lee(1969),ASME,Trans Seienca E.JAM V o.36
提到：弹性变形是小变形，塑性变形是有限变形时，上述分解可用，但目前分析不清。