系统可靠性计算

四、常见系统可靠性模型
前提： 系统和各单元只具有正常或失效两种状态 各单元是独立的
可靠性模型
非储备 串联 多数表决
工作储备
非工作储备 旁联
并联
复杂
简单
n中取 中取r 中取 可靠性模型分类
混联
串联模型
组成系统的所有单元中任一单元的故障就会导致整个系统故 障的系统称串联系统。它属于非贮备可靠性模型，其逻辑框图如 图所示。
x1 x1 x2 x2 (a) … … xn xn x1 x1 x2 … x2 (b) xn xn
第一节 系统可靠性计算
解：设部件可靠度分别为 R1 , R2 ,..., Rn ，不可靠度为 Q1 , Q2 ,..., Qn ，则 （1） 系统冗余情况，系统可靠度为
RSR = 1 − [1 − ∏ Ri ] 2
组成系统的n个单元中，不故障的单元数不少于r (r为介于1和n 之间的某个数)系统就不会故障，这样的系统称为r/n系统。它属于 工作贮备模型。 如四台发动机的飞机，必须有二台或二台以上发动机正常工作， 飞机才能安全飞行，这就是4中取2系统。
逻辑图和原理图的区别：
逻辑图和原理图在联系形式和方框联系数目上都不一定相同， 有时在原理图中是串联的，而在逻辑图中却是并联的。 在建立可靠性逻辑图时，必须注意与工作原理图的区别。 画可靠性逻辑图，首先应明确系统功能是什么，也就是要明确系 统正常工作的标准是什么，同时还应弄清部件A、B正常工作时应处 的状态。
一、系统可靠性计算的意义 在设计阶段，选择系统的结构和元器件 在制造阶段，保证采购质量，不断改近工艺 在使用阶段，加强维护，及时修理
二、可靠性模型 用于预计或估计产品可靠性的模型 应建立系统级和分系统级可靠性模型 包括可靠性方框图和可靠性数学模型
三、可靠性框图 可靠性框图：表示产品中各单元之间的逻辑功能关系 原理图：表示产品中各单元之间的物理关系
n
= ∏ [(1 + Qi )(1 − Qi )]
i =1
n
RCR − RSR = [∏ (1 − Qi )][∏ (1 + Qi ) + ∏ (1 − Qi ) − 2]
i =1 i =1 i =1
n
n
n
因为
∏ (1 + Qi ) = 1 + ∑ Qi +
i =1 i =1 n n i =1
n
n
系统级
1 2 3
5 4
分系统级
a
b
Ⅲ
c
d
e
Ⅵ
设备级
Ⅰ
Ⅱ
Ⅳ Ⅴ
Ⅶ Ⅷ
部件级
X L C R X
D D
组件级
ⅰ
ⅱ
ⅲ
ⅳ
当我们知道了组件中各单元的可靠性指标(如可靠度、故障率或 MTBF等)即可由下一级的逻辑框图及数学模型计算上一级的可靠性指 标，这样逐级向上推，直到算出系统的可靠性指标。这就是利用系统 可靠性模型及已知的单元可靠性指标预计或估计系统可靠性指标的过 程。
i =1
Rs (t ) = 1 − Fs (t ) = 1 − ∏ Fi (t ) = 1 − ∏ [1 − Ri (t )]
i =1
n
当各单元的寿命服从指数分布时，并联系统的可靠度为： 当各单元的寿命服从指数分布时，并联系统的可靠度为：
Rs (t ) = 1 − ∏ [1 − e −λi t ]
1 2 1 2 1 2 1 2
因为 所以
λ1 < λ 2 , λ2 − λ1 > 0
t → ∞ 时， e − (λ2 − λ1 )t → 0, e − λ2 t → 0
lim λs (t ) = λ1
t →∞
上式说明， 工作时间 t 足够大，两部件并联系统的失效率等于失效率较小部件失效率 λ1 。
表示 λ s (t ) 随时间变化曲线
概述 系统可靠性计算
◦ ◦ ◦ ◦ 系统可靠性计算的意义 可靠性模型 可靠性框图 常见系统可靠性模型
系统可靠性估算和预测
◦ 可靠性估算和预测的目的
系统可靠性分配
◦ 可靠性预测方法
习题
◦ 可靠性分配的目的 ◦ 系统可靠性分配前提 ◦ 常用的可靠性分配方法
系 统： 指由若干组成部分结合起来为了完成某种特定功能 的 系统 有机整体。
流体
流体
阀门A
阀门B
阀门A
阀门B
原理图
A A B B
可靠性框图
由此可见，系统内各部件之间的物理关系和功能关系是有区别 的。如果仅从表面形式看，二个元件像是串联的，如不管其系统 的功能如何，把它作为串联系统进行计算就会产生错误。 随着系统设计工作的进展，必须绘制一系列的可靠性逻辑框图， 这些框图要逐渐细分下去，按级展开。
