集合的关系及运算

集合（二）（讲义）
知识点睛
一、元素与集合的关系
运用元素与集合间的关系解决问题，关键是确定元素间的对应关系以及元素满足的条件．
说明：（1）满足题目本身对元素与集合关系的要求；
（2）满足集合中元素的特征：互异性．
二、集合间的基本关系
1.集合间基本关系的证明
（1）集合相等，即A=B：
①∀x∈A，都有x∈B，得A⊆B；
②∀x∈B，都有x∈A，得B⊆A；
③A=B．
（2）集合间的包含关系或真包含关系．
①A⊆B⇔∀x∈A，都有x∈B．
②A B⇔∀x∈A，都有x∈B；∃x0∈B，且x0∉A．
2.含参数的集合
（1）由集合相等求未知数
根据_______________________切入_______________，求出未知数，结合______________________．
（2）由集合间的包含（真包含）关系求未知数
首先考虑________，其次找对应关系，把_________________转化为___________________．
三、集合之间的运算
1.并集、交集向集合间基本关系的转化
（1）A∪B=B⇒A⊆B；
（2）A∩B=B⇒B⊆A．
2.并集、交集及补集的混合运算常借助Venn图解决问题．
精讲精练
1.设A表示集合{2，3，a2+2a-3}，B表示集合{|a+3|，2}，若已知5∈A，且5∉B，
求实数a的值．
2.已知集合A={1，3，a2+a，a+1}，若a∈A，求实数a的值．
3.设y=x2-ax+b，A={x|y-x=0}，B={x|y-ax=0}，若A={-3，1}，试用列举法表
示集合B．
4.已知集合A={x|ax2-3x+2=0，a∈R}．
（1）若1∈A，求集合A；
（2）若A=∅，求a的取值范围；
（3）若A中只有一个元素，求a的值组成的集合；
（4）若A中至多只有一个元素，求a的值组成的集合．
5.设M={a|a=x2-y2，x，y∈Z}．
（1）求证：2k+1∈M（其中k∈Z）；
（2）属于M的两个整数，其积是否仍属于M？
6.已知集合A={x|x=8m+14n，m，n∈Z}，B={x|x＝2k，k∈Z}，求证：A=B．
7.设集合M={x|x=n2，n∈N}，T={x|x=4k或x=4k+1，k∈N}，
求证：M T．
8.已知集合A={1，3，a}，集合B={1，a2-a+1}，且A⊇B，求实数a的值．
9.设集合A={x，x2，xy}，集合B={1，x，y}，若A=B，求实数x，y的值．
10.若集合A={x|x2+x-6=0}，B={x|mx+1=0}，B A，求m的值．
11.已知集合A={x|-3≤x≤4}，B={x|2m-1<x<m+1}，且B⊆A，求实数m的取值
范围．
12.设A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}．
（1）若A∪B=B，求a的值；
（2）若A∩B=B，求a的值．
13.设全集U=R，集合A={x|x2+ax-12=0}，B={x|x2+bx+b2-28=0}，
若A∩(C U B)={2}，求a，b的值．
14.设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={x|x2+ax+b=0}，
B={x|x2+cx+6=0}，C U(A∪B)={1，4，5}，A∩B={2}，求a，b，c的值．
回顾与思考
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
【参考答案】
【知识点睛】
二、2.（1）两个集合中元素一样
找对应关系 集合中元素的互异性检验 （2）空集 集合间的关系
元素与集合的关系
【精讲精练】
1．a =-4
2．a =3
3．{33B =---+ 4．（1）A ={1，2}；（2）98a >
；（3）9{0}8，；（4）9{|0}8
a a a ≥或= 5．（1）证明略；（2）属于
6．证明略
7．证明略
8．a =2或-1
9．x =-1，y =0
10．m =0，12-或13
11．1m ≥- 12．（1）1；（2）11a a ≤或-=
13．a =4，b =2
14．a =-4，b =4，c =-5
集合（二）（随堂测试）
1. 已知三个集合A ={x |x 2-3x +2=0}，B ={x |x 2-ax +a -1=0}，C ={x |x 2-bx +2=0}，问：
同时满足B A ，A ∪C =A 的实数a ，b 是否存在？若存在，求出a ，b 的值或取值范围；若不存在，请说明理由．
【参考答案】
1.a=2，3
b b
-<<=
集合（二）（作业）
15.数集A满足条件：若a∈A，则1
1
a
a
+
-
∈A(a≠1)．若1
3
∈A，求集合A．
16.设集合U={2，3，a2+2a-3}，A={|2a-1|，2}，C U A={5}，求实数a的值．
17.集合A中元素为正整数，且满足：若x∈A，则10-x∈A．
（1）写出有且只有一个元素的集合A；
（2）写出有且只有两个元素的集合A；
（3）直接写出满足条件的集合A至多有多少个元素．
18. 给定一个数集A 和运算法则“*”：若对于这个集合A 中的任意两个元素12x x ，
，都有12x x *仍然是集合A 中的元素，那么我们就称集合A 对运算法则“*”是封闭的．
现设{|}Z A x x m m n ==+∈，． （1）证明：集合A 对加法和乘法是封闭的；
（2）集合A 对除法是封闭的吗？若封闭，请证明，若不封闭，请说明理由．
19. 若A ={x |x =2n +1，n ∈Z }，B ={ y | y =4k ±1，k ∈Z }，证明：A =B ．
20. 已知集合A ={x ||x -a |=4}，集合B ={1，2，b }．
（1）是否存在实数a ，使得对于任意实数b 都有A ⊆B ？若存在，求出对应的a ，若不存在，试说明理由；
（2）若A ⊆B 成立，求出对应的实数对(a ，b )．
21.已知A={x|2<x<4}，B={x|a<x<3a}．
（1）是否存在实数a，使得A∩B={x|3<x<4}？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；
（2）若A∩B=∅，求a的取值范围．
22.设A={x||x-a|<3}，B＝{x|
2
2
1
x
x
+
-
≥}，若A∪B=A，求实数a的取值范围．
23.集合A={x|x2-ax+a2-19=0}，B={x|x2-5x+6=0}，C={x|x2+2x-8=0}，
若A∩B≠∅，A∩C=∅，求实数a的值．
24.设U=R，集合A={x|x2+3x+2=0}，B={x|x2+(m+1)x+m=0}．若(C U A)∩B=∅，求
m的值．
【参考答案】
1．
11
{23}
32 A=--
，，，
2．a=2
3．（1）{5}；（2）{1，9}，{2，8}，{3，7}，{4，6}；（3）9
4．（1）证明略；（2）不封闭（提示：举出一个反例，
令
11
x=
，
2
2
x=）
5．证明略
6．（1）不存在；（2）(-3，-7)，(-2，-6)，(5，9)，(6，10)
7．（1）存在，a=3；（2）
2
4
3
a a
≤≥
或
8．14
a≤
<
9．a=-2
10．m=1或2
11。