人教版 高中数学【选修 2-1】2.1.1《合情推理》习题及答案

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数学·选修1-2(人教A版)

2.1 合情推理与演绎推理

2.1.1 合情推理

►达标训练

1.数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于( )

A.28 B.32

C.33 D.27

答案:B

2.已知三角形的三边长分别是a,b,c,其内切圆的半径为r,

则三角形的面积为:S=1

2

(a+b+c)r,利用类比推理,可以得出四面

体的体积为( )

A.V=1

3 abc

B.V=1

3 Sh

C.V=1

3

(S1+S2+S3+S4)·r(其中S1,S2,S3,S4分别是四面体四

个面的面积,r为四面体内切球的半径)

D.V=1

3

(ab+bc+ca)h(h为四面体的高)

解析:根据类比的一般原理,三角形的边长和面积分别类比于四面体的面积和体积,因而可以得出答案C.

答案:C

3.根据给出的数塔猜测123 456×9+7等于( )

1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1 111 1 234×9+5=11 111 12 345×9+6=111 111

A .1 111 110

B .1 111 111

C .1 111 112

D .1 111 113

解析:由数塔呈现的规律知,结果是各位都是1的7位数. 答案:B 4.等比数列{}a n 满足:m ,n ,p ,q ∈N *,若m +n =p +q ,则a m ·a n

=a p ·a q .由此类推可得,在等差数列{}a n 中,若有m ,n ,p ,q ∈N *,且m +n =p +q ,则有( )

A .a m ·a n =a p ·a q

B .a m +a n =a p +a q

C.a m a n =a p

a q

D .a m -a n =a p -a q

答案:B

5.下面使用类比推理正确的是( )

A .“若a ·3=b ·3,则a =b ”类推出“若a ·0=b ·0,则a =b ”

B .“(a +b )c =ac +bc ”类推出“(a ·b )c =ac ·bc ”

C .“(a +b )c =ac +bc ”类推出“a +b c

=a c +b

c (c ≠0)”

D .“(ab )n =a n b n ”类推出“(a +b )n =a n +b n ”

答案:C

6.如右图所示,面积为S 的凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i = 1,2,3,4),此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i = 1,2,3,4),若a 11=a 22=a 33=a 4

4=k ,则∑i =14

(a i h i )=

2S

k

.类比以上性质,体积为V 的

三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i =

1,2,3,4),此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i = 1,2,3,4),若

S 11

=S 22=S 33=S 4

4=K ,则∑i =1

4

(S i H i )=( )

A.

4V

K B.3V K

C.2V K

D.V K

解析:从平面类比到空间,通常是边长类比为面积,面积类比为

体积,又凸四边形中,面积为S =1

2

(a 1h 1+a 2h 2+a 3h 3+a 4h 4),而在三

棱锥中,体积为V =1

3

(S 1H 1+S 2H 2+S 3H 3+S 4H 4),即存在系数差异,所

以,上述性质类比为B.

答案:B

►素能提高

1.下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第n 个图案中需用黑色瓷砖________块(用含n 的代数式表示).

解析:第(1),(2),(3),…个图案黑色瓷砖数依次为: 15-3=12,24-8=16,35-15=20,…

由此可猜测第n个图案黑色瓷砖数为:

12+(n-1)×4=4n+8.

答案:4n+8

2.图1是一个边长为1的正三角形,分别连接这个三角形三边中点,将原三角形剖分成4个三角形(如图2),再分别连接图2中一个小三角形三边的中点,又可将原三角形剖分成7个三角形(如图3),…,依此类推,设第n个图中三角形被剖分成a n个三角形,则第4个图中最小三角形的边长为________;a100=________.

图1 图2 图3

答案:1

8

298

3.观察下列不等式:

1+1

22

<

3

2

1+1

22

1

32

<

5

3

1+1

22

1

32

1

42

<

7

4

,…

照此规律,第五个不等式为_____________________________.

解析:观察不等式的左边发现,第n个不等式的左边=1+1

22+

1

32

+…+1

(n+1)2,右边=

2(n+1)-1

n+1

所以第五个不等式为

1+1

22+1

32+

1

42+

1

52+

1

62<

11

6.

答案:1+1

22+

1

32+

1

42+

1

52+

1

62<

11

6

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