MTTF s =
1
λ0
+
1 1 1 + + ... + 2λ0 3λ 0 n λ0
例：有四个零件并联组成的系统如图所示，已知各零 件的 可靠度分别RA=0.9，RB=0.92，RC=0.95， RD=0.98。 A 求系统可靠度RS。
B C D
解：Rs（t）= 0.999992 串联： Rs（t）= 0.77
i =1 n
当n=2时，则： n=2时
Rs (t ) = 1 − [1 − R1 (t )][1 − R2 (t )] = e −λ1t + e −λ2t − e −( λ1 + λ2 )t
并联系统的工作寿命： 并联系统的工作寿命：总是等于系统中寿命最长的一个工作单元 的寿命。 的寿命。
t s = max t i
i =1 i =1 n n
+ L + (−1)
n
∏ Qi
i =1
n
=2
所以
1≤i < j ≤n
∑ Qi Q j + 2 ∑ Qi Q j Qk Ql + L > 0
1≤i < j < k<l ≤n
RCR − RSR > 0
在任何情况下部件冗余可靠性总大于系统冗余可靠度。
n中取r模型(r/n,即表决系统)
n
串联系统的工作寿命：总是等于其系统中寿命最短的 一个单元 的寿命。 t s = min ti
1≤i ≤ n
系统的平均无故障工作时间为： ∞ 1
MTBFs = ∫ R(t )dt =
0
λs
=
1
∑λ
i =1
n
i

由MTBFs可以看到，串联单元越多，则MTBFs也越小。
例：有四个零件串联组成的系统如图所示，已知各 零件的可靠 度分别RA=0.9，RB=0.92，RC=0.95， RD=0.98。 求系统可靠度RS。 B A C D
1≤ i ≤ n
系统的故障率为：
λs ( t ) =
λ1e − λ t + λ2 e − λ t − (λ1 + λ2 )e − ( λ + λ
1 2 1
2
)t
e −λ1t + e −λ2t − e −( λ1 + λ2 )t
当t充分小时，两个指数分布的部件并联系统失效率 λs (t ) 充分小时，
R A + RB − R A RB
（加法定理）
FA + FB − FA FB
（加法定理） 最小寿命系统
FA FB
（乘法定理） 最大寿命系统
数学模型
RS = ∏ Ri
i =1
n
FS = ∏ Fi
i =1
n
A
逻辑框图 实线——可靠性 虚线——不可靠度
A
B B
串联系统和并联系统对比图
例:试比较图中两种由2n个单元构成的串—并联系统 的可靠度的大小，假设各单元的失效是相互独立的。
λs (t )
λ0
t
系统平均工作寿命：
MTBFs = ∫ R(t )dt = ∫ (e −λ1t +e −λ2t − e −( λ1 + λ2 )t dt
0 0 ∞ ∞
=
1
λ1
+
1
λ2
−
1 λ1 + λ2
当λ1= λ2= λ0时：
MTBFs= MTBF0 + 1/2MTBF0
n 个部件并联系统的平均寿命 MTTF s 为
i =1
n
= 2∏ Ri −[∏ Ri ] 2
i =1 i =1 n
n
n
= [∏ Ri ][2 − ∏ Ri ]
i =1 n i =1
n
= [∏ (1 − Qi )][2 − ∏ (1 − Qi )]
i =1 i =1
n
（1） 部件冗余情况，系统可靠度为
RCR = ∏ (1 − Qi2 )
i =1
了解系统中各个部分(或单元)的功能和它们相互之间的联系以及对整个 系统的作用和影响对建立系统的可靠性数学模型、完成系统的可靠性设计、 分配和预测都具有重要意义。借助于可靠性逻辑图可以精确地表示出各个功 能单元在系统中的作用和相互之间的关系。虽然根据原理图也可以绘制出可 靠性逻辑图，但并不能将它们二者等同起来。
解：
RS（t）= RA RB RC RD =0.9×0.92×0.95×0.98 = 0.77
相同单元的串联系统可靠度图
在设计时，为提高串联系统的可靠性，可从下列三方 面考虑： (a) 尽可能减少串联单元数目 (b) 提高单元可靠性，降低其故障率 (c) 缩短工作时间
Rs (t ) = ∏ Ri (t )
若各单元的寿命分布均为指数分布，即
n
s
R i (t ) = e − λ t