平面连续体结构拓扑优化及结果重构_杜春江

vm vm max vm max vm
与单 元
满足 : ( 15)
DR k 删除率 ; 迭代变量 ;
式中 : D R k k
vm max
1. 4
优化中存在的问题
* max 。
则认为该单元为低效单元 , 再 计算 其相应 的灵 敏度 数 , 若其 灵 敏度数也小于指定值 , 则可以从结构中删除。 ( 4) 重复第 ( 3) 步 , 直到式 ( 15) 不满足为止 , 表 明在删除率 DR k 下结构达到稳定状 态。 引入 另一 参数进 化率 ER k , 将下 一 稳定状态的删除率 DR k+ 1 修改为 :
式中 : U* Ui
K , 并存在以下关系 :
K = K - K * = Ki 式 中 : Ki
( 6)
第 i 个单元刚度矩阵 , 假定第 i 个单元的删除对载荷列矢量 没有影响 , 则第 i 个单元删除后结点位移列矢量变化量 U 可以表示为 :
U = U* - U = K * - 1
Ki
Ui
( 7)
42
机
械
设
计
第 24 卷第 1 期
2
采用逆向工程方法拓扑优化 结果重构
在消除棋盘格和边缘锯齿状现象的处 理上 , 相关的文献 都
采取通过修改优化算法 , 在优化过程中 实现对棋 盘格和边缘 锯 齿状问题的抑制上 , 但这类抑制算法的 采用必然 在某种程度 上 增加计算成本 , 且解决方案通常是针 对某一具 体优化过程。 针 对这一问题 , 文中提出利用逆向工程中 的几何模 型重建技术 在 拓扑优化结果的重构过程 中实 现棋盘 格和 边缘 锯齿状 问题 的 消除。 逆向工程可定义为将 实物 转变为 CA D 模型 , 进而 制造 出 同类新产品的相关数字化技术和几何模 型重建技 术的总称 [ 5] 。 主要研究内容包 括实 物 的数 字化 和 几何 模 型重 建两 大 部分。 实物的数字化是通过特定 的测 量设备 和测 量方 法获取 实物 表 面离散点的几何坐标数据 , 对坐标数据 进行处理 获得有效的 点 云文件 , 并在此基础上进行几何模型 的重构。文 中通过对几 何 模型采用有限元方法 离散来 获得 其数字 化模 型。以拓 扑优 化 后的结果文件中的有效模型数据形成点云 数据作为输 入文件 , 利用成熟的几何模型重建技术进行点云数 据的处理 , 通过指 定 容许间距来消除局部的棋盘格问题 , 采 用三角网 格重构快速 有 效地实现了连续体结构拓扑优化结果的重 构问题 , 并对重构 后 的模型边界进行光滑处 理 , 很好 地解决 了边 缘锯齿 状问 题 , 且 重构后的优化结果可以直接用于后续的几何造型和数控加工。
* max
结构所允许的最大应力 ; 优化域内单元数目。
N
1. 2
K
应力灵敏度数的定义与计 算 有限元分析中 , 结构静特性的方程可以表 示为 :
U= P 结构的总体刚度矩阵 ; 结构结点位移列矢量 ; 结构结点载荷列矢量。
( 5)
式中 : K U P
*
1
1. 1
平面连续体结构的拓扑优化
当从结构中删除第 i 个单元后 , 结 构的总 体刚度 矩阵变 为 拓扑优化模型 均匀化方法是最早提出的连续体结构 拓扑优化方 法 , 拥 有 坚实的理论基础 , 但采 用该 方法 时 , 优 化区 域使 用有限 元法 离 散后每个单元对应相应的 3 个优化变量 , 优化区 域整体优化 变 量过多 , 优化过程中弹 性模 量及 相关的 灵敏 度计算 复杂 , 优 化 后的结构常含有多孔 质材料。 密度插 值法 是在 均匀化 方法 的 基础上发展起来的 , 它 基于 各向 同性材 料 , 人为 假定相 对密 度 和材料弹性模量之间的某种对应关系 , 以每个单 元的相对密 度 作为优化变量 , 不需引 入微 结构 和附加 的均 匀化过 程 , 计算 效 率高 [ 1] 。以上两种方法 各有 特色 , 但均 是独立 运行 的程 序 , 无 法与目前成熟的有限 元分析 软件 实现接 轨。渐 进结构 优化 方 法则是在这种要求下提出并发展的 [ 2] 。该 方法基本概 念简单 , 与现存成熟的有限元分析软件具备良好的 接口 , 利用已有的 有 限元分析软件 , 通过编制相应的优化 算法 , 在计算机上 的迭代 , 将无效或低效的材料一 步步 去掉 , 使结 构趋 于优化 , 可 同时 实 现形状和拓扑优化。 基于应力的平面连续 体结 构的渐 进结 构优 化方法 的优 化 模型可以表述为 :
第 24 卷 第 1 期 2 007年1月
机
械
设
计
JO U RN A L O F M ACH IN E D ESIG N
V ol. 24 Jan.
