人教版 高中数学【选修 2-1】2.1.1《合情推理》习题及答案
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数学·选修1-2(人教A版)
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
►达标训练
1.数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于( )
A.28 B.32
C.33 D.27
答案:B
2.已知三角形的三边长分别是a,b,c,其内切圆的半径为r,
则三角形的面积为:S=1
2
(a+b+c)r,利用类比推理,可以得出四面
体的体积为( )
A.V=1
3 abc
B.V=1
3 Sh
C.V=1
3
(S1+S2+S3+S4)·r(其中S1,S2,S3,S4分别是四面体四
个面的面积,r为四面体内切球的半径)
D.V=1
3
(ab+bc+ca)h(h为四面体的高)
解析:根据类比的一般原理,三角形的边长和面积分别类比于四面体的面积和体积,因而可以得出答案C.
答案:C
3.根据给出的数塔猜测123 456×9+7等于( )
1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1 111 1 234×9+5=11 111 12 345×9+6=111 111
A .1 111 110
B .1 111 111
C .1 111 112
D .1 111 113
解析:由数塔呈现的规律知,结果是各位都是1的7位数. 答案:B 4.等比数列{}a n 满足:m ,n ,p ,q ∈N *,若m +n =p +q ,则a m ·a n
=a p ·a q .由此类推可得,在等差数列{}a n 中,若有m ,n ,p ,q ∈N *,且m +n =p +q ,则有( )
A .a m ·a n =a p ·a q
B .a m +a n =a p +a q
C.a m a n =a p
a q
D .a m -a n =a p -a q
答案:B
5.下面使用类比推理正确的是( )
A .“若a ·3=b ·3,则a =b ”类推出“若a ·0=b ·0,则a =b ”
B .“(a +b )c =ac +bc ”类推出“(a ·b )c =ac ·bc ”
C .“(a +b )c =ac +bc ”类推出“a +b c
=a c +b
c (c ≠0)”
D .“(ab )n =a n b n ”类推出“(a +b )n =a n +b n ”
答案:C
6.如右图所示,面积为S 的凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i = 1,2,3,4),此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i = 1,2,3,4),若a 11=a 22=a 33=a 4
4=k ,则∑i =14
(a i h i )=
2S
k
.类比以上性质,体积为V 的
三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i =
1,2,3,4),此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i = 1,2,3,4),若
S 11
=S 22=S 33=S 4
4=K ,则∑i =1
4
(S i H i )=( )
A.
4V
K B.3V K
C.2V K
D.V K
解析:从平面类比到空间,通常是边长类比为面积,面积类比为
体积,又凸四边形中,面积为S =1
2
(a 1h 1+a 2h 2+a 3h 3+a 4h 4),而在三
棱锥中,体积为V =1
3
(S 1H 1+S 2H 2+S 3H 3+S 4H 4),即存在系数差异,所
以,上述性质类比为B.
答案:B
►素能提高
1.下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第n 个图案中需用黑色瓷砖________块(用含n 的代数式表示).
解析:第(1),(2),(3),…个图案黑色瓷砖数依次为: 15-3=12,24-8=16,35-15=20,…
由此可猜测第n个图案黑色瓷砖数为:
12+(n-1)×4=4n+8.
答案:4n+8
2.图1是一个边长为1的正三角形,分别连接这个三角形三边中点,将原三角形剖分成4个三角形(如图2),再分别连接图2中一个小三角形三边的中点,又可将原三角形剖分成7个三角形(如图3),…,依此类推,设第n个图中三角形被剖分成a n个三角形,则第4个图中最小三角形的边长为________;a100=________.
…
图1 图2 图3
答案:1
8
298
3.观察下列不等式:
1+1
22
<
3
2
,
1+1
22
+
1
32
<
5
3
,
1+1
22
+
1
32
+
1
42
<
7
4
,…
照此规律,第五个不等式为_____________________________.
解析:观察不等式的左边发现,第n个不等式的左边=1+1
22+
1
32
+…+1
(n+1)2,右边=
2(n+1)-1
n+1
,
所以第五个不等式为
1+1
22+1
32+
1
42+
1
52+
1
62<
11
6.
答案:1+1
22+
1
32+
1
42+
1
52+
1
62<
11
6