正余弦定理应用举例

课题：§2. 2解三角形应用举例1

•教学目标

知识与技能：能够运用正弦定理、余弦泄理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语

过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几肖课做良好铺垫。苴次结合学生的实际情况，采用“提出问题一一引发思考一一探索猜想一一总结规律一一反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正

情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值：同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力

•教学重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解

•教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图

•教学过程

I.课题导入

1、［复习旧知］复习提问什么是正弦定理、余弦迫理以及它们可以解决哪些类型的三角形？

2、［设置情境］

请学生回答完后再提问：前而引言第一章''解三角形”中，我们遇到这么一个问题，"遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算岀了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上而介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦圮理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。

II •讲授新课

（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形

中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解

［例题讲解］

（2）例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选左一点C,测出AC的距离是55m, ZBAC二51。，ZACB=75O»求A、B两点的距离（精确到0. Im）

B

图 1. 2-1

启发提问1： zXABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？

启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。

分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB 的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和泄理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦泄理算出AB边。

解：根据正弦定理，得M 二

AB = ACsinZACg 二

55sinZACB 二 55sin75° 二 55sin75°

65 7

（m ）

sin ZABC sin ZABC sin （180°-51°-75°）

sin54°

'

答:A 、B 两点间的距离为65. 7米

变式练刃：两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km,灯塔A 在观察站C 的北偏东3（/,灯塔B 在观 察站C 南偏东60°,则A 、B 之间的距离为多少？ 老师指导学生画图，建立数学模型。 解略：迈a km

例2、如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测虽A 、B 两点间距离的方法。

分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以 需要确左C 、D 两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求 出AC 和BC,再利用余弦定理可以计算出AB 的距离。

解：测量者可以在河岸边选泄两点C 、D,测得CD 二a,并且在C 、D 两点分别测得ZBCA 二° ,

Z ACD 二0, Z CDB= Y , ZBDA 在AADC 和ABDC 中，应用正弦立理得

”sin(7 + 5) sin[l8O°-(/7 + / +J)]

BC 二

“siny

sin[l 80。-(a+ 0 + 力]

讣算出AC 和BC 后，再在AABC 中，应用余弦泄理计算出AB 两点间的距离

AB 二 y/AC 2 +BC 2

-2ACxBCcosa

分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。

变式训练:若在河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得ZBCA=60*, ZACD=30*, ZCDB=45*, ZBDA =60 略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB 二20石

评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复， 如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。 学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。

m.课堂练习 课本第13页练习第1、2题 IV.课时小结

解斜三角形应用题的一般步骤：

（1） 分析：理解题意，分淸已知与未知，画出示意图

（2） 建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三 角形的数学模型

a sin(/-r J)

sin( 0 + 7 +

5) usin/ sinter 4-/9 +

AC 二 图 1.2-2

5

(3) 求解：利用正弦泄理或余弦怎理有序地解出三角形，求得数学模型的解 (4) 检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解

V.课后作业课本第19页第1、2、3题

课题：

§ 2.2解三角形应用举例2

•教学目标

知识与技能：能够运用正弦左理、余弦怎理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体髙度测虽:的问 题

过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确 识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形 实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导一讨论一归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成 良好的研究、探索习惯。作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间 情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、槪括的能力 •教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题

•教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件 •教学过程

I .课题导入

提问：现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物髙度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机 下方山顶的海拔髙度呢？今天我们就来共同探讨这方而的问题

H .讲授新课

［范例讲解］

例3、AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的 最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法。

分析：求AB 长的关键是先求AE,在AACE 中，如能求岀 C 点到建筑物顶部A 的距离CA,再测出由C 点观察A 的仰 角，就可以计算出AE 的长。

解:选择一条水平基线HG,使H 、G 、B 三点在同一条宜 线上。由在H 、

G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是c 、

0, CD = a ，测角仪器的髙是h,那么，在AACD 中，根

据正弦左理可得

AC = “sin/? AB = AE + h = ACsina+ h = sin(a-0)

例4、如图，在山顶铁塔上B 处测得地而上一点A

的俯角°二54 40',在塔底

C 处测得A 处的俯角0二已知铁塔BC 部分的高为27.3 m,求出山髙 C

D (精确到1 m)

师:根据已知条件，大家能设il •出解题方案吗？(给时间给学生讨论思考)若 在AABD 中求CD,则关键需要求出哪条边呢？ 生：需求出BD 边。 师：那如何求BD 边呢？

生：可首先求出AB 边，再根据ZBAD 二c 求得。

解：在/XABC 中，ZBCA 二90°+0, ZABC 二90°-c , ZBAC 二c - /7, ZBAD

•根据正弦左理，

—^―= 一—一 所以AB 二肚汕％ 二 叱卩

sin(a-0) sin(9O°+0) sin(a-0) sin(a-“)

sin(a — 0)