*
N o. 1 2007
平面连续体结构拓扑优化及结果重构
杜春江, 钱林方, 李守成
( 南京理工大学 机械工程学院 , 江苏 南京 210094)
摘要 : 探讨了基于应力及其灵敏度数的平面 连续体结构拓扑优化 , 在此基础上针对优化过程中由于 棋盘格问题和 模 型离散后优化结果边缘呈现锯齿状 , 导致 加工和 制造困 难问题 , 提出 了利用 成熟的 逆向工程 方法来 重构 优化结 果的 方 案 , 在不增加计算负担的前提下 , 很好地解决了由于有限元方法离散和数值计算不稳定所带来的制造加 工困难问题 。 关键词 : 拓扑优化 ; 渐进结构优化 ; 棋盘格 ; 逆向工程 中图分类号 : T H 12; O18 文献标识码 : A 文章 编号 : 1001- 2354( 2007) 01- 0040- 04 求集合 X = { x 1 , x 2 ,
N
连续体结构的拓扑优 化设 计是继 尺寸 优化 和形状 优化 后 在结构优化领域出现的又一研究方向 , 其目的就 是在减轻结 构 质量和保持某种性能的情况下 , 寻求结 构材料在 空间的最佳 分 布。目前在 该领域比较成熟的理论和方法 主要有均匀 化方法、 密度插值法和渐进结构优化方法 3 种 , 数值计算 上均采用成 熟 的有限元理论 , 普遍存在优化过程中由 于数值计 算不稳定而 导 致的棋盘格现象和由于有 限元 法离散 导致 优化 结构边 缘呈 现 明显锯齿状 , 使得优化 出的 结果 无法直 接应 用于生 产制 造 , 严 重妨碍了拓扑优化结果的应用。 探讨了基于应力及其 灵敏 度数的 平面 连续 体结构 的拓 扑 优化 , 并编制了相应程序 , 通过引入成熟的 逆向工程方 法 , 从 工 程应用角度出发 , 对优 化结 果的 节点数 据进 行处理 , 根 据这 些 节点信息对优化结果进 行重 构 , 在不增 加计 算负担 的前 提下 , 有效地解决了连续体结构 拓扑 优化结 果中 局部 棋盘格 现象 和 边缘锯齿状导致的制造加工困难问题。
( 14)
1. 3 骤:
优化步骤 基于应力及其灵敏度 数的 平面连 续体 的渐 进结构 优化 步 ( 1) 采用 有限单元法 对优化区 域进行离散 , 施 加载荷和 相
应的边界条件 ; ( 2) 对离散后的有限元模型 进行静力分析 ; ( 3) 对于平面弹性体 , 根 据 V on M ises 应力 准则计 算每 个 单元的平均应力值 , 若单元 的 V on M ises 平均应 力 的最大 V on M ises 平均应力
( 16)
( 5) 重复第 ( 2 ) , ( 3 ) 和 ( 4) 步 , 直到最大应力达 到允许的最 大应力 * max 为止。 基于以上机理 , 文中结 合有限 元分析 软件 AN SY S 编制 了 相应的拓扑优化程序 , 对平面连续体结 构的拓扑 优化进行了 研 究。 M ichell 桁架是 著名 的澳 大利亚 发明 家、 工程 师和 数学 家 M ichell A G M 发表的第 一个最小质 量桁架解 , 以下 是一种 两 端铰支、 中间作用一垂 直载荷 的最 小质量 桁架 结构。 以 矩形 平 板作为研究对象 , 通过 拓扑 优化 来构造 典型 的 M ichell 桁架 结 构 , 优化的有限元模型如图 1 所示 , 整个优化区域为 200 mm
, xN }
( 1) ( 2) ( 3) ( 4)
m in F ( x) =
i= 1 * max
x iw i
xi wi xi
{ 0, 1} , i = 1, 2,
,N
式中 : F ( x)
结构的总质量或总体积 ; 第 i 个单元相应的质量或体积 ; 第 i 个单元对应的拓扑优化 设计变量 , 在结 构中表现为 材 料的有和无两种状态 , 在数值计算中取 1 或 0; 单元的平均应力 ;
剪应力。
则由于第 i 个单元 删除 造成的 第 j 个单 元应 力变 化量 可表 示 为:
ij
= Dj
Bj
Ui j
( 10)
将式 ( 8 ) 代入到式 ( 10 ) 中 可得 :
xx ij
=
