完整版含绝对值不等式的解法含答案

含绝对值的不等式的解法

基本解法与思想

解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。

(一)、公式法：即利用x a与x a的解集求解。

王要知识：

1、绝对值的几何意义：x是指数轴上点x到原点的距离；x1 两点间

的距离.。

2、x a与x a型的不等式的解法。

当a 0时，不等式x

不等式x 当a 0时，不等式x

不等式x

3. ax b c 与ax b 的解集是xx a,或x a a的解集是x a x a ；a的解集是xx R

a的解集是；

c型的不等式的解法。

把ax b看作一个整体时，可化为x a

与x a型的不等式来求解。

当c 0时，不等式ax b

不等式ax b

当c 0时，不等式ax b

不等式a bx

例1解不等式x 2 3

分析：这类题可直接利用上面的公式求

解，这种解法还运用了整体思想，如把

“

x 2

看着一个整体。答案为x 1 x 5。(解略)

(二)、定义法：即利用a

a(a 0),

0(a 0),去掉绝对值再解。

a(a 0).

例2。解不等式x2是指数轴上％，X2

c的解集是xax b c,或ax b c c的解集是x c ax b c ；

c的解集是xx R

c的解集是

J

分析：由绝对值的意义知，a a a> 0， a a a< 0。

-2 v x v 0。

解：原不等式等价于v 0 x(x+2) v 0

x 2

(三)、平方法：解I f(x) |g(x)型不等式。

例3、解不等式x 1 |2x 3。

解：原不等式(x 1)2 (2x 3)2(2x 3)2 (x 1)2 0

4 (2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0 (3x-

4)(x-2)<0 x 2。

3

说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。

二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。

例4解不等式|x 1 x 2 5。

分析：由x 1| 0，|x 2 0,得x 1和x 2。2和1把实数集合分成三个区间,即x 2， 2 x 1，x 1，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论。

解：当x v -2时，得x 2，解得：3x2

(x 1) (x 2) 5

2 x 1

当-2 < x < 1 时，得 2 x 1,，解得：2 x 1

(x 1) (x 2) 5

x 1

解得：1 x 2

当x 1时，得’

(x 1) (x 2) 5.

综上，原不等式的解集为x 3 x 2。

说明：(1)原不等式的解集应为各种情况的并集；

(2)这种解法又叫“零点分区间法”，即通过令每一个绝对值为零求得零点，求解应注意边界值。

三、几何法：即转化为几何知识求解。

例5对任何实数x，若不等式x 1 |x 2 k恒成立，则实数k的取值范围为()

(A)k<3 (B)k<-3 (C)k < 3 (D) k< -3

分析：设y |X 1| x 2，则原式对任意实数x恒成立的充要条件是k y min，于是题转化为求y

的最小值。

----------------------------------------- ---------------------- & ------------------ O-------------------- Q --------------- O ---------------------------------1^-

x -1 0 2

解：x 1、x 2的几何意义分别为数轴上点x到-1和2的距离x 1 - x 2的几何意义为数轴上点x到-1与2的距离之差，如图可得其最小值为-3，故选(B)。

四、典型题型

1、解关于x 的不等式 2

x

3x 8 10

解：原不等式等价于

10 x 2

3x 8 10

2

小

即 x 2

3x 8 10 x

1或

x 2

x 3x 8 10

6 x 3

二原不等式的解集为 (6, 2)(

1,3

)

2、 ------------------------ 解关于X 的不等式 2 2x 3

2x 3 0

解：原不等式等价于

1 2x 3

-

2 3、 解关于x 的不等式2x 1 x 2

解：原不等式可化为(2x 1)2 (x 2)2

二(2x 1)2 (x 2)2 0 即(x 3)(3x 1) 0

1 解得：1

x 3

3

1

二原不等式的解集为(-,3)

3

4、解关于x 的不等式2x 1 2m 1 (m R)

1

解：⑴ 当2m 1 0时，即m —,因2x 1 0，故原不等式的解集是空

2

集。

⑵当2m 1 0时，即m (2m 1) 2x 1 2m 1 解得：1 m x m

综上'当m

2时'原不等式解集为空集；

当m 1时'不等式解集为

x1 m x m

3 x - 2 5 7 x - 4

4

1

—，原不等式等价于