人教版 高中数学【选修 2-1】2.1.1《合情推理》习题及答案

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数学·选修1－2(人教A版)

2．1 合情推理与演绎推理

2．1.1 合情推理

►达标训练

1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )

A．28 B．32

C．33 D．27

答案：B

2．已知三角形的三边长分别是a，b，c，其内切圆的半径为r，

则三角形的面积为：S＝1

2

(a＋b＋c)r，利用类比推理，可以得出四面

体的体积为( )

A．V＝1

3 abc

B．V＝1

3 Sh

C．V＝1

3

(S1＋S2＋S3＋S4)·r(其中S1，S2，S3，S4分别是四面体四

个面的面积，r为四面体内切球的半径)

D．V＝1

3

(ab＋bc＋ca)h(h为四面体的高)

解析：根据类比的一般原理，三角形的边长和面积分别类比于四面体的面积和体积，因而可以得出答案C.

答案：C

3．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )

1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111

A ．1 111 110

B ．1 111 111

C ．1 111 112

D ．1 111 113

解析：由数塔呈现的规律知，结果是各位都是1的7位数． 答案：B 4．等比数列{}a n 满足：m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n

＝a p ·a q .由此类推可得，在等差数列{}a n 中，若有m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则有( )

A ．a m ·a n ＝a p ·a q

B ．a m ＋a n ＝a p ＋a q

C.a m a n ＝a p

a q

D ．a m －a n ＝a p －a q

答案：B

5．下面使用类比推理正确的是( )

A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”

B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”

C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c

＝a c ＋b

c (c ≠0)”

D ．“(ab )n ＝a n b n ”类推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”

答案：C

6．如右图所示，面积为S 的凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝ 1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝ 1,2,3,4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 4

4＝k ，则∑i ＝14

(a i h i )＝

2S

k

.类比以上性质，体积为V 的

三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝

1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝ 1,2,3,4)，若

S 11

＝S 22＝S 33＝S 4

4＝K ，则∑i ＝1

4

(S i H i )＝( )

A.

4V

K B.3V K

C.2V K

D.V K

解析：从平面类比到空间，通常是边长类比为面积，面积类比为

体积，又凸四边形中，面积为S ＝1

2

(a 1h 1＋a 2h 2＋a 3h 3＋a 4h 4)，而在三

棱锥中，体积为V ＝1

3

(S 1H 1＋S 2H 2＋S 3H 3＋S 4H 4)，即存在系数差异，所

以，上述性质类比为B.

答案：B

►素能提高

1．下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n 个图案中需用黑色瓷砖________块(用含n 的代数式表示)．

解析：第(1)，(2)，(3)，…个图案黑色瓷砖数依次为： 15－3＝12,24－8＝16,35－15＝20，…

由此可猜测第n个图案黑色瓷砖数为：

12＋(n－1)×4＝4n＋8.

答案：4n＋8

2．图1是一个边长为1的正三角形，分别连接这个三角形三边中点，将原三角形剖分成4个三角形(如图2)，再分别连接图2中一个小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形(如图3)，…，依此类推，设第n个图中三角形被剖分成a n个三角形，则第4个图中最小三角形的边长为________；a100＝________.

…

图1 图2 图3

答案：1

8

298

3．观察下列不等式：

1＋1

22

<

3

2

，

1＋1

22

＋

1

32

<

5

3

，

1＋1

22

＋

1

32

＋

1

42

<

7

4

，…

照此规律，第五个不等式为_____________________________．

解析：观察不等式的左边发现，第n个不等式的左边＝1＋1

22＋

1

32

＋…＋1

(n＋1)2，右边＝

2(n＋1)－1

n＋1

，

所以第五个不等式为

1＋1

22＋1

32＋

1

42＋

1

52＋

1

62<

11

6.

答案：1＋1

22＋

1

32＋

1

42＋

1

52＋

1

62<

11

6