2020届高考文科数学大二轮复习冲刺经典专题基础保分强化训练二2

基础保分强化训练(二)
1．已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝{|x ∈R 1
2a ≤x ≤2a －1}，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )
A ．[1，＋∞)
B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)
答案 A
解析 因为A ∩B ≠∅，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
2a －1≥1，2a －1≥1
2a ，解得a ≥1，故选A.
2．若复数z ＝1＋m i
1＋i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－1,1)
B ．(－1,0)
C ．(1，＋∞)
D ．(－∞，－1)
答案 A
解析 因为z ＝1＋m i 1＋i ＝
1＋m i
1－i 1＋i 1－i ＝1＋m 2＋m －12i ，在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋m 2，m －12，
且在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧
1＋m 2>0，
m －1
2<0，
解得－1<m <1，故选A.
3．设S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，则a 7
a 4
等于( ) A ．1 B ．3 C ．7 D ．13 答案 C
解析 因为S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，所以13
a 1＋a 13
2
＝
13×7a 1＋a 72，即a 7＝7a 4，所以a 7
a 4
＝7.故选C.
4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A.
4π3 B.8π3 C.16π3 D.32π3
答案 A
解析 由三视图可得该几何体为半圆锥，底面半圆的半径为2，高为2，则其体积V ＝12×13×π×22×2
＝
4π
3
，故选A. 5．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )
A ．(－∞，－2)∪⎝
⎛⎭⎪⎫－2，12 B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 答案 A
解析 因为i 与j 为互相垂直的单位向量，所以i 2
＝j 2
＝1，i ·j ＝0.又因为a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，所以a ·b ＝1－2λ>0，λ<1
2.但当λ＝－2时，a ＝b ，不满足要求，故满足条件
的实数λ的取值范围为(－∞，－2)∪⎝
⎛⎭⎪⎫－2，12.故选A. 6．若函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π
B ．对任意的x ∈R ，都有f ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4＋f (－x )＝0
C ．函数f (x )在⎝
⎛⎭
⎪⎫π2，3π4上是减函数
D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－π
8对称
答案 B
解析 函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，故A 错误；
f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x －π4＋f (－x )＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2x －π4＋2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
－2x ＋π4
＝0，故B 正确；令π2＋2k π≤2x ＋π4
≤2k π
＋
3π2(k ∈Z )，解得π8＋k π≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，当k ＝0时，函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8
，5π8，故C
错误；当x ＝－π8时，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π8＝0.故D 错误，故选B.
7．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1C ，C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，则异面直线
B 1
C 和C 1
D 所成角的余弦值为( )
A.
64 B.14 C.26 D.36
答案 A
解析 ∵B 1C 和C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，
∴∠B 1CB ＝60°，∠C 1DC ＝45°.由图可知，B 1C 与C 1D 所成的角，即为A 1D 与C 1D 所成的角，即∠A 1DC 1.令BC ＝1，则B 1B ＝AB ＝3，∴A 1D ＝2，A 1C 1＝2，C 1D ＝ 6.由余弦定理，得cos ∠A 1DC 1＝22
＋
6
2
－2
2
2×2×6
＝
6
4
.故选A.
8．如图，在矩形区域ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，且在A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的
覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机选一地点，则该地点无信号的概率是( )
A ．2－π2 B.π2－1 C ．1－π4 D.π4
答案 C
解析 由条件得扇形区域ADE 和扇形区域CBF 的面积均为π
4，又矩形区域ABCD 的面积为2×1＝2，
根据几何概型概率公式可得所求概率为P ＝2－2×
π42＝1－π
4，即在该矩形区域内随机选一地点，则该地
点无信号的概率是1－π
4
.
9．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|
＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )
A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．2x ±y ＝0 D ．x ±2y ＝0
答案 A
解析 不妨设|PF 1|>|PF 2|，则⎩⎪⎨
⎪
⎧
|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，
所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，且|F 1F 2|＝2c ，即|PF 2|为最小边，所以∠PF 1F 2＝30°，则△PF 1F 2为直角三角形，所以2c ＝23a ，所以b ＝2a ，即渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.
10．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －3≥0，kx －y ＋3≥0，
y ≥0，
且z ＝y －x 的最小值为－12，则k 的值为( )
A.12 B ．－12 C.14 D ．－1
4 答案 D
解析 依题意，易知k ≤－1和k ≥0不符合题意．由⎩⎪⎨
⎪⎧
kx －y ＋3＝0，y ＝0
得A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3k
，0，结合图形可
知，当直线z ＝y －x 过点A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3k ，0时，z 有最小值，于是有0＋3k ＝－12，k ＝－14，选D.
11．椭圆x
2
4＋y 2
＝1上存在两点A ，B 关于直线4x －2y －3＝0对称，若O 为坐标原点，则|OA →＋OB →
|＝
( )
A ．1 B. 3 C. 5 D.7 答案 C
解析 由题意，直线AB 与直线4x －2y －3＝0垂直，设直线AB 的方程为y ＝－1
2x ＋m .由
⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－1
2x ＋m ，x 2
4＋y 2＝1
消去y 整理得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，∵直线AB 与椭圆交于两点，∴Δ＝(－2m )2
－
4(2m 2
－2)＝－4m 2
＋8>0，解得－2<m < 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2m ，∴x 0＝
x 1＋x 2
2＝m ，y 0＝－12x 0＋m ＝m 2，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫m ，m 2.由题意得点M 在直线4x －2y －3＝0上，
∴4m －2×m
2－3＝3m －3＝0，解得m ＝1.∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－1
2
(x 1＋x 2)＋2m ＝1，∴OA →＋OB →
＝(2,1)，
∴|OA →＋OB →
|＝ 5.故选C.
12．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (－1,2)，则cos2α＝________.
答案 －35
解析 设点P 到原点的距离是r ，由三角函数的定义，得r ＝5，sin α＝2r ＝2
5，可得cos2α＝1
－2sin 2
α＝1－2×⎝
⎛⎭
⎪⎫252
＝－35. 13．将1,2,3,4，…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为________．
答案 91
解析 由三角形数组可推断出，第n 行共有2n －1项，且最后一项为n 2
，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91.
14．已知在△ABC 中，B ＝2A ，∠ACB 的平分线CD 把三角形分成△BCD 和△ACD ，且S △BCD ∶S △ACD ＝4∶3，则cos A ＝________.
答案 38
解析 在△ADC 中，由正弦定理，得AC sin ∠ADC ＝37AB sin ∠ACD ⇒AC 37AB ＝sin ∠ADC
sin ∠ACD
.同理，在△BCD 中，得
BC sin ∠BDC ＝47AB sin ∠BCD ⇒BC 47
AB ＝sin ∠BDC sin ∠BCD
，
又sin ∠ADC ＝sin ∠BDC ，sin ∠ACD ＝sin ∠BCD ，所以AC 37AB ＝BC 47
AB ⇒AC ＝34BC ，由正弦定理，得sin B ＝
3
4sin A ，又B ＝2A ，即sin B ＝2sin A cos A ，求得cos A ＝3
8
.。