沪科版八年级平行四边形全章培优经典习题★

平行四边形讲义

【平行四边形】

〖例1〗 如图，已知ABCD 中，M 是BC 的中点，且AM=9,BD=12,AD=10,则该平行四边

形的面积为_______

(平移AM ，使分散的条件集中到一个三角形中)

〖例2〗 如

图

ABCD 中，∠DAB=600，点E 、F 分别在CD 、AB 的延长线上，且

AE=AD,CF=CB

(1) 求证：四边形AFCE 是平行四边形；

(2) 若去掉已知条件的“∠DAB=600”，上述的结论还成立吗？若成立请写出证明过程；若

不成立请说明理由

〖例3〗

如图，△ABC 中，∠C=900，点M 在BC 上，且BM=AC ，点N 在AC 上，且AN=MC,AM 与BN 相交于点P ，求证∠BPM=450

(条件给出的是线段的相等关系，结论是求角的度数，条件中国有直角和相等的线段，联想到等腰直角三角形；故平移AN,构造平行四边形)

〖例4〗

四边形ABCD 中，AB=BC=CD ，∠BAD 和∠CDA 都是锐角，点P 是对角线BD 上一点，PQ ∥AB 交AD 于Q ，PS ∥BC 交DC 于S ，四边形PQRS 也是平行四边形.

（1）当P 于点B 重合时，图（1）变为图（2），若∠ABD=900，求证△ABR ≌△CRD （用不同的方法）

（2）对于图（2）若四边形PRDS 也是平行四边形，此时 你能推出四边形ABCD

还应满足什么条件？

〖例5〗

.四边形ABCD 中,DB 交AC 于P,EF 过P 点分别交AD 、BC 于E 、F ，且PE=PF ，PA+AE=PC+CF. 求证：PA=PC.

【矩形、菱形】

〖例6〗 如图，矩形ABCD 中对角线相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，∠CAE=150，则∠BOC=______

〖例7〗

如图，四边形ABCD 是菱形，△AEF 是正三角形，点E 、F 分别在边CB 、CD 上，且AB=AE,则∠B=( )

A.600

B.800

C.1000

D.1200

例 1

例 2

例

3

例7

例6

〖例8〗

矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，点B 落在AD 上的B 1处，点A 落在A 1处.

（1）求证：B 1E=BF

（2）设AE=a ，AB=b ，BF=c ，试猜想a,b,c 之间有何等量关系，并证明。 〖例9〗 （2008年湖北省咸宁市）如图，在△ABC 中，点O 是AC 边

上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的角平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． （1）求证：EO =FO ；

（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？ 并证明你的结论．

〖例10〗 （山东东营）如图2，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B

恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 （ ）A

（A ）34 （B ）33 （C ）24

（D ）８

〖例11〗 （威海市）将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB

＝3，则BC 的长为

A ．1

B ．2

C ．2

D ．3

答案：D

【正方形】

〖例12〗 正方形的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上的一个动点；则DN+MN

的最小值是多少？

〖例13〗 （海南省）如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C

不重合），点E 在射线BC 上，且PE=PB .

（1）求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ；

（2）设AP =x , △PBE 的面积为y . ① 求出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；

〖例14〗 （08武汉）正方形ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，P 是对角线AC 上的一

A B P

D E 例13 A B

C

D E

F 图 2

动点，过P 作PF ⊥DC 于F.如图，当点P 与点O 重合时，显然有DF=CF.

（1）如图2，若点P 在AO 上（不与点A ，O 重合），PE ⊥PB 且PE 交CD 于点E.

求证：DF=EF ；

写出线段PC 、PA 、CE 之间的一个等量关系式，并证明你结论. （2）若P 在线段OC 上（不于O ，C 重合），PE ⊥PB 且PE 交直线CD 于点E.请完成图3，

并判断（1）中的两个问题是否分别成立？若不成立写出相应的结论.

〖例15〗

如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE ．

⑴求证：CE ＝CF ；

⑵在图1中，若G 在AD 上，且∠GCE ＝45°，则GE ＝BE ＋GD 成立吗？为什么？ ⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ＝12，E 是AB 上一点，且∠DCE ＝45°，BE ＝4，求DE 的长．

〖例〗小明在研究正方形ABC 的有关问题时，得出“在正方形ABCD 中，如果点E 是CD 的中点，点F 是BC 边上的一点，且∠FAE=∠EAD ，那么EF ⊥AE ”。小明是一个善于提问题的同学，他想：若把正方形ABCD 改为矩形，其他的条件不变，是否还有EF ⊥AE 的结论呢？请你对上述的两个问题作出解释。按照上述的思路你会进一步提出什么问题？并对你提出的问题给予解释。

（考虑在菱形中，在一般的平行四边形中的情形；进一步研究图形还会发现与四边形AFCD 有关的结论：AF 与CF 、AD 的关系）

B C

A D

E

图1

图

2