第3章有限变形讲解

第3章 有限变形

§3.1 有限变形

这时说的变形，除连续性条件外，没有其余任何条件。 小变形：小位移，小转动，小应变，

)

(2

1

)

(2

1,,,,i j j i ij i j j i ij u u u u +=-=εω

有限变形：大位移，大转动，大应变

对于一个微小六面体：小变形下变为一个平行六面体 有限变形下仍变为一个平行六面体 这一条件不变

变形几何学方面来研究变形 四个问题： 1）记录

2）什么办法来描述 3）怎么度量

4）有没有办法将变形分解

§3.2 物体的构形和坐标系

物体：连续介质，变形前用0K 代表，变形后物体用t K 代表

0K ：物体，物质点的集合,被始构形(material configuration)； t K ：变形后的物体,现时构形(spatial configuration)，

P ：物质点

p ：空间点，物质点在空间所占的位置。

初始坐标系 ⅢⅡⅠX X X O -

k 1现时构形

ⅠX

ⅡX

ⅢX

)(K X P

)(k

x p

X

O

o

d

2x

x 3x

1x

u

现时坐标系 321x x x o -

构形：每一瞬时与物质点对应的空间点的集合。

0=t 瞬时，初始构形 0K

0K ：初始构形，X 点的坐标（K X ）

t K ：现时构形，（瞬时t 的构形），x 点的坐标（k x ） 全部采用直角坐标系

§3.3 描写物体运动和变形的方法

1． Lagrange 描述法

用物质坐标k X 作自变量（描述物体的运动和变形）

(,) (,)k k K t x x X t ==x x X

研究物质点在不同时刻所对应的空间点（着眼点：跟踪物质点运动状况）

2． Euler 描述法

用空间坐标k x 作自变量（描述物体的运动和变形）

(,) (,)K K k t X X x t ==X X x

研究空间点x 处对不同时刻流径这一空间的物质点（着眼点：跟踪在一个空间点上，不同时刻对应的物质点）

（前者跟踪同一个人，不同晚上睡不同的床位，后者跟踪同一张床，不同晚上由不同的人去睡）

位移点：u

=+-u d x X （其中d 不随时间而变，X 也与t 无关）

速度和加速度：分两种表述方法 1）Lagrange 法

22(,)

(,)

K K X t t

X t t ∂==

∂∂===

∂X v u x a v u

2）Euler 法：（研究流体的流动等）

(,)k x t =v v ——流场

(,)d

(,)d (,) k k k k k k

k

x t x x t t t x t x t v t x ∂∂∂==+∂∂∂∂∂=

+∂∂v v a v v v

物质导数=局部导数+迁移导数

§3.4 变形梯度

有限变形：记录（构形），描述⎩⎨⎧E

L

，度量（本节研究）

物体的有限变形的研究，离不开一点的领域，或取一个线元。 变形前线元：d d K K PQ X ==⋅X E 变形后线元：d d K k pq x ==⋅x e

x X d d →经历了一个长度的变化和方向的变化（它们的量都可能是很大的）

1）Lagrange 法：物质坐标K X ——自变量

p 点：),(t X x x K k k =

q 点：),d (d t X X x x x K K k k k +=+

求d x ：

K K

k

K k K K k k X X x t X x t X X x x d ),(),d (d ⋅∂∂=

-+= K K k k X X x x d d ∂∂=

表示d x 和d X 的关系（可见K

k X x

∂∂的重要性） K

k

X x ∂∂称为物质变形梯度张量F （称为“物质”的理由是物质坐标下的）。 即 K k K

k kK

x X x F ,简写=∂∂= d d d d k kK K x F X ==x F X 变形前后线元之间的关系（包含了长度和方向） （*）

x Ⅰ2

变形前d x （方向、长度）

变形后d x （方向、长度）

下面验证F 是一个二阶张量

km lm kl m l kl m l kl m k K

M M m m k K k q q x x

q x x q x x X X X x x x X x ==∂∂=∂∂=∂'∂'∂∂⋅∂∂⋅∂'∂='∂'∂δ

类似

KM K

M

Q x X ='∂∂ 即 T

'=⋅⋅F q F Q

∴F 为二阶张量，关系到两个坐标系，称为两点张量。

k

k K K

x X ∂=

⊗∂F e E F 对应于一个线性变换，（从（*）式看），包含了方向和长度的变换。

由此可见，F 包含了全部的有限变形信息。

Grad ∂=

=∂x

F x X

（所以称为变形“梯度”） kK k K F =⊗e E k

k K K

x X ∂=

⊗∂e E （各种不同的写法） r '=F qFQ

2）Euler 法：用空间坐标k x ——自变量，t 作参变量。

P 点（与p 对应的物质点）：),(t x X X k K K =

Q 点（与q 对应的物质点）

：),d (d t x x X X X k k K K K +=+ k k

K

K x x X X d d ⋅∂∂=

（知道现在线元，倒回去查原来的线元） 对应于一个由k x d 的线性变换。

空间变形梯度张量：1

-F

（ 以空间坐标为自变量）

1,grad K K k K k K k k

X X

x -∂∂=

==⊗=⊗∂∂F X E e X E e x 其实，F 与1

-F

互逆，所以以1

-F

定义。

§3.5 变形张量

回顾变形梯度张量：,d d =F x F X 包含了全部信息