模糊数学理论基础

第四章：模糊数学理论基础。主要是对本文所需要的模糊数学的知识进行了介绍。首先对模糊集的诞生和发展的历史背景、目的和意义进行了论述；接着给模糊集的定义及其表示方法；紧接着介绍了模糊集的隶属函数的定义及确定隶属函数的方法；最后引入了目前比较热门的概念模糊熵及其性质。对这些知识的了解，将有助于我们自觉地或不自觉地应用到图像处理中去。

第四章模糊数学理论基础

传统的信息处理方法建立在概率假设和二态假设(Probality Assumption ＆Binary—State Assumption)的基础上。概率假设使传统的数学应用范围从确定性现象扩展到随机现象，二态假设对应了人类的精确思维方式。但自然界客观存在的事物除了可以精确表示之外，还存在着大量的模糊现象，如“年轻人”、“高个子”等，究竟多大年龄之间算“年轻”，多高个子为“高个子”，这是人们观念中的模糊的概念，模糊(Fuzzy)概念由此产生。模糊性也就是生活中的不确定性。实际上客观事物的不确定性除了随机性外，模糊性也是一种不确定性。所谓模糊性是指事物的性质或类属的不分明性，其根源是事物之间存在过渡性的事物或状态，使它们之间没有明确的分界线。

在自然科学中，人们长久以来习惯于追求精确性，总希望把事物以数学方式描述出来，然而，面对模糊现象，传统的数学方法遇到了实质性的困难。但对于人的大脑而言，它具有很高的模糊划分、模糊判断和模糊推理的能力，而且人们为了表达和传递知识所采用的自然语言中已巧妙地渗透了模糊性，并能用最少的词汇表达尽可能多的信息。但是，对于计算机来说，无论它怎样发展，总无法达到人脑的境界，所以，用计算机来处理模糊信息，就需要一种能够将模糊语言形式化的工具，用数学的方式处理这种模糊性。

L．A．Zade提出的模糊集概念将一般的集合以隶属函数的概念推广到模糊集。为模糊数学的发展与成熟奠定了深厚的基础。模糊集理论的出现引起了数学

界和科技工程界的极大兴趣并对其进行了广泛深入的研究，理论成果和应用成果不断出现，从而创建了一门新的科学——模糊数学。模糊集理论是对一类客观事物和性质更合理的抽象和描述，是传统集合理论的必然推广。模糊数学的一个重要特点，就是让数学反过来吸收人脑的模糊识别和判决特点，并将之运用于计算机，使部分自然浯言能够作为算法语言直接进入程序，使人们能够以简易的程序来调动机器完成复杂的任务，从而大大提高机器的灵活性。

4.1 模糊集的诞生及其发展情况

十九世纪晚期，德国数学家Cantor系统地研究了集合理论，创立了崭新的集合论，此后，许多数学家对集合论进行了深入研究，从而产生了许多新的理论基础分支体系，如微积分、概率论、抽象代数、拓扑学等等。Cantor对集合的定义是描述性的，他认为一个性质决定一个集合，所有满足该性质的个体称为该集合的元素。但是，在现实生活中，并不是所有的个体都可以用属于或不属于某个集合来划分，有很多个体，它们的性质可能具有不确定因素，正是为了解决这些不确定的、模糊的问题，1965年，美国加利福尼亚大学柏克莱分校的控制论专家查德教授(Zadeh)在《信息与控制》(Information and Contro1)杂志上发表了关于模糊集的开创性论文“模糊集合”(Fuzzy Sets)，他在研究人类思维、判断过程的建模中，提出了用模糊集作为定量化的手段。从此，模糊数学宣告诞生。

模糊集合是客观存在的模糊概念的必然反映。模糊概念就是边界不清晰，外延不确定的概念。以模糊集合代替原来的经典集合，把经典数学模糊化，便产生了以模糊集合为基础的模糊数学。模糊数学的出现，使人们对现象的非确定性的理解有了拓广与深化。模糊数学是研究模糊现象及其概念的新的数学分支学科。“模糊性”应理解为一种被定义了的概念，即客观事物处于共维条件下的差异在中介过渡阶段所呈现的亦此亦彼性。我国的学者陈守煌教授在创建模糊水文学过程中指出：“事物或现象从差异的一方到差异的另一方，中间经历了一个从量变到质变的连续过程，这是差异的中介过渡性，由中介过渡性而产生划分上的非确定性就是模糊性”。

目前研究模糊集理论的四支国际劲旅是中国、日本、欧洲和美国。我国在理论方面的研究水平已处于国际领先地位，如刘应明及王国俊在模糊拓扑学方面的研究，汪培庄及王光远的模糊集理论应用方面的研究，吴从忻在模糊线性拓扑

空间方面的研究，张文修在模糊测度方面的研究等，都居于世界领先水平，同时模糊数学的应用也已遍及自然科学与社会科学的几乎所有的领域。

4.2 模糊子集的定义及表示

设给定论域U ，U 到[]1,0闭区间的任一映射A μ

A μ： []1,0→U ()u u A μ→

都确定U 的一个模糊子集A ，A μ称为模糊子集的隶属函数，()u A μ称为u 对于A 的隶属度。隶属度也可记为()u A 。在不混淆的情况下，模糊子集也称为模糊集合。 上述定义表明。论域U 上的模糊子集A 由隶属函数()u A μ来表征，()u A μ取值范围为区间[]1,0，()u A μ大小反映了u 对于模糊子集的从属程度。()u A μ的值越接近于1，表示u 从属于A 的程度越高；()u A μ的值接近于0，表示u 从属于A 的程度越低。可见，模糊子集完全由隶属函数来描述。

当()u A μ的值域等于{}1,0时，()u A μ退化成一个经典子集的特征函数。模糊子集A 便退化成一个经典子集。由此不难看出，经典集合是模糊集合的特殊状态，模糊集合是经典集合概念推广。

模糊集合的表达方式有一下几种：

(一)当U 为有限集{}n u u u ,,,21 时，通常有如下三种方式：

（1）Zadeh 表示法

()()()n

n u u A u u A u u A A +++= 2211 其中()i

i u u A 并不表示“分数”，而是表示论域中的元素i u 与其隶属度()i u A 之间的对应关系。“+”也不表示“求和”，而是表示模糊集合在论域U 上的整体。且当某元素的隶属度为零时，可忽略不写。

（2）序偶表示法

()()()()()(){}n n u u A u u A u u A A ,,,,,,2211~

= 这种表示法是由普通集合的列举法演变过来的，它由元素和它的隶属度组成有序