数项级数概念性质

S 2 n S n n 1 1 n 1 2 2 1 n 2 1 n 2 1 n 1 2
矛盾
例. 判断级数敛散性:
n
(1) n1 100 n 1
n1
ln im unln im 10 n0 11
0 00
级数发散
(2)
(1)n
n
n1
n 1
ln i m un ln i m (1)n
ln i m Snln i m Sn1
判断级数发散
SS0
的第一步骤
注意:(1). 若 lnimun 0 ,则级数 n 1 u n 发散
(2). lnimun 0 时,级数 n 1 u n 不一定收敛
例如:调和级数
1111 23 n
1
ln imun
lim nn
0
但可以证明级数发散
假若级数收敛,则 ln i (m S2nSn)SS0 但是,
注意: (1). 加括号后所得新级数发散,则原级数发散.
(2). 加括号后所得新级数收敛,原级数不一定收敛.
例如: (1－1)+ (1－1)+ (1－1)+......收敛 而1－1+1－1+1－1+......发散.
性质5.(级数收敛必要条件)
若级数 u n n 1
收敛,则
lnimun 0
证: ln im unln i (m SnSn1)
原级数部分和
n时, n,Skn 同时敛散
因此,不影响级数的敛散性.
性质4. 收敛级数各项加括号后所得新级数仍收敛且和不变
证: 设收敛级数 u1u2un 新级数 (u 1 u 2 ) (u 3 u 4 u 5 )
1 S 2 ,2 S 5 ,,m S n ,
m l i m mln i m SnS
n n1
不存在
级数发散
谢谢您
性质2. 两个收敛级数可以逐项相加或逐项相减
(uຫໍສະໝຸດ Baiduvn)unvnS
n1
n1
n1
例:
1 1 n1 ( 22 32 )
级数收敛
因为
n 1
1 22
和
n 1
1 32
都收敛
性质3. 改变有限项不影响级数的敛散性
证 不妨设去掉前k 项,得级数 u k 1 u k 2 u k n
n u k 1 u k 2 u k n S k n S k 常数
数项级数概念性质
二. 数项级数的性质
性质1 若级数 u n 收敛于和 S, k 为常数,则 n 1
kun kun kS
n1
n1
证
n k1u k2u knu kn S
ln i m n ln i k m nS kln i S m n kS
推论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数后,敛散性不变