模糊与概率

五、模糊集合间的包含关系——包含度定理
主导隶属度函数关系(dominated membership function relationship)：
m AB min(mA , mB ) m Ac 1 m A
m AB max(mA , mB )
模糊集合A是单位“二维立方体”中的一个点，其坐标(匹配值)是（1/3， 3/4）。表明第一个元素x1属于A的程度是1/3，第二个元素x2的程度是3/4。立 方体包含了两个元素{x1， x2}所有可能的模糊子集。四个顶点代表{x1， x2}的 幂集2X。对角线连接了非模糊集合的补集。
p p
mA ( xi ) mB ( xi )
i 1
n
p
l 2 距离就是如上图所示的欧几里德距离。最简单的距离就是 1 l 模糊汉明距离 ，它是坐标差值的绝对值之和。利用模糊汉 1 l 明距离，基数 M可以重写成 距离的形式：
M ( A) m A ( xi ) m A ( xi ) 0
三、模糊集合的大小——基数 M ( A) mA ( xi )
i 1
n
A=(1/3,3/4)的基数等于M(A)=1/3+3/4=13/12。（X, In, M）定义了模糊理论 的基本测量空间。M(A)等于从原点到A的矢量的模糊汉明范数(l1范数)。
两个模糊集合A和B的 l p 距离：
l ( A, B)
模糊熵定理： Eபைடு நூலகம்( A)
M ( A Ac ) M ( A Ac )
模糊熵定理的几何图示。由对称性，完整模糊方形的四个点到各自的最近顶 点、最远顶点的距离都相等。该定理正式宣告了“西方逻辑”的终止。 （ M ( A Ac ) 0, M ( A Ac ) n, E( A) 0 ）
不精确的椭圆 概率上的椭圆还是模糊的椭圆？没有随机性的问题，所以 属于模糊问题。可否 mA ( x) Pr ob{x A} ？概率并不能包 括所有的问题。概率论是一种有限测量理论。
二、模糊集合的几何图示：sets as points
X 将论域X的所有模糊子集的集合——模糊幂集合F (2 )看成一 个超立方体 I n [0,1]n ，将一个模糊集合看成是立方体内 的一个点。非模糊集对应立方体的顶点。中点离各顶点等 距，最大模糊。 c c c A A A A A A 也是唯一满足以下特性的点： （多值连续集合理论）
c c
经典集合论中 P( A A | A A ) P( | X ) 0 （公理） c c A A 模糊理论：利用超集 A A 是其子集 的子集程 度来衡量模糊集合A的模糊性，这是模糊集合的特有问题。
P( A B ) P( A) ？
2. 随机与模糊：是否与多少 模糊是事件发生的程度。随机是事件是否发生的不确定性。 例子：明天有20%的几率下小雨（包含复合的不确定性） 冰箱里有一个苹果的概率为50%（Probability） 冰箱里有半个苹果（Fuzzy） 停车位问题 模糊是一种确定的不定性（deterministic uncertainty），是物理 现象的特性。用模糊代表不确定性的结果将是震撼的，人们需 要重新审视现实模型。
E ( A)
a b
l1 ( A, Anear ) 1 l ( A, Afar )
1 3 1 1 7 2 3 17 7 A ( , ), Anear (0,1), Afar (1,0), a , b , E ( A) 3 4 3 4 12 3 4 12 17
第七章 模糊与概率
陶晓燕
本章的主要问题：
• • • • • • 模糊和概率的基本知识 模糊集合的几何图示 模糊集合的大小的表征 模糊集合的模糊程度的度量 模糊集合间的包含关系 模糊集合间的包含关系与模糊集 合的模糊程度之间的关系
一、模糊和概率的基本知识
1.是否不确定性就是随机性？概率的概念是否包含了所有的不确 定性的概念？ Bayesian camp：概率是一种主观的先验知识，不是一种频率 和客观测量值 Lindley：概率是对不确定性唯一有效并充分的描述，所有其 他方法都是不充分的(直接指向模糊理论) 随机和模糊在概念和理论上都是有区别的 相似：通过单位间隔[0,1]间的数来表述不确定性，都兼有集 合和命题的结合律、交换律、分配律 c c c A A , P ( A A ) P( ) 0 A A 区别：对待 。经典集合论， c A A 代表概率上不可能的事件。而模糊建立在
i i n
m A ( xi ) m ( xi )
i
l 1 ( A, )
四、模糊集合的模糊程度——模糊熵
A的模糊熵E(A)，在单位超立方体In中从0到1，其中顶点的熵为0，表明不模糊， 中点的熵为1，是最大熵。从顶点到中点，熵逐渐增大。简单地从几何图形上 来考虑可以得到熵的比例形式：
考虑两个问题： （1） A Ac 总是真的吗？（模糊存在吗） 考虑是否逻辑上或实际中有违背“无矛盾定理”的现象 （Aristotle的三个‘思考定理’之一，另外两个是‘排中定 A A A Ac X ，‘同一性定理’ 理’ ， 这些都是非黑即 白的经典定理。） 模糊（矛盾）的产生，就是西方逻辑的结束 （2）是否可以推导条件概率算子 P( B | A)
Proposition: A is properly fuzzy iff
A Ac iff
A Ac X
完善模糊正方形
A (1/ 3,3/ 4), Ac (2 / 3,1/ 4), A Ac (1/ 3,1/ 4), A Ac (2 / 3,3/ 4)
越靠近模糊立方体的中点， A就越模糊。当A到达中点时，所有四个点 汇聚到中点处(模糊黑洞)。越靠近最近的顶点， A就越确定。当A到达顶点时， 全部四个点发散到四个顶点，得到二值幂集合2X。模糊立方体将Aristotelian集 合“流放”到顶点处。