yy xy
= Dj
B j UF j j Ki
Ui
式中 : U F jj
单位列矢量载荷 Fj 作用下 , 第 j 个单元的节点位移列 矢 量的转置。
第 i 个单元删除后结构结点位移列矢量; 第 i 个单元的节点位移列矢量。
为获取第 j 个单元的节点位移变 化量 , 引入单位 载荷列 矢 量 Fj , 在该列矢量中第 j 个单元的自由度对应项为 1, 其余均为 0。 则第 i 个单元删除后第 j 个单元的节点位移变化量 Uij 表示 为:
Uij = Fj 式中 :
T Fj T
K*
- 1
Ki
Ui
( 8)
T
单位载荷列矢量 Fj 的转置。
j
第 j 个 单元 内应力 列矢 量 为:
j
= [
xx
,
yy
,
xy
]
可 以表 示 ( 9)
= Dj
Bj
Uj
*
收稿日期 : 2006- 04- 11; 修订日期 ; 2006- 08- 02 作者简介 : 杜春江 ( 1979- ) , 男 , 山东烟台人 , 南京理工大学机械工程学院博士研究生 , 主要研究方向 : 机械设计中的新理论和新方法。
DR k+ 1 = DR k + ER k
由于目前连续体结构 拓扑 优化方 法普 遍采 用了有 限单 元 法作为数值计算方法 , 以上所提到的 3 种拓扑优 化方法不可 避 免地都存在棋盘格现象和边缘锯齿状问题 , 如 图 3 和图 6 所示 , 优化结果不便于直接加工 制造。 针 对以上 问题 , 不同的 优化 方 法提出了相应的解决方案。 Bendsoe 等提出了分片修改 方法 ; 基 于图像处理中的过滤技术 , Sig mund 等 提出了 一种对 单元和 其 邻近的 8 个 单元加权平均来预防棋盘格的 产生 [ 3 ] ; 袁振等将 非 协调元和杂交元应用于结构拓扑优化中 , 这些方 法的采用都 能 从一定程度上缓解棋盘格问题 , 但并不 能完全消 除拓扑优化 中 的棋盘格现象。 相关的研究表明 , 棋盘格现象的产 生出现与 分析单元的 选 择有关 , 合理的选择高 阶单 元或 采用非 协调 元 , 可有效 降低 或 消除棋盘格 [ 4] , 但对于 连续 体结 构拓扑 优化 而言 , 提高 单元 的 阶次 , 导致计算量的急剧增加 , 无法应用于 大规模的优 化计算。 优化结果边缘呈现锯齿状 的直 接根源 在于 有限 元计算 时模 型 的离散 , 这方面的相关 研究 主要 集中在 离散 网格的 细化 上 , 尚 无法在优化过程中从根本上解决这一问题。
2007 年 1 月
式中 :
xx xy
杜春江 , 等 : 平面连续 体结构拓扑优化及结果重构
分别为 x 方向和 y 方向的正应力 ;
41
,
yy
100 mm 的矩形区域 , 厚度为 1 mm, 采用四节点单元离散 , 左右 两端铰支 , 下边缘中点处作用一个 1 000 N 载荷。 删 除率分别为 10% 、 15% 和 20% 时的拓扑优 化 结果 如图 2 ~ 图 4 所示 , 从 Vo n M ises 应力分布云图来看 , 随着删除率的增加 , 除两端铰支 和中间集中载荷施加的 部位外 , 整体结 构应 力分布 趋于 均匀 , 基本实现了 M ichell 桁架的拓扑结构。 ( 11)
文中优化的对象是平面弹性体 , 因而采用 Vo n M ises 应力 ; 对于二维各向同性结构 , 其 Vo n M ises 应力可以表示为 :
vm
=
2 xx
+
2 yy
-
xx
yy
+ 3
2 xy
( 12)
因此 , 由于删除第 i 个单元造成的第 j 个单元的 V on M ises 平均应力变化量可以表示为 :
vm ij
=
vm ij
vm ij
-
vm j
Hale Waihona Puke Baidu
j
i
( 13)
式中 :
vm j
,
分别 为 第 i 个 单 元删 除 前后 , 第 j 个 单 元 的 V on M is es 平均应力。
定义第 i 个单元灵敏度数 sen i 为 :
seni = max { |
vm ij
| j = 1, 2,
, N; j
i}